Valeur absolue - Absolute value


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Le graphique de la fonction de valeur absolue pour les nombres réels
La valeur absolue d'un nombre peut être considéré comme sa distance de zéro.

En mathématiques , la valeur absolue ou module | x | d'un nombre réel  x est le non-négatif valeur de  x sans tenir compte de son signe . A savoir, | x | = X pour un positif  x , | x | = - x pour un négatif  x (dans ce cas - x est positif), et | 0 | = 0 . Par exemple, la valeur absolue de 3 est 3, et la valeur absolue de -3 est 3. La valeur absolue d'un nombre peut être considéré comme la distance de zéro.

De la valeur Généralisations absolue pour les nombres réels se produisent dans une grande variété de paramètres mathématiques. Par exemple, une valeur absolue est également définie pour les nombres complexes , les quaternions , anneaux commandés , des champs et des espaces vectoriels . La valeur absolue est étroitement lié aux notions de grandeur , la distance et la norme dans divers contextes mathématiques et physiques.

Terminologie et notation

En 1806, Jean-Robert Argand a introduit le terme le module , ce qui signifie l' unité de mesure en français, en particulier pour le complexe valeur absolue, et il a été emprunté en anglais en 1866 comme l'équivalent latin module . Le terme valeur absolue a été utilisée dans ce sens à partir d' au moins 1806 en français et 1857 en anglais. La notation | x | , Avec une barre verticale de chaque côté, a été introduite par Karl Weierstrass en 1841. D' autres noms de valeur absolue comprennent la valeur numérique et l' ampleur . Dans les langages de programmation et logiciels de calcul, la valeur absolue de x est généralement représenté par abs ( x ), ou une expression similaire.

La notation de barre verticale apparaît également dans un certain nombre d'autres contextes mathématiques: par exemple, lorsqu'il est appliqué à un ensemble, il désigne son cardinalité ; lorsqu'il est appliqué à une matrice , il désigne le déterminant . Les barres verticales désignent la valeur absolue que pour les objets algébriques pour lesquels la notion de valeur absolue est définie, notamment un élément d'une algèbre de division normée comme un nombre réel, nombre complexe, quaternion. Une étroitement apparentée mais distincte notation est l'utilisation de barres verticales pour soit la norme euclidienne ou sup norme d'un vecteur à , bien que des doubles barres verticales avec des indices ( et , respectivement) sont une notation plus fréquente et moins ambiguë.

Définition et propriétés

Nombres réels

Pour tout nombre réel  x , la valeur absolue ou module de  x est désigné par | x | (a barre verticale de chaque côté de la quantité) et est définie comme

La valeur absolue de  x est donc toujours soit positif ou nul , mais jamais négatif : quand x est lui - même négatif ( x <0 ), alors sa valeur absolue est nécessairement positive ( | x | = - x > 0 ).

À partir d' une géométrie analytique point de vue, la valeur absolue d'un nombre réel est de ce nombre de distance de zéro le long de la ligne de nombre réel , et plus généralement la valeur absolue de la différence de deux nombres réels est la distance entre eux. En effet, la notion d'une abstraite fonction de distance en mathématiques peut être considérée comme une généralisation de la valeur absolue de la différence (voir « Distance » ci - dessous).

Étant donné que le symbole de la racine carrée représente l'Unique positif racine carrée (lorsqu'elle est appliquée à un nombre positif), il en résulte que

est équivalente à la définition ci-dessus, et peut être utilisé comme une autre définition de la valeur absolue des nombres réels.

La valeur absolue a les quatre propriétés fondamentales suivantes ( a , b sont des nombres réels), qui sont utilisés pour la généralisation de cette notion à d' autres domaines:

Non-négativité
Positive-définitude
multiplicativité
Sous - additivité , en particulier l' inégalité du triangle

Non-négativité, positivité, et multiplicativité sont facilement visibles de la définition. Pour voir ce sous - additivité tient, d' abord que l' une des deux alternatives de prise s soit comme -1 ou +1 garantit que maintenant, depuis et , il résulte que, selon la valeur de s , on a pour tous les biens . Par conséquent, comme désiré. (Pour une généralisation de cet argument aux nombres complexes, voir « La preuve de l'inégalité de triangle pour les nombres complexes » ci - dessous.)

