Catégorie de bagues - Category of rings

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
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En mathématiques , la catégorie des anneaux , notée Ring , est la catégorie dont les objets sont des anneaux (avec identité) et dont les morphismes sont des homomorphismes d'anneau (qui préservent l'identité). Comme de nombreuses catégories en mathématiques, la catégorie des anneaux est grande , ce qui signifie que la classe de tous les anneaux est propre .

En tant que catégorie concrète

La catégorie Anneau est une catégorie concrète signifiant que les objets sont des ensembles avec une structure supplémentaire (addition et multiplication) et les morphismes sont des fonctions qui préservent cette structure. Il existe un foncteur naturel d' oubli

U  : Sonnerie → Régler

pour la catégorie des anneaux à la catégorie des ensembles qui renvoie chaque anneau à son ensemble sous-jacent (donc "oubliant" les opérations d'addition et de multiplication). Ce foncteur a un adjoint à gauche

F  : Régler → Sonnerie

qui affecte à chaque ensemble X l' anneau libre généré par X .

On peut aussi voir la catégorie des anneaux comme une catégorie concrète sur Ab (la catégorie des groupes abéliens ) ou sur Mon (la catégorie des monoïdes ). Plus précisément, il existe des foncteurs oublieux

A  : Anneau → Ab

M  : Sonnerie → Lun

qui "oublient" respectivement la multiplication et l'addition. Ces deux foncteurs ont des adjoints à gauche. Le adjoint gauche de A est le foncteur qui assigne à chaque groupe abélien X (considérés comme un Z - Module ) la bague de tenseur T ( X ). L'adjoint à gauche de M est le foncteur qui affecte à tout monoïde X l' anneau monoïde intégral Z [ X ].

Propriétés

Limites et colimites

La catégorie Ring est à la fois complète et co-complète , ce qui signifie que toutes les petites limites et colimites existent dans Ring . Comme beaucoup d'autres catégories algébriques, le foncteur d'oubli U  : Anneau → Ensemble crée (et préserve) des limites et des colimites filtrées , mais ne préserve ni les coproduits ni les coégaliseurs . Les foncteurs oublieux de Ab et Mon créent et préservent également des limites.

Exemples de limites et colimites dans Ring :

• L'anneau d' entiers Z est un objet initial dans Ring .
• L' anneau zéro est un objet terminal dans Ring .
• Le produit dans Ring est donné par le produit direct des anneaux . Il ne s'agit que du produit cartésien des ensembles sous-jacents avec une addition et une multiplication définies par composant.
• Le coproduit d'une famille d'anneaux existe et est donné par une construction analogue au produit libre des groupes. Le coproduit des anneaux non nuls peut être l'anneau nul ; en particulier, cela se produit chaque fois que les facteurs ont des caractéristiques relativement premières (puisque la caractéristique du coproduit de ( R _i ) _{i ∈ I} doit diviser les caractéristiques de chacun des anneaux R _i ).
• L' égaliseur dans Ring n'est que l'égaliseur ensembliste (l'égaliseur de deux homomorphismes en anneau est toujours un sous - anneau ).
• Le coequalizer de deux homomorphismes annulaires f et g à partir de R à S est le quotient de S par l' idéal généré par tous les éléments de la forme f ( r ) - g ( r ) pour r ∈ R .
• Étant donné un homomorphisme d'anneau f  : R → S la paire de noyaux de f (c'est juste le retrait de f avec lui-même) est une relation de congruence sur R . L'idéal déterminé par cette relation de congruence est précisément le (anneau théorie) du noyau de f . Notez que les noyaux de la théorie des catégories n'ont pas de sens dans Ring puisqu'il n'y a pas de morphismes nuls (voir ci-dessous).

Morphismes

Contrairement à de nombreuses catégories étudiées en mathématiques, il n'existe pas toujours de morphismes entre paires d'objets dans Ring . Ceci est une conséquence du fait que les homomorphismes d'anneaux doivent préserver l'identité. Par exemple, il n'y a pas de morphismes de l' anneau zéro 0 à n'importe quel anneau non nul. Une condition nécessaire pour qu'il y ait des morphismes de R vers S est que la caractéristique de S divise celle de R .

