Dépendance à la température de la viscosité - Temperature dependence of viscosity

La viscosité dépend fortement de la température. Dans les liquides, elle diminue généralement avec l'augmentation de la température, tandis que, dans la plupart des gaz, la viscosité augmente avec l'augmentation de la température. Cet article traite de plusieurs modèles de cette dépendance, allant des calculs rigoureux des premiers principes pour les gaz monoatomiques aux corrélations empiriques pour les liquides.

Comprendre la dépendance à la température de la viscosité est important dans de nombreuses applications, par exemple les lubrifiants techniques qui fonctionnent bien dans des conditions de température variables (comme dans un moteur de voiture), car les performances d'un lubrifiant dépendent en partie de sa viscosité. Les problèmes techniques de ce type relèvent de la tribologie .

Ici, la viscosité dynamique est désignée par et la viscosité cinématique par . Les formules données ne sont valables que pour une échelle de température absolue ; par conséquent, sauf indication contraire, les températures sont en kelvins . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ nu}$

Causes physiques

La viscosité dans les gaz provient des molécules traversant les couches d'écoulement et transférant la quantité de mouvement entre les couches. Ce transfert d'impulsion peut être considéré comme une force de frottement entre les couches d'écoulement. Étant donné que le transfert de quantité de mouvement est provoqué par le mouvement libre des molécules de gaz entre les collisions, l'augmentation de l'agitation thermique des molécules entraîne une viscosité plus grande. Par conséquent, la viscosité gazeuse augmente avec la température.

Dans les liquides, les forces visqueuses sont causées par des molécules exerçant des forces d'attraction les unes sur les autres à travers les couches d'écoulement. L'augmentation de la température entraîne une diminution de la viscosité car une température plus élevée signifie que les particules ont une plus grande énergie thermique et sont plus facilement capables de surmonter les forces d'attraction les liant ensemble. Un exemple quotidien de cette diminution de viscosité est l'huile de friture se déplaçant de manière plus fluide dans une poêle à frire chaude que dans une poêle froide.

Des gaz

La théorie cinétique des gaz permet un calcul précis de la variation de température de la viscosité gazeuse. La base théorique de la théorie cinétique est donnée par l' équation de Boltzmann et la théorie de Chapman – Enskog , qui permettent une modélisation statistique précise des trajectoires moléculaires. En particulier, étant donné un modèle d'interactions intermoléculaires, on peut calculer avec une grande précision la viscosité des gaz monatomiques et autres gaz simples (pour les gaz plus complexes, tels que ceux composés de molécules polaires , des hypothèses supplémentaires doivent être introduites qui réduisent la précision de la théorie ).

Les prédictions de viscosité pour quatre modèles moléculaires sont discutées ci-dessous. Les prédictions des trois premiers modèles (sphère dure, loi de puissance et Sutherland) peuvent être simplement exprimées en termes de fonctions élémentaires. Le modèle de Lennard – Jones prédit une dépendance plus compliquée , mais il est plus précis que les trois autres modèles et est largement utilisé dans la pratique de l'ingénierie. ${\ displaystyle T}$

Théorie cinétique de la sphère dure

Si l'on modélise les molécules de gaz comme des sphères dures élastiques (avec masse et diamètre ), alors la théorie cinétique élémentaire prédit que la viscosité augmente avec la racine carrée de la température absolue : ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ mu = 1.016 \ cdot {\ frac {5} {16 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k _ {\ rm {B}} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1/2}}

où est la constante de Boltzmann . Tout en prédisant correctement l'augmentation de la viscosité gazeuse avec la température, la tendance n'est pas précise; la viscosité des gaz réels augmente plus rapidement que cela. Capturer la dépendance réelle nécessite des modèles d'interactions moléculaires plus réalistes, en particulier l'inclusion d'interactions attractives qui sont présentes dans tous les gaz réels. ${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$ ${\ displaystyle T ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle T}$

Force de la loi du pouvoir

Une amélioration modeste par rapport au modèle de la sphère dure est une force répulsive de loi de puissance inverse, où la force entre deux molécules séparées par la distance est proportionnelle à , où est un paramètre empirique. Ce n'est pas un modèle réaliste pour les gaz du monde réel (sauf peut-être à haute température), mais fournit une illustration simple de la façon dont les interactions intermoléculaires changeantes affectent la dépendance à la température prédite de la viscosité. Dans ce cas, la théorie cinétique prédit une augmentation de la température comme , où . Plus précisément, si est la viscosité connue à température , alors ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 1 / r ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle T ^ {s}}$ ${\ displaystyle s = (1/2) +2 / (\ nu -1)}$ ${\ displaystyle \ mu '}$ ${\ displaystyle T '}$