Certaines propriétés supplémentaires utiles sont donnés ci-dessous. Ce sont soit des conséquences immédiates de la définition ou sous-entendus par les quatre propriétés fondamentales ci-dessus.

Idempotence (la valeur absolue de la valeur absolue est la valeur absolue)
Régularité ( symétrie de réflexion du graphique)
Identité des indiscernables (équivalent à-définie positive)
Inégalité triangulaire (équivalent à la sous - additivité)
(si ) Préservation de la division (équivalent à multiplicativité)
Inégalité triangulaire inversée (équivalent à la sous - additivité)

Deux autres propriétés utiles concernant les inégalités sont les suivantes:

ou

Ces relations peuvent être utilisées pour résoudre les inégalités impliquant des valeurs absolues. Par exemple:

La valeur absolue, en tant que « distance de zéro », est utilisée pour définir la différence absolue entre les nombres réels quelconques, la norme métrique sur les nombres réels.

Nombres complexes

La valeur absolue d'un nombre complexe  est la distance  de de l'origine. On voit aussi dans l'image que et son
complexe conjugué ont la même valeur absolue. 

Étant donné que les nombres complexes ne sont pas ordonnés , la définition donnée au sommet pour la valeur réelle absolue ne peut pas être appliqué directement aux nombres complexes. Cependant , l'interprétation géométrique de la valeur absolue d'un nombre réel que sa distance par 0 peut être généralisée. La valeur absolue d'un nombre complexe est définie par la distance euclidienne de son point correspondant dans le plan complexe de l' origine . Cela peut être calculé en utilisant le théorème de Pythagore : pour tout nombre complexe

x et y sont des nombres réels, la valeur absolue ou module de  z est notée | z | et est définie par

où Re ( z =) x et Im ( z ) = y représentent les parties réelle et imaginaire de z , respectivement. Lorsque la partie imaginaire y est égal à zéro, cela coïncide avec la définition de la valeur absolue du nombre réel  x .

Quand un nombre complexe  z est exprimé dans sa forme polaire comme

avec (et & thetav ∈ arg ( z ) est l' argument de (ou phase) de z ), sa valeur absolue est

.

Étant donné que le produit d'un nombre complexe  z et son complexe conjugué  avec la même valeur absolue, est toujours le nombre réel non-négatif , la valeur absolue d'un nombre complexe peut être facilement exprimé en

ressemblant à la définition alternative pour les nombres réels:

La valeur absolue complexe partage les quatre propriétés fondamentales indiquées ci-dessus pour la vraie valeur absolue.

Dans le langage de la théorie des groupes , peut être reformulée la propriété multiplicatif comme suit: la valeur absolue est un homomorphisme du groupe multiplicatif des nombres complexes sur le groupe sous la multiplication des nombres réels positifs .

Fait important, la propriété de sous - additivité ( « inégalité triangulaire ») étend à toute collection finie de n  complexes numéros que

Cette inégalité s'applique également aux infinies familles , à condition que la série infinie est absolument convergente . Si l' intégration de Lebesgue est considérée comme l'analogue continu de sommation, cette inégalité est respectée par analogie, à valeurs complexes fonctions mesurables lorsqu'elles sont intégrées sur un sous - ensemble mesurable :

(Cela comprend Riemann-intégrables fonctions sur un intervalle borné comme un cas particulier).

La preuve de l'inégalité complexe de triangle

L'inégalité triangulaire, donnée par , peut être démontrée en appliquant trois propriétés facilement vérifiées des nombres complexes: A savoir, pour chaque nombre complexe ,

(i): il existe de telle sorte que et ;
(ii): .

