Fonction elliptique de Weierstrass - Weierstrass elliptic function

En mathématiques , les fonctions elliptiques de Weierstrass sont des fonctions elliptiques qui prennent une forme particulièrement simple. Ils portent le nom de Karl Weierstrass . Cette classe de fonctions est également appelée fonctions ℘ et elles sont généralement désignées par le symbole ℘, une écriture unique p . Ils jouent un rôle important dans la théorie des fonctions elliptiques. Une fonction avec sa dérivée peut être utilisée pour paramétrer des courbes elliptiques et elles génèrent le champ de fonctions elliptiques par rapport à un réseau de périodes donné.

Définition

Laissez - deux nombres complexes qui sont linéairement indépendants sur et laisser être le réseau généré par ces chiffres. Alors la -fonction est définie comme suit : ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2} : m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\style d'affichage \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\ somme _{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^ {2}}}\droit).}$

Cette série converge localement uniformément absolument dans . Souvent au lieu de seulement est écrit. ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \Lambda }$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$${\style d'affichage \wp (z)}$

La fonction de Weierstrass est construite exactement de telle manière qu'elle a un pôle de l'ordre deux à chaque point du réseau. ${\style d'affichage \wp }$

Parce que la somme seule ne convergerait pas, il est nécessaire d'ajouter le terme . ${\textstyle \sum _{\lambda \in \Lambda }(z-\lambda )^{-2}}$${\textstyle -\lambda ^{-2}}$

Il est courant d'utiliser et dans le demi-plan supérieur les génératrices du réseau. La division par mappe le réseau de manière isomorphe sur le réseau avec . Parce qu'on peut se substituer à , sans perte de généralité on peut supposer , puis définir . ${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage \tau }$ ${\displaystyle {H}:=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Motivation

Un cube de la forme , où sont des nombres complexes avec , ne peut pas être paramétré rationnellement. Pourtant, on veut toujours trouver un moyen de le paramétrer. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x ^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Pour la quadrique , le cercle unité, il existe une paramétrisation (non rationnelle) utilisant la fonction sinus et sa dérivée la fonction cosinus : ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t)}$.

En raison de la périodicité du sinus et du cosinus, le domaine est choisi, la fonction est donc bijective. ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

De la même manière on peut obtenir une paramétrisation de au moyen de la fonction doublement périodique (voir dans la section "Relation aux courbes elliptiques"). Cette paramétrisation a le domaine , qui est topologiquement équivalent à un tore . ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\style d'affichage \wp }$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Il existe une autre analogie avec les fonctions trigonométriques. Considérons la fonction intégrale

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$.

Il peut être simplifié en substituant et : ${\displaystyle y=\sin t}$${\style d'affichage s=\arcsin x}$

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x}$.

Cela signifie . La fonction sinus est donc une fonction inverse d'une fonction intégrale. ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Les fonctions elliptiques sont également des fonctions inverses des fonctions intégrales, à savoir des intégrales elliptiques . En particulier, la fonction - est obtenue de la manière suivante : ${\style d'affichage \wp }$

Laisser

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$.

Ensuite, peut être étendu au plan complexe et cette extension est égale à la fonction -. ${\displaystyle u^{-1}}$${\style d'affichage \wp }$

Propriétés

• est une fonction paire. Cela signifie pour tous , ce qui peut être vu de la manière suivante :${\style d'affichage \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \smallsetminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0 \}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\[4pt] &={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda ) ^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _ {\lambda \in \Lambda \smallsetminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2 }}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

L'avant-dernière égalité tient parce que . Puisque la somme converge absolument, ce réarrangement ne change pas la limite. ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• ℘ est méromorphe et sa dérivée est

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$

• ${\style d'affichage \wp }$et sont doublement périodiques avec les périodes und . Ça signifie:${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {et}}\\ [3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$

Il s'ensuit que et pour tout . Les fonctions méromorphes et doublement périodiques sont également appelées fonctions elliptiques . ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Laurent agrandissement

Laissez . Alors pour la fonction - a le développement de Laurent suivant${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\style d'affichage 0<|z|<r}$${\style d'affichage \wp }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^ {2n}}$

où

${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$ car sont ce qu'on appelle les séries d'Eisenstein .${\style d'affichage n\geq 3}$

Équation différentielle

Réglez et . Alors la fonction satisfait l'équation différentielle ${\style d'affichage g_{2}=60G_{4}}$${\style d'affichage g_{3}=140G_{6}}$${\style d'affichage \wp }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$.

