algébriquement fermé - Algebraically closed field


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Dans l' algèbre abstraite , un corps algébriquement clos F contient une racine pour chaque polynôme non constant dans F [ x ], l' anneau des polynômes de la variable x à coefficients dans F .

Exemples

A titre d'exemple, le champ de nombres réels ne sont pas algébriquement fermé, parce que l'équation polynomiale x 2  + 1 = 0 n'a pas de solution en nombres réels, même si tous ses coefficients (1 et 0) sont réels. Le même argument prouve que pas sous - champ du champ réel est algébriquement fermé; en particulier, le domaine des nombres rationnels ne sont pas algébriquement clos. En outre, aucun champ fini F est algébriquement clos, parce que si un 1 , un 2 , ..., a n sont les éléments de F , puis le polynôme ( x  -  a 1 ) ( x  -  a 2 ) ··· ( x  -  a n ) + 1 n'a pas de zéro dans F . En revanche, le théorème fondamental de l' algèbre indique que le domaine des nombres complexes est algébriquement clos. Un autre exemple d'un corps algébriquement clos est le champ de (complexes) nombres algébriques .

propriétés équivalentes

Étant donné un champ F , l'affirmation « F est algébriquement clos » équivaut à d' autres affirmations:

Les seuls polynômes irréductibles sont ceux d'un degré

Le champ F est algébriquement clos si et seulement si les seuls polynômes irréductibles du noyau polynôme F [ x ] sont ceux du premier degré.

L'affirmation « les polynômes d' un degré quelconque sont irréductibles » est trivialement vrai pour tout terrain. Si F est algébriquement fermé et p ( x ) est un polynôme irréductible de F [ x ], il a une certaine racine a donc p ( x ) est un multiple de x  -  a . Puisque p ( x ) est irréductible, cela signifie que p ( x ) =  k ( x  -  a ), pour un certain k  ∈  F  \ {0}. D'autre part, si F est pas algébriquement fermé, alors il y a un polynôme non constant p ( x ) dans F [ x ] sans racines dans F . Que q ( x ) soit un facteur irréductible de p ( x ). Etant donné que p ( x ) n'a pas de racines dans F , q ( x ) a également pas de racines dans F . Par conséquent, q ( x ) est de degré supérieur à un, puisque chaque polynôme du premier degré a une racine dans F .

Tout polynôme est un produit de premier degré polynômes

Le champ F est algébriquement clos si et seulement si chaque polynôme p ( x ) de degré n  ≥ 1, avec des coefficients dans F , se divise en facteurs linéaires . En d' autres termes, il existe des éléments kx 1x 2 , ...,  x n du champ F tel que p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ··· ( x  -  x n ).

Si F a cette propriété, il est clair que tout polynôme non constant dans F [ x ] a une racine dans F ; en d' autres termes, F est algébriquement fermé. D'autre part, que la propriété indiquée ici est valable pour F si F est algébriquement suit fermée de la propriété précédente ainsi que le fait que, pour tout champ K , tout polynôme en K [ x ] peut être écrit en tant que produit de polynômes irréductibles .

Polynômes de degré premier ont des racines

J. Shipman a montré en 2007 que si tout polynôme sur F de degré premier a une racine dans F , alors tout polynôme non constant a une racine dans F , donc F est algébriquement fermé.

Le champ n'a pas d'extension algébrique appropriée

Le champ F est fermé algébriquement si et seulement si elle n'a pas une bonne extension algébrique .

Si F n'a pas d' extension algébrique correcte, laissez - p ( x ) soit une polynôme irréductible dans F [ x ]. Ensuite , le quotient de F [ x ] modulo l' idéal généré par p ( x ) est une extension algébrique de F dont le degré est égal au degré de p ( x ). Puisqu'il n'est pas une bonne extension, son degré est 1 et donc le degré de p ( x ) est 1.

D'autre part, si F a une certaine extension algébrique appropriée K , le polynôme minimal d'un élément dans K  \  F est irréductible et son degré est supérieur à 1.

Le champ n'a pas une bonne extension finie

Le champ F est fermé algébriquement si et seulement si elle n'a pas fini extension algébrique parce que si, dans la preuve précédente , le mot « algébrique » est remplacé par le mot « fini », la preuve est toujours valable.

Chaque endomorphisme de F n a quelque vecteur propre

Le champ F est fermé algébriquement si et seulement si, pour chaque nombre naturel n , chaque linéaire de F n en lui - même a une certaine vecteur propre .