En outre, pour une famille de nombres complexes , . En particulier,

(iii): si , ensuite .

Preuve de : Choisisseztelle queet(résumé plus). Le calcul suivant permet alorsobtenir l'inégalité désirée:

.

Il ressort de cette preuve que l' égalité tient dans exactement si tous les chiffres sont réels non-négatifs, ce qui se produit exactement si tous les non nulle ont le même raisonnement , à savoir, pour une constante complexe et des constantes réelles pour .

Puisque implique mesurable est également mesurable, la preuve de l'inégalité procède par la même technique, en remplaçant par et avec .

Fonction valeur absolue

Le graphique de la fonction de valeur absolue pour les nombres réels
Composition de valeur absolue avec une fonction cubique dans des ordres différents

La vraie fonction de valeur absolue est continue partout. Il est différentiables partout , sauf pour x  = 0. Il est en baisse de façon monotone sur l'intervalle (-∞, 0] et en augmentant de façon monotone sur l'intervalle [0, + ∞) . Étant donné qu'un nombre réel et son contraire ont la même valeur absolue, il est une fonction même , et est donc pas inversible . La vraie fonction de valeur absolue est linéaire par morceaux , fonction convexe .

Les deux fonctions réelles et complexes sont idempotent .

Relation avec la fonction signe

La fonction de valeur absolue d'un nombre réel renvoie sa valeur quel que soit son signe, tandis que la fonction signe (ou signum) retourne indépendamment de sa valeur de signe d'un nombre. Les équations suivantes montrent la relation entre ces deux fonctions:

ou

et x ≠ 0 ,

Dérivé

La vraie fonction de valeur absolue a une dérivée pour chaque x ≠ 0 , mais ne sont pas dérivables à x = 0 . Sa dérivée pour x ≠ 0 est donnée par la fonction de l' étape :

Le sous - différentiel de  | x | à  x = 0 est l' intervalle  [-1,1] .

Le complexe fonction de valeur absolue est partout continue , mais complexe différentiables nulle part parce qu'elle viole les équations de Cauchy-Riemann .

La dérivée seconde de  | x | par rapport à  x est égal à zéro partout sauf zéro, où il n'existe pas. En fonction généralisée , la dérivée seconde peut être considéré comme deux fois la fonction delta de Dirac .

antidérivé

La primitive (intégrale indéfinie) de la fonction de valeur réelle absolue

C est une arbitraire constante d'intégration . Ce n'est pas un antidérivé complexe parce que complexes ne peuvent primitives exister (complexes différenciable holomorphes fonctions), que la fonction complexe de valeur absolue est pas.

Distance

La valeur absolue est étroitement liée à l'idée de la distance. Comme indiqué plus haut, la valeur absolue d'un nombre réel ou complexe est la distance à partir de ce nombre à l'origine, le long de la ligne réelle de nombre, pour les nombres réels, ou dans le plan complexe, pour des nombres complexes, et plus généralement, la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes est la distance entre eux.

La norme distance euclidienne entre les deux points

et

en euclidienne n -space est défini comme:

Cela peut être considéré comme une généralisation, puisque pour et réel, à savoir dans un 1-espace, selon la définition alternative de la valeur absolue,

et pour et de nombres complexes, à savoir dans un espace à 2,

Ce qui précède montre que la « valeur absolue » -Distance, pour les nombres réels et complexes, est d'accord avec la distance euclidienne standard, qu'ils héritent en raison de les considérer comme une seule et espaces euclidiens à deux dimensions, respectivement.