Cette relation peut être vérifiée en formant une combinaison linéaire des puissances de et pour éliminer le pôle à . Cela donne une fonction elliptique entière qui doit être constante par le théorème de Liouville . ${\style d'affichage \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\style d'affichage z=0}$

Invariants

Les coefficients de l'équation différentielle ci-dessus g ₂ et g ₃ sont connus comme les invariants . Parce qu'ils dépendent du réseau, ils peuvent être considérés comme des fonctions dans et . ${\style d'affichage \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Le développement en série suggère que g ₂ et g ₃ sont des fonctions homogènes de degré -4 et -6. C'est-à-dire

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{ 2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{ 2})}$pour .${\style d'affichage \lambda \neq 0}$

Si et sont choisis de telle sorte que g ₂ et g ₃ puissent être interprétés comme des fonctions sur le demi-plan supérieur . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Laissez . On a : ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$,

${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.

Cela signifie que g ₂ et g ₃ ne sont mis à l'échelle qu'en faisant cela. Régler

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$, . ${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )}$

Les fonctions de sont appelées des formes modulaires.${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\style d'affichage g_{2},g_{3}}$

Les séries de Fourier pour et sont données comme suit : ${\style d'affichage g_{2}}$${\style d'affichage g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _ {3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _ {5}(k)q^{2k}\right]}$

où

${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$

est la fonction diviseur et . ${\displaystyle q:=e^{i\pi \tau }}$

Discriminant modulaire

Le discriminant modulaire est défini comme le discriminant du polynôme à droite de l'équation différentielle ci-dessus :

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.\,}$

Le discriminant est une forme modulaire de poids 12. C'est-à-dire que sous l'action du groupe modulaire , il se transforme en

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

où avec ad  −  bc = 1. ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Notez que où est la fonction eta de Dedekind . ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\style d'affichage \eta }$

Pour les coefficients de Fourier de , voir la fonction tau de Ramanujan . ${\style d'affichage \Delta }$

Les constantes e ₁ , e ₂ et e ₃

${\style d'affichage e_{1}}$, et sont généralement utilisés pour désigner les valeurs de la fonction aux demi-périodes. ${\style d'affichage e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\style d'affichage \wp }$

${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

Ils sont deux à deux distincts et ne dépendent que du réseau et non de ses générateurs. ${\style d'affichage \Lambda }$

${\style d'affichage e_{1}}$, et sont les racines du polynôme cubique et sont liées par l'équation : ${\style d'affichage e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0}$.

Parce que ces racines sont distinctes, le discriminant ne disparaît pas sur le demi-plan supérieur. On peut maintenant réécrire l'équation différentielle : ${\style d'affichage \Delta }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3} )}$.

Cela signifie que les demi-périodes sont des zéros de . ${\displaystyle \wp '}$

Les invariants et peuvent être exprimés en fonction de ces constantes de la manière suivante : ${\style d'affichage g_{2}}$${\style d'affichage g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$

Relation avec les courbes elliptiques

Considérons la courbe cubique projective

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2} : y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2 }}$.

Pour cette cubique, aussi appelée cubique de Weierstrass, il n'existe pas de paramétrisation rationnelle, si . Dans ce cas, on l'appelle aussi courbe elliptique. Néanmoins il existe un paramétrage qui utilise la -fonction et sa dérivée : ${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\style d'affichage \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad {\bar { z}}\mapsto {\begin{cases}(\wp (z),\wp '(z),1)&{\bar {z}}\neq 0\\\infty \quad &{\bar {z }}=0\end{cas}}}$

Maintenant la carte est bijective et paramétre la courbe elliptique . ${\style d'affichage \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$est un groupe abélien et un espace topologique , muni de la topologie quotient .