Notez que même si certains des hom-sets sont vides, la catégorie Ring est toujours connectée puisqu'elle a un objet initial.

Certaines classes spéciales de morphismes dans Ring incluent :

• Les isomorphismes dans Ring sont les homomorphismes d'anneau bijectifs .
• Les monomorphismes dans Ring sont les homomorphismes injectifs . Cependant, tous les monomorphismes ne sont pas réguliers .
• Tout homomorphisme surjectif est un épimorphisme dans Ring , mais l'inverse n'est pas vrai. L'inclusion Z → Q est un épimorphisme non surjectif. L'homomorphisme d'anneau naturel de tout anneau commutatif R à l'une de ses localisations est un épimorphisme qui n'est pas nécessairement surjectif.
• Les homomorphismes surjectifs peuvent être caractérisés comme les épimorphismes réguliers ou extrémaux dans Ring (ces deux classes coïncidant).
• Les bimorphismes dans Ring sont les épimorphismes injectifs. L'inclusion Z → Q est un exemple de bimorphisme qui n'est pas un isomorphisme.

Autres propriétés

• Le seul objet injectif dans Ring jusqu'à l'isomorphisme est l' anneau zéro (c'est-à-dire l'objet terminal).
• Faute de morphismes nuls , la catégorie des anneaux ne peut pas être une catégorie préadditive . (Cependant, chaque anneau - considéré comme une catégorie avec un seul objet - est une catégorie préadditive).
• La catégorie des anneaux est une catégorie monoïdale symétrique avec le produit tensoriel des anneaux ⊗ _Z comme produit monoïdal et l'anneau des entiers Z comme objet unitaire. Il résulte du théorème d'Eckmann-Hilton , qu'un monoïde dans Ring est un anneau commutatif . L'action d'un monoïde (= anneau commutatif) R sur un objet (= anneau) A de Ring est une R -algèbre .

Sous-catégories

La catégorie des anneaux a un certain nombre de sous - catégories importantes . Ceux - ci comprennent les sous - catégories complètes des anneaux commutatifs , intègres , principaux domaines d'idéal , et les champs .

Catégorie d'anneaux commutatifs

La catégorie des anneaux commutatifs , notée CRing , est la sous-catégorie complète de Ring dont les objets sont tous des anneaux commutatifs . Cette catégorie est l'un des objets d'étude centraux en matière d' algèbre commutative .

Tout anneau peut être rendu commutatif en prenant le quotient par l' idéal généré par tous les éléments de la forme ( xy − yx ). Ceci définit un foncteur Ring → CRing qui est adjoint à gauche au foncteur d'inclusion, de sorte que CRing est une sous - catégorie réflexive de Ring . L' anneau commutatif libre sur un ensemble de générateurs E est l' anneau polynomial Z [ E ] dont les variables sont tirées de E . Cela donne un foncteur adjoint à gauche au foncteur oubli de CRing à Set .

CRing est à limite fermée dans Ring , ce qui signifie que les limites dans CRing sont les mêmes que dans Ring . Les colimites, cependant, sont généralement différentes. Ils peuvent être formés en prenant le quotient commutatif des colimites dans Ring . Le coproduit de deux anneaux commutatifs est donné par le produit tensoriel des anneaux . Encore une fois, le coproduit de deux anneaux commutatifs non nuls peut être nul.

La catégorie opposée de CRing est équivalente à la catégorie des schémas affines . L'équivalence est donnée par le foncteur contravariant Spec qui envoie à son spectre un anneau commutatif , un schéma affine .

Catégorie de champs

La catégorie de champs , notée Champ , est la sous-catégorie complète de CRing dont les objets sont des champs . La catégorie des champs ne se comporte pas aussi bien que les autres catégories algébriques. En particulier, les champs libres n'existent pas (c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'adjoint à gauche au foncteur d'oubli Champ → Ensemble ). Il s'ensuit que Field n'est pas une sous-catégorie réflexive de CRing .

La catégorie des champs n'est ni finiment complète ni finiment co- complète . En particulier, Field n'a ni produits ni coproduits.

Un autre aspect curieux de la catégorie des champs est que tout morphisme est un monomorphisme . Cela découle du fait que les seuls idéaux dans un corps F sont l' idéal zéro et F lui-même. On peut alors voir les morphismes dans Field comme des extensions de champ .

