Functioneur représentable - Representable functor

En mathématiques , en particulier en théorie des catégories , un foncteur représentable est un certain foncteur d'une catégorie arbitraire à la catégorie des ensembles . De tels foncteurs donnent des représentations d'une catégorie abstraite en termes de structures connues (c'est-à-dire des ensembles et des fonctions ) permettant d'utiliser, autant que possible, la connaissance de la catégorie d'ensembles dans d'autres contextes.

D'un autre point de vue, foncteurs représentables pour une catégorie C sont les foncteurs données avec C . Leur théorie est une vaste généralisation des ensembles supérieurs en posets et du théorème de Cayley en théorie des groupes .

Définition

Soit C une catégorie localement petite et soit Set la catégorie des ensembles . Pour chaque objet A de C, soit Hom ( A , -) le foncteur hom qui mappe l'objet X à l'ensemble Hom ( A , X ).

A foncteur F  : C → Set est dit représentable si elle est naturellement isomorphe à Hom ( A , -) pour un objet A de C . Une représentation de F est une paire ( A , Φ) où

Φ: Hom ( A , -) → F

est un isomorphisme naturel.

Un foncteur contravariant G de C à Set est la même chose qu'un foncteur G  : C op → Set et est communément appelé une pré - feuille . Un préfaisceau est représentable quand il est naturellement isomorphe à l'hom-foncteur contravariant Hom (-, A ) pour un objet A de C .

Éléments universels

Selon le lemme de Yoneda , les transformations naturelles de Hom ( A , -) à F sont en correspondance biunivoque avec les éléments de F ( A ). Étant donné une transformation naturelle Φ: Hom ( A , -) → F l'élément correspondant u ∈ F ( A ) est donné par

Inversement, étant donné tout élément u ∈ F ( A ) on peut définir une transformation naturelle Φ: Hom ( A , -) → F via

où f est un élément de Hom ( A , X ). Afin d'obtenir une représentation de F, nous voulons savoir quand la transformation naturelle induite par u est un isomorphisme. Cela conduit à la définition suivante:

Un élément universel d'un foncteur F  : C → Set est un couple ( A , u ) constitué d'un objet A de C et d'un élément u ∈ F ( A ) tel que pour tout couple ( X , v ) avec v ∈ F ( X ) il existe un morphisme unique f  : A → X tel que ( Ff ) u = v .

Elément universel peut être considéré comme un morphisme universel de l'ensemble d' un point {•} pour le foncteur F ou comme objet initial dans la catégorie d'éléments de F .

La transformation naturelle induite par un élément u ∈ F ( A ) est un isomorphisme si et seulement si ( A , u ) est un élément universel de F . Nous concluons donc que les représentations de F sont dans une correspondance biunivoque avec des éléments universels de F . Pour cette raison, il est courant de se référer aux éléments universels ( A , u ) en tant que représentations.

Exemples

  • Considérons le foncteur contravariant P  : Set → Set qui mappe chaque ensemble à son ensemble de puissance et chaque fonction à son image map inverse . Pour représenter ce foncteur, nous avons besoin d'un couple ( A , u ) où A est un ensemble et u est un sous-ensemble de A , c'est-à-dire un élément de P ( A ), tel que pour tous les ensembles X , l'ensemble hom ( X , A ) est isomorphe à P ( X ) via Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Prenez A = {0,1} et u = {1}. Étant donné un sous - ensemble S ⊆ X la fonction correspondante de X à A est la fonction caractéristique de S .
  • Les foncteurs oublieux à définir sont très souvent représentables. En particulier, un foncteur oublieux est représenté par ( A , u ) chaque fois que A est un objet libre sur un ensemble singleton avec le générateur u .
  • Un groupe G peut être considéré comme une catégorie (même un groupoïde ) avec un objet que nous notons •. Un foncteur de G à Set correspond alors à un G -set . L'unique hom-foncteur Hom (•, -) de G à Set correspond au G -set canonique G avec l'action de la multiplication à gauche. Les arguments standard de la théorie des groupes montrent qu'un foncteur de G à Set est représentable si et seulement si le G -set correspondant est simplement transitif (c'est-à-dire un G -torsor ou un tas ). Choisir une représentation revient à choisir une identité pour le tas.
  • Soit C la catégorie des complexes CW avec des morphismes donnés par des classes d'homotopie de fonctions continues. Pour chaque entier naturel n, il existe un foncteur contravariant H n  : C → Ab qui attribue à chaque complexe CW son n ème groupe de cohomologie (à coefficients entiers). En composant ceci avec le foncteur oublieux, nous avons un foncteur contravariant de C à Set . Le théorème de représentabilité de Brown en topologie algébrique dit que ce foncteur est représenté par un complexe CW K ( Z , n ) appelé espace Eilenberg – MacLane .
  • Soit R un anneau commutatif avec identité, et soit R - Mod la catégorie des R -modules. Si M et N sont des modules unitaires sur R , il existe un foncteur covariant B : R - Mod → Set qui assigne à chaque R -module P l'ensemble des R -bilinear maps M × N → P et à chaque R -module homomorphism f  : P → Q la fonction B ( f ): B ( P ) → B ( Q ) qui envoie chaque carte bilinéaire g  : M × N → P à la carte bilinéaire f ∘ g  : M × N → Q . Le foncteur B est représenté par la R - module M ⊗ R N .

