Équivalence des revenus - Revenue equivalence

Partie d' une série sur
Enchères
Les types
Tout payant Troc double brésilien Calcutta Bougie chinois Combinatoire Valeur commune Acceptation différée Prix ​​discriminatoire Double néerlandais Anglais Effronté français Premier prix généralisé Second prix généralisé Japonais Multi-attribut Multiunité Pas de réserve Sens inverse Écossais Premier prix scellé suédois Prix ​​uniforme Enchère unique Valeur des revenus Vickrey Walrasian yankee
Enchère
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Théorie
Biens numériques Prix ​​de l'anarchie Équivalence des revenus Malédiction du gagnant
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v t e

L'équivalence des revenus est un concept de la théorie des enchères qui stipule que, dans certaines conditions, tout mécanisme qui aboutit aux mêmes résultats (c.-à-d. Attribue des articles aux mêmes soumissionnaires) a également les mêmes revenus attendus.

Notation

Il existe un ensemble de résultats possibles. ${\ displaystyle X}$

Il existe des agents qui ont des évaluations différentes pour chaque résultat. La valorisation de l'agent (également appelée son «type») est représentée par une fonction: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle v_ {i}: X \ longrightarrow R _ {\ geq 0}}$

qui exprime la valeur qu'elle a pour chaque alternative, en termes monétaires.

Les agents ont des fonctions d' utilité quasi - linéaires ; cela signifie que, si le résultat est et que l'agent reçoit en plus un paiement (positif ou négatif), alors l'utilité totale de l'agent est: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle u_ {i}: = v_ {i} (x) + p_ {i}}$

Le vecteur de toutes les fonctions de valeur est désigné par . ${\ displaystyle v}$

Pour chaque agent , le vecteur de toutes les fonctions de valeur des autres agents est désigné par . Alors . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v _ {- i}}$${\ displaystyle v \ equiv (v_ {i}, v _ {- i})}$

Un mécanisme est une paire de fonctions:

• Une fonction, qui prend en entrée le vecteur de valeur et renvoie un résultat (elle est également appelée fonction de choix social ); ${\ Displaystyle Outcome}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x \ dans X}$
• Une fonction, qui prend comme entrée le vecteur de valeur et renvoie un vecteur de paiements,, déterminant combien chaque joueur devrait recevoir (un paiement négatif signifie que le joueur doit payer un montant positif). ${\ Displaystyle Payment}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle (p_ {1}, \ dots, p_ {n})}$

Les types d'agents sont des variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique . Ainsi, un mécanisme induit un jeu bayésien dans lequel la stratégie d'un joueur est son type rapporté en fonction de son vrai type. Un mécanisme est dit compatible incitatif bayésien-Nash s'il existe un équilibre bayésien de Nash dans lequel tous les acteurs rapportent leur véritable type.

Déclaration

Sous ces hypothèses, le théorème d'équivalence des revenus dit alors ce qui suit.

Pour deux mécanismes compatibles d'incitation bayésienne-Nash, si:

• La fonction est la même dans les deux mécanismes, et: ${\ Displaystyle Outcome}$
• Pour certains types , le paiement attendu du joueur (en moyenne sur les types des autres joueurs) est le même dans les deux mécanismes; ${\ displaystyle v_ {i} ^ {0}}$${\ displaystyle i}$
• La valorisation de chaque joueur est tirée d'un ensemble relié au chemin ,

alors:

• Les paiements attendus de tous types sont les mêmes dans les deux mécanismes, et donc:
• Les recettes attendues (- somme des paiements) sont les mêmes dans les deux mécanismes.

Exemple

Un exemple classique est la paire de mécanismes d'enchères: enchère au premier prix et enchère au deuxième prix . L'enchère au premier prix a une variante qui est compatible avec l'incitation bayésienne-Nash; L'enchère au deuxième prix est compatible avec la stratégie dominante et l'incitation, ce qui est encore plus fort que l'incitation bayésienne-Nash. Les deux mécanismes remplissent les conditions du théorème car:

• La fonction est la même dans les deux mécanismes - le plus offrant remporte l'article; et: ${\ Displaystyle Outcome}$
• Un joueur qui valorise l'objet à 0 paie toujours 0 dans les deux mécanismes.