Un endomorphisme de F n a un vecteur propre si et seulement si le polynôme caractéristique a une certaine racine. Par conséquent, lorsque F est algébriquement fermé, tout endomorphisme de F n a quelque vecteur propre. D'autre part, si tout endomorphisme de F n a un vecteur propre, laissez - p ( x ) un élément de F [ x ]. En divisant par son coefficient de premier plan, nous obtenons un autre polynôme q ( x ) qui a des racines si et seulement si p ( x ) a des racines. Mais si q ( x ) =  x n  +  a n  - 1 x n  - 1 + ··· +  a 0 , alors q ( x ) est le polynôme caractéristique de la n × n matrice compagnon

La décomposition des expressions rationnelles

Le champ F est algébriquement clos si et seulement si chaque fonction rationnelle à une variable x , avec des coefficients de F , peut être écrite comme la somme d'une fonction polynomiale avec des fonctions rationnelles de la forme a / ( x  -  b ) n , où n est un nombre naturel, et a et b sont des éléments de F .

Si F est algébriquement clos alors, étant donné que les polynômes irréductibles de F [ x ] sont tous de degré 1, la propriété énoncée ci - dessus tient par le théorème de décomposition en éléments simples .

D'autre part, supposons que la propriété indiquée ci - dessus détient pour le champ F . Soit p ( x ) soit un élément irréductible dans F [ x ]. Ensuite , la fonction rationnelle 1 / p peut être écrite comme la somme d'une fonction polynomiale q avec des fonctions rationnelles de la forme a / ( x  -  b ) n . Par conséquent, l'expression rationnelle

peut être écrit comme un quotient de deux polynômes dans lequel le dénominateur est un produit de premiers polynômes de degré. Puisque p ( x ) est irréductible, il faut diviser ce produit et, par conséquent, il doit aussi être un polynôme du premier degré.

polynômes et des racines relativement premiers

Pour tout champ F , si deux polynômes p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] sont relativement premiers alors ils n'ont pas une racine commune, car si un  ∈  F est une racine commune, alors  p ( x ) et   q ( x ) seraient tous deux de multiples x  -  un et donc ils ne seraient pas premiers entre eux . Les champs pour lesquels l'implication inverse est (à savoir, les domaines tels que , lorsque deux polynômes ont pas de racine commune puis ils sont relativement premiers) sont précisément les champs algébriquement clos.

Si le champ F est algébriquement fermé, laissez - p ( x ) et q ( x ) deux polynômes qui ne sont pas premiers entre eux et laissez - r ( x ) soit leur plus grand commun diviseur . Ensuite, puisque r ( x ) n'est pas constante, il aura une racine d' un , qui sera alors une racine commune de p ( x ) et q ( x ).

Si F n'est pas algébriquement fermé, laissez - p ( x ) un polynôme dont le degré est d' au moins 1 sans racines. Ensuite , p ( x ) et p ( x ) ne sont pas premiers entre eux , mais ils ont pas de racines communes (car aucun d'entre eux a des racines).

D'autres propriétés

Si F est un champ algébriquement fermé et n est un nombre naturel, puis F contient toutes les n ième racines de l' unité, parce que ce sont (par définition) , le n de zéros du polynôme (pas nécessairement distincts) x n  - 1. Une extension de champ qui est contenue dans une extension générée par les racines de l' unité est un prolongement cyclotomique , et l'extension d'un champ généré par toutes les racines de l' unité est parfois appelé sa fermeture cyclotomique . Ainsi , les champs fermés sont algébriquement cyclotomically fermés. L'inverse est pas vrai. Même en supposant que chaque polynôme de la forme x n  -  un se divise en facteurs linéaires ne suffit pas pour assurer que le champ est algébriquement clos.

Si une proposition qui peut être exprimé dans la langue de la logique du premier ordre est vrai pour un champ algébriquement fermé, il est vrai pour chaque champ algébriquement fermé avec la même caractéristique . En outre, si une telle proposition est valable pour un champ algébriquement fermé avec caractéristique 0, non seulement est - il valable pour tous les autres champs algébriquement fermés avec 0 caractéristique, mais il y a un certain nombre naturel N telle que la proposition est valable pour tous les algébriquement fermés champ de caractéristique  p lorsque p  >  N .

Chaque champ F a une extension qui est algébriquement fermé. Une telle extension est appelée une extension algébriquement close . Parmi toutes ces extensions il y a une et une seule ( à isomorphisme près , mais pas unique isomorphisme ) qui est une extension algébrique de F ; on l'appelle la fermeture algébrique de F .

La théorie des champs algébriquement fermés a l' élimination des quantificateurs .

Remarques

Références

  • Barwise, Jon (1978), "Introduction à la logique du premier ordre", dans Barwise, Jon, Manuel de la logique mathématique , études dans la logique et les fondements des mathématiques, Hollande du Nord, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang, Serge (2002), Algèbre , Textes études supérieures en mathématiques , 211 (troisième édition révisée.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , M.  1878556
  • Shipman, Joseph (2007), "Améliorer le théorème fondamental de l' algèbre", Mathematical Intelligencer , 29 (4), pp 9-14,. Doi : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), l' algèbre , je (7e éd.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7