La catégorie des champs n'est pas connectée . Il n'y a pas de morphismes entre des champs de caractéristiques différentes . Les composantes connexes de Field sont les sous-catégories complètes de la caractéristique p , où p = 0 ou est un nombre premier . Chacune de ces sous-catégories a un objet initial : le corps premier de caractéristique p (qui est Q si p = 0, sinon le corps fini F _p ).

Catégories et foncteurs associés

Catégorie de groupes

Il existe un foncteur naturel de Ring à la catégorie des groupes , Grp , qui envoie chaque anneau R à son groupe d'unités U ( R ) et chaque homomorphisme d'anneau à la restriction à U ( R ). Ce foncteur a un adjoint à gauche qui envoie chaque groupe G à l' anneau de groupe intégral Z [ G ].

Un autre foncteur entre ces catégories envoie chaque anneau R au groupe d'unités de la matrice anneau M ₂ ( R ) qui agit sur la raie projective sur un anneau P( R ).

R -algèbres

Étant donné un anneau commutatif R on peut définir la catégorie R -Alg dont les objets sont tous des R -algèbres et dont les morphismes sont des homomorphismes de R -algèbre.

La catégorie des anneaux peut être considérée comme un cas particulier. Chaque anneau peut être considéré comme une algèbre Z d'une manière unique. Les homomorphismes en anneaux sont précisément les homomorphismes de l'algèbre Z. La catégorie des anneaux est donc isomorphe à la catégorie Z-Alg . De nombreuses déclarations sur la catégorie des anneaux peuvent être généralisées aux déclarations sur la catégorie des R -algèbres.

Pour chaque anneau commutatif R il existe un foncteur R -Alg → Ring qui oublie la structure R -module. Ce foncteur a un adjoint gauche qui envoie chaque anneau A au produit tensoriel R ⊗ _Z A , considéré comme un R -alg'ebre par la mise en r · ( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .

Anneaux sans identité

De nombreux auteurs n'exigent pas que les anneaux aient un élément d'identité multiplicatif et, par conséquent, n'exigent pas d'homomorphisme d'anneau pour préserver l'identité (si elle existe). Cela conduit à une catégorie assez différente. Pour la distinction, nous appelons ces structures algébriques rngs et leurs morphismes rng homomorphismes . La catégorie de tous les rngs sera notée Rng .

La catégorie des anneaux, Ring , est une sous - catégorie non complète de Rng . Il est non plein car il existe des homomorphismes rng entre anneaux qui ne préservent pas l'identité, et ne sont donc pas des morphismes dans Ring . Le foncteur d'inclusion Anneau → Rng a un adjoint à gauche qui jouxte formellement une identité à tout rng. Le foncteur d'inclusion Ring → Rng respecte les limites mais pas les colimites.

L' anneau zéro sert à la fois d'objet initial et terminal dans Rng (c'est-à-dire qu'il s'agit d'un objet zéro ). Il s'ensuit que Rng , comme Grp mais contrairement à Ring , a zéro morphisme . Ce ne sont que les homomorphismes rng qui mappent tout à 0. Malgré l'existence de morphismes nuls, Rng n'est toujours pas une catégorie préadditive . La somme ponctuelle de deux homomorphismes rng n'est généralement pas un homomorphisme rng.

Il existe un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des groupes abéliens à Rng envoyant un groupe abélien à l' anneau associé de carré zéro .

Les constructions libres sont moins naturelles en Rng qu'elles ne le sont en Ring . Par exemple, l'anneau libre généré par un ensemble { x } est l'anneau de tous les polynômes intégraux sur x sans terme constant, tandis que l'anneau libre généré par { x } n'est que l' anneau polynomial Z [ x ].

Les références

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Catégories abstraites et concrètes (PDF) . John Wiley & Fils. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders ; Garrett Birkhoff (1999). Algèbre ((3e éd.) éd.). Providence, Rhode Island : Société mathématique américaine. ISBN 0-8218-1646-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Catégories pour le mathématicien travaillant . Textes d'études supérieures en mathématiques 5 ((2e éd.) éd.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.