p -ordre adique - p-adic order

En théorie des nombres de base , pour un nombre premier donné p , l' ordre p- adique d'un entier positif n est l' exposant le plus élevé tel que divise n . Cette fonction est facilement étendue aux nombres rationnels positifs r =${\style d'affichage \nu _{p}}$${\displaystyle p^{\nu _{p}}}$ une/b par

${\displaystyle r=p_{1}^{\nu _{p_{1}}}p_{2}^{\nu _{p_{2}}}\cdots p_{k}^{\nu _{p_ {k}}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\nu _{p_{i}}},}$

où sont des nombres premiers et les sont des entiers (uniques) (considérés comme étant 0 pour tous les nombres premiers n'apparaissant pas dans r de sorte que ). ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}}$${\style d'affichage \nu _{p_{i}}}$${\displaystyle \nu _{p_{i}}(r)=\nu _{p_{i}}(a)-\nu _{p_{i}}(b)}$

Cet ordre p- adique constitue une évaluation (écrite de manière additive) , la soi-disant évaluation p- adique , qui lorsqu'elle est écrite de manière multiplicative est un analogue de la valeur absolue habituelle bien connue . Les deux types d'évaluations peuvent être utilisés pour compléter le corps des nombres rationnels, où la complétion avec une évaluation p -adique aboutit à un champ de nombres p -adiques ℚ _p (par rapport à un nombre premier choisi p ), tandis que la complétion avec le habituelle valeur absolue résulte dans le domaine des nombres réels ℝ .

Distribution des nombres naturels par leur ordre 2-adique, étiqueté avec les puissances correspondantes de deux en décimal. Zéro a toujours un ordre infini.

Définition et propriétés

Soit p un nombre premier .

Entiers

L' ordre p -adique ou l' évaluation p -adique pour ℤ est la fonction

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$

Défini par

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{ if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

où désigne les nombres naturels . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Par exemple, et depuis . ${\style d'affichage \nu _{3}(-45)=2}$${\style d'affichage \nu _{5}(-45)=1}$${\displaystyle |{-45}|=45=3^{2}\cdot 5^{1}}$

La notation est parfois utilisée pour signifier . ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

Nombres rationnels

L' ordre p -adique peut être étendu aux nombres rationnels comme la fonction

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} }$

Défini par

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {a}{b}}\right)=\nu _{p}(a)-\nu _{p}(b).}$

Par exemple, et depuis . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}={\tfrac {3^{2}}{2^{3}}}}$

Certaines propriétés sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(m\cdot n)&=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n)\\[5px]\nu _ {p}(m+n)&\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}.\end{aligned} }}$

De plus, si , alors ${\style d'affichage \nu _{p}(m)\neq \nu _{p}(n)}$

${\displaystyle \nu _{p}(m+n)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}}$

où min est le minimum (c'est-à-dire le plus petit des deux).

valeur absolue p -adique

Le p - adique valeur absolue sur ℚ est la fonction

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Défini par

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Par exemple, et${\displaystyle |{-45}|_{3}={\tfrac {1}{9}}}$${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=8.}$

La valeur absolue p- adique satisfait les propriétés suivantes.

Non-négativité	${\displaystyle |a|_{p}\geq 0}$
Définition positive	${\displaystyle |a|_{p}=0\iff a=0}$
Multiplicativité	${\displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$
Non-archimédien	${\displaystyle |a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)}$

La symétrie découle de la multiplicativité et la sous - additivité de l' inégalité triangulaire non archimédienne . ${\style d'affichage |{-a}|_{p}=|a|_{p}}$ ${\displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$ ${\style d'affichage |a+b|_{p}\leq |a|_{p}+|b|_{p}}$ ${\displaystyle |a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)}$

Le choix de la base p dans l' exponentiation ne fait aucune différence pour la plupart des propriétés, mais supporte la formule du produit : ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|x|_{p}=1}$

où le produit est pris sur tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée . Cela résulte de la simple prise de la factorisation première : chaque facteur de puissance premier apporte sa réciproque à sa valeur absolue p -adique, puis la valeur absolue d' Archimède habituelle les annule toutes. ${\style d'affichage |x|_{0}}$${\style d'affichage p^{k}}$

La valeur absolue p- adique est parfois appelée « norme p- adique », bien qu'elle ne soit pas réellement une norme car elle ne satisfait pas à l'exigence d' homogénéité .

Un espace métrique peut être formé sur l'ensemble ℚ avec une métrique ( non archimédienne , invariante à la translation )

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Défini par

${\style d'affichage d(x,y)=|xy|_{p}.}$

L' achèvement de ℚ par rapport à ce qui conduit au champ métriques ℚ _p de p nombres -adiques.

Voir également

• nombre p- adique
• Propriété d'Archimède
• Multiplicité (mathématiques)
• Le théorème d'Ostrowski

Les références