En effet, le paiement attendu pour chaque joueur est le même dans les deux enchères, et les revenus du commissaire-priseur sont les mêmes; voir la page sur les enchères scellées au premier prix pour plus de détails.

Équivalence des mécanismes d'enchères dans les enchères à un seul article

En fait, nous pouvons utiliser l'équivalence des revenus pour prouver que de nombreux types d'enchères sont équivalents aux revenus. Par exemple, l'enchère du premier prix, l'enchère du deuxième prix et l'enchère tous payants sont toutes équivalentes en revenus lorsque les enchérisseurs sont symétriques (c'est-à-dire que leurs évaluations sont indépendantes et distribuées de manière identique).

Enchère au deuxième prix

Considérez la vente aux enchères d'objets uniques au deuxième prix , dans laquelle le joueur avec l'offre la plus élevée paie la deuxième offre la plus élevée. Il est optimal pour chaque joueur d'enchérir sa propre valeur . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b_ {i} = v_ {i}}$

Supposons qu'il remporte l'enchère et paie la deuxième offre la plus élevée, ou . Les revenus de cette vente aux enchères sont simples . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$

Vente aux enchères au premier prix

Dans la première vente aux enchères , où le joueur avec l'offre la plus élevée paie simplement son offre, si tous les joueurs enchérissent en utilisant une fonction d'enchères, il s'agit d'un équilibre de Nash. ${\ displaystyle b (v) = E (\ max _ {j \ neq i} v_ {j} ~ | ~ v_ {j} \ leq v ~ \ forall ~ j),}$

En d'autres termes, si chaque joueur enchérit de telle sorte qu'il offre la valeur attendue de la deuxième offre la plus élevée, en supposant que la leur était la plus élevée, alors aucun joueur n'est incité à dévier. Si cela était vrai, alors il est facile de voir que les revenus attendus de cette enchère sont également si remporte l'enchère. ${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle i}$

Preuve

Pour le prouver, supposons qu'un joueur 1 enchérisse où , bluffant effectivement que sa valeur est plutôt que . Nous voulons trouver une valeur telle que le gain attendu du joueur soit maximisé. ${\ displaystyle b (z)}$${\ displaystyle z <v}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z}$

La probabilité de gagner est alors . Le coût prévu de cette offre est de . Alors le gain attendu d'un joueur est ${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z)}$${\ displaystyle E (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ forall ~ i)}$

${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z) (vE (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ forall ~ i) )}$

Soit , une variable aléatoire. Ensuite, nous pouvons réécrire ce qui précède comme ${\ displaystyle X = \ max _ {i> 1} v_ {i}}$

${\ Displaystyle Pr (X <z) (vE (X ~ | X \ leq z))}$ .

En utilisant le fait général que , nous pouvons réécrire ce qui précède comme ${\ displaystyle E (X ~ | ~ X \ leq z) \ cdot Pr (X <z) = \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <z) -Pr (X <y) dy}$

${\ displaystyle Pr (X <z) \ cdot v-Pr (X <z) \ cdot z + \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <y) dy}$ .

Prenant des dérivées par rapport à , on obtient ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle Pr (X <z) '(vz) = 0 \ Rightarrow v = z}$ .

Ainsi, enchérir avec votre valeur maximise le gain attendu du joueur. Puisque monotone augmente, nous vérifions qu'il s'agit bien d'un point maximum. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Pr (X <z)}$

Vente aux enchères anglaise

Dans l'enchère ouverte à prix ascendant (aka enchère anglaise ), la stratégie dominante d'un acheteur est de rester dans l'enchère jusqu'à ce que le prix demandé soit égal à sa valeur. Ensuite, s'il est le dernier à rester dans l'arène, il gagne et paie la deuxième offre la plus élevée.

