Espaces Urysohn et complètement Hausdorff - Urysohn and completely Hausdorff spaces

Axiomes de séparation dans les espaces topologiques
Classification de Kolmogorov
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
complètement T 2	(complètement Hausdorff)
T 3	(Hausdorff régulier)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(Hausdorff normal)
T 5	(  Hausdorff tout à fait normal )
T 6	(  Hausdorff parfaitement normal )
Histoire

Dans la topologie , une discipline dans les mathématiques, un espace Urysohn , ou T _de l'espace , est un espace topologique dans lequel les deux points distincts peuvent être séparés par des quartiers fermés . Un espace complètement Hausdorff , ou espace fonctionnellement Hausdorff , est un espace topologique dans lequel deux points distincts peuvent être séparés par une fonction continue . Ces conditions sont axiomes de séparation qui sont un peu plus fort que le plus familier axiome Hausdorff T ₂ .

Définitions

Supposons que X soit un espace topologique . Laissez x et y être points dans X .

• On dit que x et y peuvent être séparés par des voisinages fermés s'il existe un voisinage fermé U de x et un voisinage fermé V de y tels que U et V sont disjoints ( U ∩ V = ∅). (Notez qu'un "voisinage fermé de x " est un ensemble fermé qui contient un ensemble ouvert contenant x .)
• On dit que x et y peuvent être séparés par une fonction s'il existe une fonction continue f  : X → [0,1] (l' intervalle unitaire ) avec f ( x ) = 0 et f ( y ) = 1.

Un espace Urysohn , également appelé T _2½ espace ou T _e espace est un espace dans lequel deux points distincts peuvent être séparés par des quartiers fermés.

Un espace complètement Hausdorff , ou espace fonctionnellement Hausdorff , est un espace dans lequel deux points distincts peuvent être séparés par une fonction continue.

Conventions de nommage

L'étude des axiomes de séparation est connue pour ses conflits avec les conventions de dénomination utilisées. Les définitions utilisées dans cet article sont celles données par Willard (1970) et sont les définitions les plus modernes. Steen et Seebach (1970) et divers autres auteurs inversent la définition des espaces complètement de Hausdorff et des espaces d'Urysohn. Les lecteurs de manuels en topologie doivent s'assurer de vérifier les définitions utilisées par l'auteur. Voir Histoire des axiomes de séparation pour plus d'informations sur cette question.

Relation avec d'autres axiomes de séparation

Deux points quelconques qui peuvent être séparés par une fonction peuvent être séparés par des voisinages fermés. S'ils peuvent être séparés par des quartiers fermés, ils peuvent clairement être séparés par des quartiers. Il s'ensuit que chaque espace complètement Hausdorff est Urysohn et chaque espace Urysohn est Hausdorff .

On peut également montrer que chaque espace de Hausdorff régulier est Urysohn et que chaque espace de Tychonoff (= espace de Hausdorff complètement régulier) est complètement Hausdorff. En résumé, nous avons les implications suivantes:

Tychonoff (T 3½ )	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	Hausdorff régulière (T 3 )
${\ displaystyle \ Downarrow}$		${\ displaystyle \ Downarrow}$
complètement Hausdorff	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	Urysohn (T 2½ )	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	Hausdorff (T 2 )	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	T 1

On peut trouver des contre-exemples montrant qu'aucune de ces implications ne s'inverse.

Exemples

La topologie d'extension cocountable est la topologie sur la ligne réelle générée par l' union de la topologie euclidienne habituelle et de la topologie cocountable . Les ensembles sont ouverts dans cette topologie si et seulement s'ils sont de la forme U \ A où U est ouvert dans la topologie euclidienne et A est dénombrable . Cet espace est complètement Hausdorff et Urysohn, mais pas régulier (et donc pas Tychonoff).

Il existe des espaces qui sont Hausdorff mais pas Urysohn, et des espaces qui sont Urysohn mais pas complètement Hausdorff ou Hausdorff ordinaire. Les exemples ne sont pas triviaux; pour plus de détails, voir Steen et Seebach.

Remarques

Les références

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover réimpression de 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-0-486-68735-3 , MR   0507446
• Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Réimprimé par Dover Publications, New York, 2004. ISBN   0-486-43479-6 (édition Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologie générale . Dover Books on Mathematics (premier éd.). Mineola, NY : Publications de Douvres . ISBN   978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• "Complètement Hausdorff" . PlanetMath .