Les propriétés de la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes: non-négativité, l' identité des indiscernables, la symétrie et l'inégalité du triangle donnée ci - dessus, peut être vu à motiver la notion plus générale d'une fonction de distance de la manière suivante:

Une fonction réelle d sur un ensemble X  ×  X est appelée une métrique (ou une fonction de distance ) sur  X , si elle satisfait aux quatre axiomes suivants:

Non-négativité
Identité des indiscernables
Symétrie
l'inégalité Triangle

généralisations

anneaux commandés

La définition de la valeur absolue donnée pour les nombres réels ci - dessus peut être étendu à tout anneau commandé . Autrement dit, si  un est un élément d'un cycle ordonné  R , alors la valeur absolue d'  une , notée | un | , Est défini comme étant:

- un est l' inverse additif d'  un , 0 est l'additif élément d'identité et <et ≥ ont le sens usuel par rapport à l'ordre dans l'anneau.

Des champs

Les quatre propriétés fondamentales de la valeur absolue pour les nombres réels peuvent être utilisés pour généraliser la notion de valeur absolue à un champ arbitraire, comme suit.

Une fonction à valeurs réelles  v sur un champ  F est appelé une valeur absolue (également un module , amplitude , la valeur ou valeur ) si elle satisfait aux quatre axiomes suivants:

Non-négativité
Positive-définitude
multiplicativité
Sous-additivité ou l'inégalité du triangle

0 désigne l' identité additif élément de  F . Il résulte de-définie positive et multiplicativité que v ( 1 ) = 1 , où 1 désigne l' identité multiplicative élément de  F . Les valeurs absolues réelles et complexes définies ci - dessus sont des exemples de valeurs absolues pour un champ arbitraire.

Si v est une valeur absolue de  F , la fonction  d sur F  ×  F , définie par d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , est une mesure et les conditions suivantes sont équivalentes:

  • d satisfait à la ultramétrique inégalité pour tout x , y , z dans  F .
  • est bornée dans  R .
  • pour chaque
  • pour tous
  • pour tous

Une valeur absolue qui satisfait à l' un ( d' où la totalité) des conditions ci - dessus est considéré comme non-archimédienne , sinon elle est dite d' Archimède .

Espaces vectoriels

Encore une fois les propriétés fondamentales de la valeur absolue pour les nombres réels peuvent être utilisés, avec une légère modification, de généraliser la notion à un espace vectoriel arbitraire.

Une fonction à valeur réelle sur un espace vectoriel  V sur un champ  F , représentée comme ‖ · ‖ , est appelée valeur absolue , mais plus généralement une norme , si elle satisfait aux axiomes suivants:

Pour tous  un en  F , et v , u en  V ,

Non-négativité
Positive-définitude
homogénéité positive ou l'évolutivité positif
Sous-additivité ou l'inégalité du triangle

La norme d'un vecteur est aussi appelé la longueur ou l' ampleur .

Dans le cas de l' espace euclidien  R n , la fonction définie par

est une norme appelée la norme euclidienne . Lorsque le nombre réel  R sont considérés comme l'espace vectoriel unidimensionnel  R 1 , la valeur absolue est une norme , et est le p -norme (voir L p espace ) pour tout  p . En fait , la valeur absolue est la « seule » norme sur R 1 , dans le sens où, pour chaque norme ‖ · ‖ sur  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . La valeur absolue complexe est un cas particulier de la norme dans un espace de produit interne . Elle est identique à la norme euclidienne, si le plan complexe est identifié avec le plan euclidien  R 2 .

composition algèbres

Chaque algèbre de composition A a une involution xx * appelé sa conjugaison . Le produit est en A d'un élément x et son conjugué x * est écrite N ( x ) = xx * et a appelé la norme de x .

Le vrai nombre ℝ, nombres complexes ℂ et quaternions ℍ sont toutes algèbres de composition avec les normes données par des formes précises du second degré . La valeur absolue de ces algèbres de division est donnée par la racine carrée de la norme d'algèbre de composition.

En général , la norme d'une algèbre de composition peut être une forme quadratique qui est non défini et possède des vecteurs nuls . Cependant, comme dans le cas des algèbres de division, lorsqu'un élément x a une norme différente de zéro, alors x est un inverse multiplicatif donné par x * / N ( x ).

Remarques

Références

Liens externes