{\ displaystyle \ mu = \ mu '(T / T') ^ {s}}

La prise récupère le résultat sphère dure, . Pour fini , correspondant à une répulsion plus douce, est supérieur à , ce qui se traduit par une augmentation plus rapide de la viscosité par rapport au modèle à sphère dure. L'ajustement aux données expérimentales pour l'hydrogène et l'hélium donne des prévisions pour et indiquées dans le tableau. Le modèle est légèrement précis pour ces deux gaz, mais inexact pour les autres gaz. ${\ displaystyle \ nu \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle s = 1/2}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle 1/2}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ nu}$

Tableau: Paramètres potentiels de la loi de puissance inverse pour l'hydrogène et l'hélium
Gaz	${\ displaystyle s}$	${\ displaystyle v}$	Temp. plage (K)
Hydrogène	0,668	12,9	273–373
Hélium	0,657	13,7	43–1073

Modèle Sutherland

Un autre modèle simple de viscosité gazeuse est le modèle de Sutherland, qui ajoute de faibles attractions intermoléculaires au modèle à sphère dure. Si les attractions sont petites, elles peuvent être traitées de manière perturbatrice , ce qui conduit à

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {5} {16 \ sigma ^ {2}}} \ left ({\ frac {k _ {\ text {B}} mT} {\ pi}} \ right) ^ {1 / 2} \ cdot \ left (1 + {\ frac {S} {T}} \ right) ^ {- 1}}

où , appelée constante de Sutherland, peut être exprimée en termes de paramètres de la force d'attraction intermoléculaire. De manière équivalente, si est une viscosité connue à température , alors ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mu '}$ ${\ displaystyle T '}$

{\ displaystyle \ mu = \ mu '\ gauche ({\ frac {T} {T'}} \ droite) ^ {3/2} {\ frac {T '+ S} {T + S}}}

Les valeurs obtenues à partir de l'ajustement aux données expérimentales sont indiquées dans le tableau ci-dessous pour plusieurs gaz. Le modèle est légèrement précis pour un certain nombre de gaz ( azote , oxygène , argon , air et autres), mais inexact pour d'autres gaz comme l' hydrogène et l' hélium . En général, il a été avancé que le modèle de Sutherland est en fait un modèle médiocre d'interactions intermoléculaires et qu'il n'est utile que comme simple formule d'interpolation pour un ensemble restreint de gaz sur une plage restreinte de températures. ${\ displaystyle S}$

Tableau: constantes de Sutherland des gaz sélectionnés
Gaz	${\ displaystyle S}$ (K)	Temp. plage (K)
Air sec	113	293–373
Hélium	72,9	293–373
Néon	64,1	293–373
Argon	148	293–373
Krypton	188	289–373
Xénon	252	288–373
Azote	104,7	293–1098
Oxygène	125	288-1102

Lennard-Jones

Dans des conditions assez générales sur le modèle moléculaire, la prédiction de la théorie cinétique pour peut s'écrire sous la forme ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {5} {16 \ pi ^ {1/2}}} {\ frac {(mk _ {\ text {B}} T) ^ {1/2}} {\ sigma ^ {2} \ Omega (T)}}}

où s'appelle l' intégrale de collision et est fonction de la température ainsi que des paramètres de l'interaction intermoléculaire. Elle est complètement déterminée par la théorie cinétique, exprimée en termes d'intégrales sur les trajectoires collisionnelles de paires de molécules. En général, est une fonction compliquée à la fois de la température et des paramètres moléculaires; les modèles de loi de puissance et de Sutherland sont inhabituels en ce qu'ils peuvent être exprimés en termes de fonctions élémentaires. ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Le modèle de Lennard – Jones suppose un potentiel de paire intermoléculaire de la forme

{\ displaystyle V (r) = 4 \ epsilon \ left [\ left ({\ frac {\ sigma} {r}} \ right) ^ {12} - \ left ({\ frac {\ sigma} {r}} \ right) ^ {6} \ right]}

où et sont des paramètres et est la distance séparant les centres de masse des molécules. En tant que tel, le modèle est conçu pour des molécules à symétrie sphérique. Néanmoins, il est fréquemment utilisé pour des molécules à symétrie non sphérique à condition que celles-ci ne possèdent pas un moment dipolaire important . ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle r}$

L'intégrale de collision pour le modèle de Lennard-Jones ne peut pas être exprimée exactement en termes de fonctions élémentaires. Néanmoins, il peut être calculé numériquement et la concordance avec l'expérience est bonne - non seulement pour les molécules à symétrie sphérique comme les gaz rares , mais aussi pour de nombreux gaz polyatomiques. Une forme approximative de a également été suggérée: ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