On peut montrer que chaque cubique de Weierstrass est donnée de cette manière. C'est-à-dire que pour chaque paire avec il existe un réseau , tel que ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$et . ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

L'affirmation selon laquelle les courbes elliptiques peuvent être paramétrées est connue sous le nom de théorème de modularité . C'est un théorème important en théorie des nombres . Cela faisait partie de la preuve d' Andrew Wiles (1995) du dernier théorème de Fermat . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Théorèmes d'addition

Laissez , de sorte que . On a alors : ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z,w,z+w,zw\notin \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\ wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

Ainsi que la formule de duplication :

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2} -2\wp (z)}$.

Ces formules ont également une interprétation géométrique, si l'on regarde la courbe elliptique avec le mappage comme dans la section précédente. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La structure de groupe de se traduit par la courbe et peut y être interprétée géométriquement : ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La somme de trois points différents deux à deux est nulle si et seulement s'ils se trouvent sur la même ligne dans . ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Cela équivaut à :

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v) \\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

où , et . ${\style d'affichage \wp (u)=a}$${\style d'affichage \wp (v)=b}$${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Relation avec les fonctions elliptiques de Jacobi

Pour le travail numérique, il est souvent pratique de calculer la fonction elliptique de Weierstrass en fonction des fonctions elliptiques de Jacobi .

Les relations de base sont :

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{ 1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{ 3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$

où et sont les trois racines décrites ci-dessus et où le module k des fonctions de Jacobi est égal ${\style d'affichage e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

et leur argument w est égal

${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Typographie

La fonction elliptique de Weierstrass est généralement écrite avec une lettre minuscule assez spéciale .

En informatique, la lettre ℘ est disponible comme \wpdans TeX . Dans Unicode le point de code est U + 2118 ℘ MAJUSCULE P (HTML  ℘ · ℘, ℘ ), avec les alias plus correctes fonction elliptique de . En HTML , il peut être échappé sous la forme ℘.

Informations sur le personnage

Aperçu	??
Nom Unicode	SCRIPT CAPITAL P / FONCTION ELLIPTIQUE DE WEIERSTRASS
Encodages	décimal	hexagone
Unicode	8472	U+2118
UTF-8	226 132 152	E2 84 98
Référence de caractère numérique	℘	℘
Référence de caractère nommé	℘, ℘

Voir également

• Fonctions Weierstrass

Notes de bas de page

Les références

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , éd. (1983) [juin 1964]. "Chapitre 18" . Manuel des fonctions mathématiques avec formules, graphiques et tableaux mathématiques . Série de Mathématiques Appliquées. 55 (Neuvième réimpression avec des corrections supplémentaires de la dixième impression originale avec des corrections (décembre 1972); première éd.). Washington DC; New York : Département du commerce des États-Unis, Bureau national des normes ; Publications de Douvres. p. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• NI Akhiezer , Éléments de la théorie des fonctions elliptiques , (1970) Moscou, traduit en anglais comme AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol , Fonctions modulaires et série Dirichlet en théorie des nombres, deuxième édition (1990), Springer, New York ISBN  0-387-97127-0 (voir chapitre 1.)
• K. Chandrasekharan, Fonctions elliptiques (1980), Springer-Verlag ISBN  0-387-15295-4
• Konrad Knopp , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Republié en traduction anglaise sous le titre Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN  0-486-69219-1
• Serge Lang , Fonctions elliptiques (1973), Addison-Wesley, ISBN  0-201-04162-6
• ET Whittaker et GN Watson , A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press , 1952, chapitres 20 et 21

Liens externes

• "Fonctions elliptiques de Weierstrass" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Les fonctions elliptiques de Weierstrass sur Mathworld .
• Chapitre 23, Weierstrass Elliptic and Modular Functions in DLMF ( Digital Library of Mathematical Functions ) par WP Reinhardt et PL Walker.