Considérons le cas de deux acheteurs, chacun avec une valeur qui est un tirage indépendant d'une distribution avec support [0,1], fonction de distribution cumulative F (v) et fonction de densité de probabilité f (v). Si les acheteurs se comportent selon leurs stratégies dominantes, alors un acheteur de valeur v gagne si la valeur x de son adversaire est inférieure. Ainsi sa probabilité de victoire est

${\ displaystyle w = \ Pr \ {x <v \} \ equiv F (v)}$

et son paiement attendu est

${\ displaystyle C (v) = \ int \ limits _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx}$

Le paiement attendu conditionnel au gain est donc

${\ displaystyle e (v) = {\ frac {C (v)} {F (v)}} = {\ frac {\ int \ limits _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx} { F (v)}}}$

Multiplier les deux côtés par F (v) et différencier par v donne l'équation différentielle suivante pour e (v).

${\ Displaystyle {e} '(v) F (v) + e (v) f (v) = vf (v)}$ .

Réorganiser cette équation,

${\ displaystyle {e} '(v) = {\ frac {f (v)} {F (v)}} (ve (v))}$

Soit B (v) la fonction d'offre d'équilibre dans l'enchère scellée au premier prix. Nous établissons l'équivalence des revenus en montrant que B (v) = e (v), c'est-à-dire que le paiement d'équilibre par le gagnant dans une enchère est égal au paiement d'équilibre attendu par le gagnant dans l'autre.

Supposons qu'un acheteur ait la valeur v et enchérisse b. Son adversaire enchérit selon la stratégie d'enchères d'équilibre. Le support de la distribution des offres de l'adversaire est [0, B (1)]. Ainsi, toute offre d'au moins B (1) gagne avec la probabilité 1. Par conséquent, la meilleure offre b se situe dans l'intervalle [0, B (1)] et nous pouvons donc écrire cette offre comme b = B (x) où x est dans [0,1]. Si l'adversaire a la valeur y, il enchérit B (y). Par conséquent, la probabilité de victoire est

${\ displaystyle w = \ Pr \ {b <B (y) \} = \ Pr \ {B (x) <B (y) \} = \ Pr \ {x <y \} = F (v)}$ .

Le gain attendu de l'acheteur est sa probabilité de gain multipliée par son gain net s'il gagne, c'est-à-dire

${\ Displaystyle U = w (vB (x)) = F (x) (vB (x))}$ .

En différenciant, la condition nécessaire pour un maximum est

${\ Displaystyle {U} '(x) = f (x) (vB (x)) - F (x) {B}' (x) = F (x) \ left ({\ frac {f (x)} {F (x)}} (vB (x)) - {B} '(x) \ right) = 0}$ .

C'est-à-dire que si B (x) est la meilleure réponse de l'acheteur, il doit satisfaire à cette condition de premier ordre. Enfin, nous notons que pour que B (v) soit la fonction d'offre d'équilibre, la meilleure réponse de l'acheteur doit être B (v). Ainsi x = v. Remplacer x dans la condition nécessaire,

${\ displaystyle {\ frac {f (v)} {F (v)}} (vB (v)) - {B} '(v) = 0}$ .

Notez que cette équation différentielle est identique à celle de e (v). Puisque e (0) = B (0) = 0, il s'ensuit que . ${\ Displaystyle B (v) = e (v)}$

Utilisation de l'équivalence des revenus pour prédire les fonctions d'enchères

Nous pouvons utiliser l'équivalence des revenus pour prédire la fonction d'enchère d'un joueur dans un jeu. Considérons la version à deux joueurs de la deuxième vente aux enchères de prix et la première vente aux enchères de prix, où la valeur de chaque joueur est tiré de façon uniforme à partir . ${\ displaystyle [0,1]}$

Enchère au deuxième prix

Le paiement attendu du premier joueur dans la deuxième enchère de prix peut être calculé comme suit:

${\ displaystyle E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Player 1 wins}}) P ({\ text {Player 1 wins}}) + E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Le joueur 1 perd}}) P ({\ text {Le joueur 1 perd}})}$