{\ displaystyle \ Omega (T) = 1,16145 \ gauche (T ^ {*} \ droite) ^ {- 0,14874} + 0,52487e ^ {- 0,77320T ^ {*}} + 2,16178e ^ {- 2,43787T ^ {* }}}

où . Cette équation a un écart moyen de seulement 0,064 pour cent de la plage . ${\ displaystyle T ^ {*} \ equiv k _ {\ text {B}} T / \ epsilon}$ ${\ displaystyle 0,3 <T ^ {*} <100}$

Les valeurs et les estimations des données expérimentales sont indiquées dans le tableau ci-dessous pour plusieurs gaz courants. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Tableau: Paramètres de Lennard-Jones des gaz sélectionnés
Gaz	${\ displaystyle \ sigma}$ ( angströms )	${\ displaystyle \ epsilon / k _ {\ text {B}}}$ (K)
Air sec	3,617	97,0
Hélium	2,576	10.2
Hydrogène	2,915	38,0
Argon	3,432	122,4
Azote	3,667	99,8
Oxygène	3,433	113
Gaz carbonique	3.996	190
Méthane	3,780	154

Liquides

Contrairement aux gaz, il n'y a pas de théorie microscopique systématique de la viscosité des liquides. Cependant, il existe plusieurs modèles empiriques qui extrapolent une dépendance à la température en fonction des viscosités expérimentales disponibles.

Exponentielle à deux paramètres

Une corrélation empirique simple et répandue pour la viscosité du liquide est une exponentielle à deux paramètres:

{\ displaystyle \ mu = Ae ^ {B / T}}

Cette équation a été proposée pour la première fois en 1913 et est communément connue sous le nom d'équation Andrade (du nom du physicien britannique Edward Andrade ). Il décrit avec précision de nombreux liquides sur une plage de températures. Sa forme peut être motivée par la modélisation du transport d'impulsion au niveau moléculaire comme un processus de vitesse activé, bien que les hypothèses physiques sous-jacentes à de tels modèles aient été remises en question.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs estimées de et pour des liquides représentatifs. Des tableaux complets de ces paramètres pour des centaines de liquides peuvent être trouvés dans la littérature. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Paramètres d'ajustement pour la corrélation ${\ displaystyle \ mu = Ae ^ {B / T}}$
Liquide	Formule chimique	A (mPa · s)	B (K)	Temp. plage (K)
Brome	Br ₂	0,0445	907,6	269–302
Acétone	C ₃ H ₆ O	0,0177	845,6	193–333
Bromoforme	CHBr ₃	0,0332	1195	278–363
Pentane	C ₅ H ₁₂	0,0191	722,2	143–313
Bromobenzène	C ₆ H ₅ Br	0,02088	1170	273–423

Exponentielles à trois et quatre paramètres

On peut également trouver des exponentielles tabulées avec des paramètres supplémentaires, par exemple

{\ displaystyle \ mu = A \ exp {\ left ({\ frac {B} {TC}} \ right)}}

et

{\ displaystyle \ mu = A \ exp {\ left ({\ frac {B} {T}} + CT + DT ^ {2} \ right)}}

Les valeurs représentatives sont données dans les tableaux ci-dessous.

Paramètres d'ajustement pour la corrélation ${\ displaystyle \ mu = A \ exp {\ left ({\ frac {B} {TC}} \ right)}}$
Liquide	Formule chimique	A (mPa · s)	B (K)	C (K ⁻¹ )	Temp. plage (K)
Mercure	Hg	0,7754	117,91	124,04	290–380
Fluor	F ₂	0,09068	45,97	39,377	60–85
Conduire	Pb	0,7610	421,35	266,85	600 à 1 200
Hydrazine	N ₂ H ₄	0,03625	683,29	83,603	280–450
Octane	C ₈ H ₁₈	0,007889	1456,2	−51,44	270–400

Paramètres d'ajustement pour la corrélation ${\ displaystyle \ mu = A \ exp {\ left ({\ frac {B} {T}} + CT + DT ^ {2} \ right)}}$
Liquide	Formule chimique	A (mPa · s)	B (K)	C (K ⁻¹ )	D (K ⁻² )	Temp. plage (K)
L'eau	H ₂ O	1,856 · 10 ⁻¹¹	4209	0,04527	−3,376 · 10 ⁻⁵	273–643
Éthanol	C ₂ H ₆ O	0,00201	1614	0,00618	−1,132 · 10 ⁻⁵	168–516
Benzène	C ₆ H ₆	100,69	148,9	−0,02544	2,222 · 10 ⁻⁵	279–561
Cyclohexane	C ₆ H ₁₂	0,01230	1380	−1,55 · 10 ⁻³	1,157 · 10 ⁻⁶	280–553
Naphtaline	C ₁₀ H ₈	3,465 · 10 ⁻⁵	2517	0,01098	−5,867 · 10 ⁻⁶	354–748

Modèles de viscosité cinématique

L'effet de la température sur la viscosité cinématique a également été décrit par un certain nombre d'équations empiriques. ${\ displaystyle \ nu}$

