Rotor (mathématiques) - Rotor (mathematics)

Un rotor est un objet dans l' algèbre géométrique d'un espace vectoriel (également appelé algèbre de Clifford ) qui représente une rotation autour de l' origine . Le terme provient de William Kingdon Clifford , en montrant que l' algèbre des quaternions n'est qu'un cas particulier de la « théorie de l'extension » de Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre). Hestenes a défini un rotor comme étant tout élément d'une algèbre géométrique qui peut être écrit comme le produit d'un nombre pair de vecteurs unitaires et satisfait , où est l'« inverse » de${\style d'affichage R}$${\displaystyle R{\tilde {R}}=1}$${\displaystyle {\tilde {R}}}$${\style d'affichage R}$— c'est-à-dire le produit des mêmes vecteurs, mais dans l'ordre inverse.

Définition

En mathématiques, un rotor dans l'algèbre géométrique d'un espace vectoriel V est la même chose qu'un élément du groupe de spin Spin( V ). Nous définissons ce groupe ci-dessous.

Soit V un espace vectoriel muni d'une forme quadratique définie positive q , et soit Cl( V ) l'algèbre géométrique associée à V . L'algèbre Cl( V ) est le quotient de l' algèbre tensorielle de V par les relations pour tout . (Le produit tensoriel dans Cl( V ) est ce qu'on appelle le produit géométrique en algèbre géométrique et dans cet article est noté .) La gradation Z sur l'algèbre tensorielle de V descend à une gradation Z /2 Z sur Cl( V ), que l'on note${\displaystyle v\cdot v=q(v)}$${\style d'affichage v\dans V}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{\text{even}}(V)\oplus \operatorname {Cl} ^{\text{impair}}(V).}$

Ici, Cl ^pair ( V ) est généré par des lames de degré ^pair et Cl ^impair ( V ) est généré par des lames de degré impair.

Il existe un antiautomorphisme unique de Cl( V ) qui se restreint à l'identité sur V : c'est ce qu'on appelle la transposée, et la transposée de tout multivecteur a est notée . Sur une lame (c'est-à-dire un simple tenseur), il inverse simplement l'ordre des facteurs. Le groupe de spin Spin( V ) est défini comme le sous-groupe de Cl ^pair ( V ) constitué de multivecteurs R tels que C'est-à-dire qu'il se compose de multivecteurs qui peuvent être écrits comme le produit d'un nombre pair de vecteurs unitaires. ${\displaystyle {\tilde {a}}}$${\displaystyle R{\tilde {R}}=1.}$

Action comme rotation sur l'espace vectoriel

α > θ / 2

α < θ / 2

Rotation d'un vecteur a par l'angle θ , comme une double réflexion le long de deux vecteurs unitaires n et m , séparés par l'angle θ /2 (pas seulement θ ). Chaque prime sur a indique une réflexion. Le plan du diagramme est le plan de rotation.

Les réflexions le long d'un vecteur en algèbre géométrique peuvent être représentées comme (moins) prenant en sandwich un multivecteur M entre un vecteur non nul v perpendiculaire à l' hyperplan de réflexion et l' inverse de ce vecteur v ⁻¹ :

${\displaystyle -vMv^{-1}}$

et sont de même grade. Sous une rotation générée par le rotor R , un multivecteur général M se transformera des deux côtés comme

${\displaystyle RMR^{-1}.}$

Cette action donne un homomorphisme surjectif présentant Spin( V ) comme une double couverture de SO( V ). (Voir le groupe Spin pour plus de détails.) ${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)}$

Formule alternative restreinte

Pour un espace euclidien , il peut être commode d'envisager une formulation alternative, et certains auteurs définissent l'opération de réflexion comme (moins) la prise en sandwich d'un multivecteur unitaire (c'est-à-dire normalisé) :

${\displaystyle -vMv,\quad v^{2}=1,}$

formant des rotors qui sont automatiquement normalisés :

${\displaystyle R{\tilde {R}}={\tilde {R}}R=1.}$

L'action dérivée du rotor s'exprime alors sous la forme d'un produit sandwich avec l'inverse :

${\displaystyle RM{\tilde {R}}}$

Pour une réflexion pour laquelle le vecteur associé est carré à un scalaire négatif, comme cela peut être le cas avec un espace pseudo-euclidien , un tel vecteur ne peut être normalisé qu'au signe de son carré près, et une comptabilité supplémentaire du signe de l'application le rotor devient nécessaire. La formulation en termes de produit sandwich avec l'inverse comme ci-dessus ne souffre pas d'un tel inconvénient.

Rotations de multivecteurs et spineurs

Cependant, bien que les multivecteurs se transforment également des deux côtés, les rotors peuvent être combinés et former un groupe , et ainsi plusieurs rotors se composent d'un seul côté. La formulation alternative ci-dessus n'est pas auto-normalisée et motive la définition du spineur en algèbre géométrique comme un objet qui se transforme unilatéralement - c'est-à-dire que les spineurs peuvent être considérés comme des rotors non normalisés dans lesquels l'inverse plutôt que l'inverse est utilisé dans le produit sandwich.

Algèbres de représentation homogènes

Dans les algèbres de représentation homogènes telles que l'algèbre géométrique conforme , un rotor dans l'espace de représentation correspond à une rotation autour d'un point arbitraire , une translation ou éventuellement une autre transformation dans l'espace de base.

Voir également

• Double rotation
• Groupe de mensonges
• la formule d'Euler
• Générateur (mathématiques)

Les références