Sous-structure (mathématiques) - Substructure (mathematics)

Dans la logique mathématique , un ( induit ) sous - structure ou ( induit ) sous - algèbre est une structure de dont le domaine est un sous - ensemble de celle d'une structure plus grande, et dont les fonctions et les relations sont limités au domaine de la sous - structure. Quelques exemples de sous-algèbres sont des sous- groupes , des sous - monoïdes , des sous - ensembles , des sous - champs , des sous- algèbres d' algèbres sur un champ ou des sous-graphes induits . En changeant le point de vue, la plus grande structure est appelée une extension ou une superstructure de sa sous-structure.

Dans la théorie des modèles , le terme « sous-modèle » est souvent utilisé comme synonyme de sous-structure, en particulier lorsque le contexte suggère une théorie dont les deux structures sont des modèles.

En présence de relations ( par exemple pour des structures telles que les groupes ordonnés ou graphiques , dont la signature ne fonctionne pas) , il peut être judicieux de détendre les conditions sur une sous - algèbre de sorte que les relations sur une sous - structure faible (ou sous - algèbre faible ) sont au plus les induit par la plus grande structure. Les sous-graphes sont un exemple où la distinction compte, et le terme «sous-graphe» fait en effet référence à des sous-structures faibles. Les groupes ordonnés , d'autre part, ont la propriété spéciale que chaque sous-structure d'un groupe ordonné qui est lui-même un groupe ordonné, est une sous-structure induite.

Définition

Étant donné deux structures A et B de même signature σ, on dit que A est une sous - structure faible de B , ou une sous - algèbre faible de B , si

• le domaine de A est un sous-ensemble du domaine de B ,
• f ^A = f ^B | _{Un ⁿ} pour tout symbole de fonction n -ary f dans σ, et
• R ^A R ^B A ⁿ pour tout symbole de relation n -ary R dans σ.${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle \ cap}$

On dit que A est une sous - structure de B , ou une sous - algèbre de B , si A est une sous-algèbre faible de B et, de plus,

• R ^A = R ^B A ⁿ pour tout symbole de relation n -ary R dans σ.${\ displaystyle \ cap}$

Si A est une sous - structure de B , alors B est appelée une superstructure de A ou, en particulier si A est une sous - structure induite, une prolongation de A .

Exemple

Dans le langage constitué des fonctions binaires + et ×, de la relation binaire <, et des constantes 0 et 1, la structure ( Q , +, ×, <, 0, 1) est une sous-structure de ( R , +, ×, <, 0, 1). Plus généralement, les sous-structures d'un champ ordonné (ou simplement d'un champ ) sont précisément ses sous-champs. De même, dans le langage (×, ⁻¹ , 1) des groupes, les sous-structures d'un groupe sont ses sous-groupes . Dans le langage (×, 1) des monoïdes, cependant, les sous-structures d'un groupe sont ses sous- monoïdes . Ils n'ont pas besoin d'être des groupes; et même s’il s’agit de groupes, ils n’ont pas besoin d’être des sous-groupes.

Dans le cas des graphes (dans la signature constituée d'une relation binaire), les sous - graphes et ses sous-structures faibles sont précisément ses sous-graphes.

En tant que sous-objets

Pour toute signature σ, les sous-structures induites de σ-structures sont les sous - objets de la catégorie concrète des σ-structures et des homomorphismes forts (et aussi de la catégorie concrète des σ-structures et des σ- plongements ). Les sous-structures faibles des σ-structures sont les sous - objets de la catégorie concrète des σ-structures et des homomorphismes au sens ordinaire.

Sous-modèle

Dans la théorie du modèle, compte tenu de la structure M qui est un modèle d'une théorie T , un sous - modèle de M dans un sens plus étroit est une sous - structure de M qui est aussi un modèle de T . Par exemple, si T est la théorie des groupes abéliens dans la signature (+, 0), alors les sous-modèles du groupe d'entiers ( Z , +, 0) sont les sous-structures qui sont également des groupes abéliens. Ainsi les nombres naturels ( N , +, 0) forment une sous-structure de ( Z , +, 0) qui n'est pas un sous-modèle, tandis que les nombres pairs (2 Z , +, 0) forment un sous-modèle.

Autres exemples:

1. Les nombres algébriques forment un sous-modèle des nombres complexes dans la théorie des champs algébriquement clos .
2. Les nombres rationnels forment un sous-modèle des nombres réels dans la théorie des champs .
3. Toute sous - structure élémentaire d'un modèle d'une théorie T satisfait également T ; c'est donc un sous-modèle.

Dans la catégorie des modèles d'une théorie et des plongements entre eux, les sous-modèles d'un modèle sont ses sous-objets .

Voir également

• Sous-structure élémentaire
• Terminer l'extension
• Théorème de Löwenheim – Skolem
• Modèle Prime

Les références

• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1981), Cours d'algèbre universelle , Berlin, New York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Théorie des graphes , Textes diplômés en mathématiques, 173 (3e éd.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), Une théorie des modèles plus courte , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6