Étant donné que les joueurs enchérissent honnêtement lors d'une enchère au deuxième prix, nous pouvons remplacer tous les prix par les valeurs des joueurs. Si le joueur 1 gagne, il paie ce que le joueur 2 enchérit, ou . Le joueur 1 lui-même enchérit . Puisque le paiement est nul lorsque le joueur 1 perd, ce qui précède est ${\ displaystyle p_ {2} = v_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1} = v_ {1}}$

${\ displaystyle E (v_ {2} ~ | ~ v_ {2} <v_ {1}) P (v_ {2} <v_ {1}) + 0}$

Puisqu'il s'agit d'une distribution uniforme, nous pouvons simplifier cela pour ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1}} {2}} \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

Vente aux enchères au premier prix

Nous pouvons utiliser l'équivalence des revenus pour générer la fonction d'enchère symétrique correcte lors de la première enchère de prix. Supposons que dans la première vente aux enchères, chaque joueur dispose de la fonction d'enchères , où cette fonction est inconnue à ce stade. ${\ displaystyle b (v)}$

Le paiement attendu du joueur 1 dans ce jeu est alors

${\ displaystyle E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Player 1 wins}}) P ({\ text {Player 1 wins}}) + E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Le joueur 1 perd}}) P ({\ text {Le joueur 1 perd}})}$ (comme ci-dessus)

Maintenant, un joueur paie simplement ce que le joueur enchérit, et supposons que les joueurs avec des valeurs plus élevées gagnent toujours, de sorte que la probabilité de gagner est simplement la valeur d'un joueur, comme dans l'enchère au deuxième prix. Nous montrerons plus tard que cette hypothèse était correcte. Encore une fois, un joueur ne paie rien s'il perd l'enchère. On obtient alors

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} +0}$

Par le principe d'équivalence des revenus, nous pouvons assimiler cette expression aux revenus de l'enchère au deuxième prix que nous avons calculé ci-dessus:

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

À partir de là, nous pouvons déduire la fonction d'enchères:

${\ displaystyle b (v_ {1}) = {\ frac {v_ {1}} {2}}}$

Notez qu'avec cette fonction d'enchères, le joueur avec la valeur la plus élevée gagne toujours. Nous pouvons montrer qu'il s'agit de la fonction d'enchère d'équilibre correcte d'une manière supplémentaire, en réfléchissant à la façon dont un joueur devrait maximiser son enchère étant donné que tous les autres joueurs enchérissent en utilisant cette fonction d'enchères. Consultez la page sur les enchères scellées au premier prix .

Enchères tout payant

De même, nous savons que le paiement attendu du joueur 1 dans l'enchère du deuxième prix est , et il doit être égal au paiement attendu dans l' enchère tout payant , c'est-à-dire ${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} = b (v_ {1})}$

Ainsi, la fonction d'enchère pour chaque joueur de l'enchère tout payant est ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}}}$

Implications

Une implication importante du théorème est que toute vente aux enchères d'un seul article qui donne sans condition l'article au plus offrant aura les mêmes revenus attendus. Cela signifie que, si nous voulons augmenter les revenus du commissaire-priseur, la fonction de résultat doit être modifiée. Une façon de faire est de définir un prix de réservation sur l'article. Cela modifie la fonction de résultat puisque maintenant l'article n'est pas toujours donné au plus offrant. En sélectionnant soigneusement le prix de réservation, un commissaire-priseur peut obtenir un revenu attendu nettement plus élevé.

Limites

Le théorème d'équivalence des revenus se rompt dans certains cas importants:

• Lorsque les joueurs sont averses au risque plutôt que neutres au risque comme supposé ci-dessus. Dans ce cas, on sait que les enchères au premier prix génèrent plus de revenus que les enchères au second prix.
• Lorsque les évaluations des joueurs sont interdépendantes, par exemple si les évaluations dépendent d'un état du monde qui n'est que partiellement connu des soumissionnaires (cela est lié à la malédiction du gagnant ). Dans ce scénario, les enchères anglaises génèrent plus de revenus que les enchères au second prix, car elles permettent aux enchérisseurs de tirer des informations des offres des autres joueurs.

Les références

• Hartline, Jason, Approximation en conception économique (PDF) .