Espace totalement déconnecté - Totally disconnected space

Dans la topologie et les branches connexes des mathématiques , un espace totalement déconnecté est un espace topologique qui est au maximum déconnecté, en ce sens qu'il n'a pas de sous- ensembles connectés non triviaux . Dans tout espace topologique, les singletons (et, lorsqu'il est considéré comme connecté, l'ensemble vide) sont connectés ; dans un espace totalement déconnecté, ce sont les seuls sous-ensembles propres connectés.

Un exemple important d'un espace totalement déconnecté est l' ensemble de Cantor . Un autre exemple, jouant un rôle clé dans la théorie algébrique des nombres , est le champ Q _p des nombres p -adiques .

Définition

Un espace topologique est totalement déconnecté si les composants connectés dans sont les ensembles à un point. De manière analogue, un espace topologique est totalement déconnecté du chemin si tous les composants du chemin dans sont les ensembles à un point. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Une autre notion étroitement liée est celle d'un espace totalement séparé , c'est-à-dire un espace où les quasi - composants sont des singletons. De manière équivalente, un espace topologique est un espace totalement séparé si et seulement si pour chaque , l'intersection de tous les voisinages clopen de est le singleton . De manière équivalente, pour chaque paire de points distincts , il existe une paire de voisinages ouverts disjoints de tels que . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage \{x\}}$${\style d'affichage x,y\dans X}$${\style d'affichage U,V}$${\style d'affichage x,y}$${\displaystyle X=U\sqcup V}$

Tout espace totalement séparé est évidemment totalement déconnecté mais l'inverse est faux même pour les espaces métriques. Par exemple, prenez pour le tipi du Cantor, qui est le ventilateur Knaster-Kuratowski avec le sommet retiré. Alors est totalement déconnecté mais ses quasi-composants ne sont pas des singletons. Pour des espaces de Hausdorff localement compacts, les deux notions ( totalement déconnectées et totalement séparées ) sont équivalentes. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Malheureusement dans la littérature (par exemple ), les espaces totalement déconnectés sont parfois appelés héréditairement déconnectés tandis que la terminologie totalement déconnectée est utilisée pour des espaces totalement séparés.

Exemples

Voici des exemples d'espaces totalement déconnectés :

• Espaces discrets
• Les nombres rationnels
• Les nombres irrationnels
• Les nombres p-adiques ; plus généralement, tous les groupes profinis sont totalement déconnectés.
• L' ensemble Cantor et l' espace Cantor
• L' espace Baire
• La ligne Sorgenfrey
• Tout espace de Hausdorff de petite dimension inductive 0 est totalement déconnecté
• L' espace d'Erdős ℓ ² est un espace de Hausdorff totalement déconnecté qui n'a pas de petite dimension inductive 0.${\displaystyle \,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }}$
• Des espaces Hausdorff extrêmement déconnectés
• Espaces en pierre
• L' éventail de Knaster-Kuratowski fournit un exemple d'espace connecté, tel que la suppression d'un seul point produit un espace totalement déconnecté.

Propriétés

• Les sous- espaces , produits et coproduits d'espaces totalement déconnectés sont totalement déconnectés.
• Des espaces sont totalement déconnectés T ₁ espaces , depuis singletons sont fermés.
• Les images continues d'espaces totalement déconnectés ne sont pas nécessairement totalement déconnectées, en fait, chaque espace métrique compact est une image continue de l' ensemble de Cantor .
• Un espace de Hausdorff localement compact a une petite dimension inductive 0 si et seulement si il est totalement déconnecté.
• Tout espace métrique compact totalement déconnecté est homéomorphe à un sous-ensemble d'un produit dénombrable d' espaces discrets .
• Il n'est en général pas vrai que tout ensemble ouvert dans un espace totalement déconnecté soit également fermé.
• Il n'est en général pas vrai que la fermeture de tout ensemble ouvert dans un espace totalement déconnecté soit ouverte, c'est-à-dire que tout espace de Hausdorff totalement déconnecté n'est pas extrêmement déconnecté .

Construire un espace totalement déconnecté

Soit un espace topologique arbitraire. Soit si et seulement si (où désigne le plus grand sous-ensemble connecté contenant ). Il s'agit évidemment d'une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les composantes connexes de . Se doter de la topologie quotient , c'est-à-dire la topologie la plus fine rendant la carte continue. Avec un peu d'effort, nous pouvons voir que c'est totalement déconnecté. On a aussi la propriété universelle suivante : si une application continue sur un espace totalement déconnecté , alors il existe une unique application continue avec . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\sim y}$${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m}$

Voir également

• Espace extrêmement déconnecté
• Groupe totalement déconnecté

Les références

• Willard, Stephen (2004), Topologie générale , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, MR  2048350(réimpression de l'original de 1970, MR 0264581 )