Dégradé oblique - Skew gradient

En mathématiques , un gradient oblique d'une fonction harmonique sur un domaine simplement connecté avec deux dimensions réelles est un champ vectoriel qui est partout orthogonal au gradient de la fonction et qui a la même amplitude que le gradient.

Définition

Le gradient d'inclinaison peut être défini à l'aide d'une analyse complexe et des équations de Cauchy – Riemann .

Soit une fonction analytique à valeurs complexes, où u , v sont des fonctions scalaires à valeurs réelles des variables réelles  x ,  y . ${\ Displaystyle f (z (x, y)) = u (x, y) + iv (x, y)}$

Un dégradé oblique est défini comme:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {\ perp} u (x, y) = \ nabla v (x, y)}$

et des équations de Cauchy – Riemann , on déduit que

${\ displaystyle \ nabla ^ {\ perp} u (x, y) = (- {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial u} {\ partial x}})}$

Propriétés

Le gradient oblique a deux propriétés intéressantes. Il est partout orthogonal au gradient de u, et de même longueur:

${\ displaystyle \ nabla u (x, y) \ cdot \ nabla ^ {\ perp} u (x, y) = 0, \ rVert \ nabla u \ rVert = \ rVert \ nabla ^ {\ perp} u \ rVert}$

Les références