Propriétés

Unicité

Les représentations des foncteurs sont uniques jusqu'à un isomorphisme unique. Autrement dit, si ( A 1 , Φ 1 ) et ( A 2 , Φ 2 ) représentent le même foncteur, alors il existe un isomorphisme unique φ: A 1 → A 2 tel que

comme isomorphismes naturels de Hom ( A 2 , -) à Hom ( A 1 , -). Ce fait découle facilement du lemme de Yoneda .

En termes d'éléments universels: si ( A 1 , u 1 ) et ( A 2 , u 2 ) représentent le même foncteur, alors il existe un isomorphisme unique φ: A 1 → A 2 tel que

Préservation des limites

Les foncteurs représentables sont naturellement isomorphes aux foncteurs Hom et partagent donc leurs propriétés. En particulier, les foncteurs représentables (covariants) conservent toutes les limites . Il s'ensuit que tout foncteur qui ne parvient pas à conserver une certaine limite n'est pas représentable.

Les foncteurs représentables contravariants poussent les colimites à leurs limites.

Adjoint gauche

Tout foncteur K  : C → Ensemble avec un adjoint à gauche F  : Ensemble → C est représenté par ( FX , η X (•)) où X = {•} est un ensemble singleton et η est l'unité de l'adjonction.

Par contre, si K est représenté par une paire ( A , u ) et de tous les petits copowers de A exister en C alors K a un adjoint gauche F qui envoie chaque série I à la I th copower de A .

Donc, si C est une catégorie avec tous les petits copueurs, un foncteur K  : C → Set est représentable si et seulement s'il a un adjoint à gauche.

Relation avec les morphismes universels et adjoints

Les notions catégoriques de morphismes universels et de foncteurs adjoints peuvent toutes deux être exprimées à l'aide de foncteurs représentables.

Laissez G  : D → C un foncteur et laisser X soit un objet de C . Alors ( A , φ) est un morphisme universel de X à G si et seulement si ( A , φ) est une représentation du foncteur Hom C ( X , G -) de D à Set . Il en résulte que G a un gauche adjoint F si et seulement si Hom C ( X , G -) est représentable pour tous X en C . L'isomorphisme naturel Φ X  : Hom D ( FX , -) → Hom C ( X , G -) donne l'adjonction; C'est

est une bijection de l' ensemble X et Y .

Les doubles déclarations sont également vraies. Laissez F  : C → D un foncteur et laisser Y être un objet de D . Alors ( A , φ) est un morphisme universel de F à Y si et seulement si ( A , φ) est une représentation du foncteur Hom D ( F -, Y ) de C à Set . Il en résulte que F a un droit adjoint G si et seulement si Hom D ( F -, Y ) est représentable pour tous Y en D .

Voir également

Références

  1. ^ Hungerford, Thomas. Algèbre . Springer-Verlag. p. 470. ISBN   3-540-90518-9 .