La formule de Walther est généralement écrite sous la forme

{\ displaystyle \ log _ {10} (\ log _ {10} (\ nu + \ lambda)) = AB \, \ log _ {10} T}

où est une constante de décalage et et sont des paramètres empiriques. Dans les spécifications des lubrifiants, seules deux températures sont normalement spécifiées, auquel cas une valeur standard de = 0,7 est normalement supposée. ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Le modèle Wright a la forme

{\ displaystyle \ log _ {10} (\ log _ {10} (\ nu + \ lambda + f (\ nu))) = AB \, \ log _ {10} T}

où une fonction supplémentaire , souvent un ajustement polynomial aux données expérimentales, a été ajoutée à la formule de Walther. ${\ displaystyle f (v)}$

Le modèle Seeton est basé sur une courbe ajustant la dépendance de la viscosité de nombreux liquides ( réfrigérants , hydrocarbures et lubrifiants) à la température et s'applique sur une large plage de température et de viscosité:

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ ln \ left ({\ nu + 0.7 + e ^ {- \ nu} K_ {0} \ left ({\ nu +1.244067} \ right)} \ right)} \ right ) = AB \ ln T}

où est la température absolue en kelvins, est la viscosité cinématique en centistokes , est la fonction de Bessel modifiée d'ordre zéro du second type, et et sont des paramètres empiriques spécifiques à chaque liquide. ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Pour la viscosité du métal liquide en fonction de la température, Seeton a proposé:

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ ln \ left ({\ nu + 0.7 + e ^ {- \ nu} K_ {0} \ left ({\ nu +1.244067} \ right)} \ right)} \ right ) = A- {B \ sur T}}

Voir également

Remarques

^ Chapman et Cowling (1970)
^ Chapman et Cowling (1970), pp. 97–98, 226–230
^ ^un ^b Chapman et Cowling (1970), pp. 230-232
^ ^un ^b Chapman et Cowling (1970), pp. 232-234
^ ^a ^b Reid, Prausnitz et Poling (1987), pp. 391–392
^ ^un ^b Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 26-27
^ Neufeld, Jansen et Aziz (1972)
^ Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 864–865
^ Reid, Prausnitz et Poling (1987), p. 433
^ Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 29–31
^ Hildebrand (1977)
^ Voir Viswanath et Natarajan (1989); Viswanath et al (2007); Reid, Prausnitz et Poling (1987); et références
^ ^un ^b Reid, Prausnitz et Poling (1987)
^ Viswanath et Natarajan (1989)
^ Seeton (2006)

Les références

Bird, R. Byron; Stewart, Warren E .; Lightfoot, Edwin N. (2007), Transport Phenomena (2e éd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8 .
Chapman, Sydney; Cowling, TG (1970), The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (3e éd.), Cambridge University Press
Hildebrand, Joel Henry (1977), Viscosité et diffusivité: un traitement prédictif , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
Neufeld, Philip D .; Janzen, AR; Aziz, RA (1972). "Equations empiriques pour calculer 16 des intégrales de collision de transport Ω (l, s) * pour le potentiel de Lennard-Jones (12–6)". Le Journal of Chemical Physics . 57 (3): 1100-1102. doi : 10.1063 / 1.1678363 . ISSN 0021-9606 .
Reid, Robert C .; Prausnitz, John M .; Poling, Bruce E. (1987), Les propriétés des gaz et des liquides , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-051799-1
Seeton, Christopher J. (2006), "Corrélation viscosité-température pour les liquides", Tribology Letters , 22 : 67–78, doi : 10.1007 / s11249-006-9071-2
Viswanath, DS; Natarajan, G. (1989). Livre de données sur la viscosité des liquides . Société d'édition de l'hémisphère. ISBN 0-89116-778-1 .

[1] Chapman et Cowling (1970)

[2] Chapman et Cowling (1970), pp. 97–98, 226–230

[Chapman232-3] un ^b Chapman et Cowling (1970), pp. 230-232

[Chapman232b-4] un ^b Chapman et Cowling (1970), pp. 232-234

[Reid391-5] Reid, Prausnitz et Poling (1987), pp. 391–392

[Bird26-6] un ^b Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 26-27

[7] Neufeld, Jansen et Aziz (1972)

[8] Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 864–865

[9] Reid, Prausnitz et Poling (1987), p. 433

[10] Bird, Stewart et Lightfoot (2007), pp. 29–31

[11] Hildebrand (1977)

[12] Voir Viswanath et Natarajan (1989); Viswanath et al (2007); Reid, Prausnitz et Poling (1987); et références

[Reid1987-13] un ^b Reid, Prausnitz et Poling (1987)

[14] Viswanath et Natarajan (1989)

[15] Seeton (2006)

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