Espace pierre - Stone space

Dans la topologie et les domaines connexes des mathématiques , un espace de pierre , également connu sous le nom d' espace profini ,est un espace Hausdorff compact et totalement déconnecté . Les espaces en pierre portent le nom de Marshall Harvey Stone qui les a introduits et étudiés dans les années 1930 au cours de son enquête sur les algèbres booléennes , qui a abouti à son théorème de représentation des algèbres booléennes .

Conditions équivalentes

Les conditions suivantes sur l'espace topologique sont équivalentes : ${\style d'affichage X}$

• ${\style d'affichage X}$ est un espace Pierre ;
• ${\style d'affichage X}$est homéomorphe à la limite projective (dans la catégorie des espaces topologiques ) d'un système inverse d' espaces discrets finis ;
• ${\style d'affichage X}$est compact et totalement séparé ;
• ${\style d'affichage X}$est compact, T ₀ , et de dimension zéro (au sens de la petite dimension inductive ) ;
• ${\style d'affichage X}$est cohérent et Hausdorff.

Exemples

Des exemples importants d'espaces de pierre incluent les espaces discrets finis , l' ensemble de Cantor et l'espace des entiers -adiques , où est un nombre premier . En généralisant ces exemples, tout produit d'espaces discrets finis est un espace de pierre, et l'espace topologique sous-jacent à tout groupe profini est un espace de pierre. La compactification de Stone–Čech des nombres naturels à topologie discrète, ou bien de tout espace discret, est un espace de Stone. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$

Théorème de représentation de Stone pour les algèbres booléennes

A chaque algèbre booléenne on peut associer un espace de Stone comme suit : les éléments de sont les ultrafiltres sur et la topologie sur appelée${\style d'affichage B}$${\style d'affichage S(B)}$${\style d'affichage S(B)}$${\style d'affichage B,}$${\style d'affichage S(B),}$ la topologie de Stone , est générée par les ensembles de la formeoù${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$${\style d'affichage b\dans B.}$

Le théorème de représentation de Stone pour les algèbres booléennes stipule que chaque algèbre booléenne est isomorphe à l'algèbre booléenne des ensembles clopen de l'espace de Stone ; et de plus, chaque espace de pierre est homéomorphe à l'espace de pierre appartenant à l'algèbre booléenne ouverts - fermés de ces missions sont fonctorielle , et on obtient une dualité de catégorie théorique entre la catégorie des algèbres booléennes (avec homomorphismes morphismes) et la catégorie des Espaces de pierre (avec des cartes continues comme morphismes). ${\style d'affichage S(B)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$

Le théorème de Stone a donné lieu à un certain nombre de dualités similaires, maintenant collectivement connues sous le nom de dualités de pierre .

Voir également

• Compactification pierre–Čech#Construction par ultrafiltres
• Filtres en topologie  – Utilisation de filtres pour décrire et caractériser toutes les notions et résultats topologiques de base.

Les références

Lectures complémentaires

• Peter Johnstone , Stone Spaces , Cambridge University Press, 1982