Transformée de Weierstrass - Weierstrass transform

En mathématiques , la transformée de Weierstrass d'une fonction $f : R \to R$ , du nom de Karl Weierstrass , est une version «lissée» de $f (x)$ obtenue en faisant la moyenne des valeurs de $f$ , pondérées avec une gaussienne centrée en x .

Le graphe d'une fonction f ( x ) (noir) et ses transformées de Weierstrass généralisées pour cinq paramètres de largeur ( t ). La transformée de Weierstrass standard

F (x)

est donnée par le cas t = 1 (en vert)

Plus précisément, c'est la fonction $F$ définie par

{\ displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {4}}} \; dy = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy ) \; e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} {4}}} \; dy ~,}

la convolution de $f$ avec la fonction gaussienne

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

Le facteur 1 / √ (4 π ) est choisi pour que la gaussienne ait une intégrale totale de 1, avec pour conséquence que les fonctions constantes ne sont pas modifiées par la transformée de Weierstrass.

Au lieu de $F (x),$ on écrit également $W [f] (x)$ . Notez que $F (x)$ n'a pas besoin d'exister pour chaque nombre réel $x$ , lorsque l'intégrale de définition ne parvient pas à converger.

La transformée de Weierstrass est intimement liée à l' équation de la chaleur (ou, de manière équivalente, à l' équation de diffusion à coefficient de diffusion constant). Si la fonction $f$ décrit la température initiale à chaque point d'une tige de longueur infinie qui a constant conductivité thermique égale à 1, alors la distribution de la température de la tige t = 1 unités de temps sera ensuite donnée par la fonction F . En utilisant des valeurs de t différentes de 1, nous pouvons définir la transformée de Weierstrass généralisée de $f$ .

La transformée de Weierstrass généralisée fournit un moyen d'approximer une fonction intégrable donnée $f$ arbitrairement bien avec des fonctions analytiques .

Des noms

Weierstrass a utilisé cette transformation dans sa preuve originale du théorème d'approximation de Weierstrass . Elle est également connue sous le nom de transformée de Gauss ou de transformation de Gauss-Weierstrass après Carl Friedrich Gauss et de transformation de Hille après Einar Carl Hille qui l'a étudiée en profondeur. La généralisation W _t mentionnée ci-dessous est connue en analyse de signal en tant que filtre gaussien et en traitement d'image (lorsqu'il est mis en œuvre sur R ² ) en tant que flou gaussien .

Transformations de certaines fonctions importantes

Comme mentionné ci-dessus, chaque fonction constante est sa propre transformée de Weierstrass. La transformée de Weierstrass de tout polynôme est un polynôme du même degré, et en fait du même coefficient dominant (la croissance asymptotique est inchangée). En effet, si $H n$ désigne le polynôme Hermite (du physicien) de degré n , alors la transformée de Weierstrass de $H n$ ( $x$ / 2) est simplement $x n$ . Ceci peut être démontré en exploitant le fait que la fonction génératrice des polynômes Hermite est étroitement liée au noyau gaussien utilisé dans la définition de la transformée de Weierstrass.

La transformée de Weierstrass de la fonction e ^ax (où a est une constante arbitraire) est e ^{a ²} e ^ax . La fonction e ^ax est donc une fonction propre de la transformée de Weierstrass. (Ceci est, en fait, plus généralement vrai pour toutes les transformations de convolution.)

En posant a = bi où i est l' unité imaginaire , et en appliquant l'identité d'Euler , on voit que la transformée de Weierstrass de la fonction cos ( bx ) est e ^{- b ²} cos ( bx ) et la transformée de Weierstrass de la fonction sin ( bx ) est e ^{- b ²} sin ( bx ).

La transformée de Weierstrass de la fonction e ^{ax ²} est

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} e ^ {\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

si a <1/4 et indéfini si a ≥ 1/4.

En particulier, en choisissant un négatif, il est évident que la transformée de Weierstrass d'une fonction gaussienne est à nouveau une fonction gaussienne, mais "plus large".

Les propriétés générales

La transformée de Weierstrass attribue à chaque fonction f une nouvelle fonction F ; cette affectation est linéaire . Elle est également invariante en translation, ce qui signifie que la transformée de la fonction f ( x + a ) est F ( x + a ). Ces deux faits sont plus généralement vrais pour toute transformée intégrale définie par convolution.

Si la transformée F ( x ) existe pour les nombres réels x = a et x = b , alors elle existe aussi pour toutes les valeurs réelles intermédiaires et y forme une fonction analytique ; de plus, F ( x ) existera pour toutes les valeurs complexes de x avec a ≤ Re ( x ) ≤ b et forme une fonction holomorphe sur cette bande du plan complexe . C'est la déclaration formelle de la «douceur» de F mentionnée ci-dessus.

Si f est intégrable sur tout l'axe réel (ie f ∈ L ¹ ( R ) ), alors sa transformée de Weierstrass F , et si de plus f ( x ) ≥ 0 pour tout x , alors aussi F ( x ) ≥ 0 pour tous les x et les intégrales de f et F sont égaux. Cela exprime le fait physique que l'énergie thermique totale ou la chaleur est conservée par l'équation de la chaleur, ou que la quantité totale de matériau diffusant est conservée par l'équation de diffusion.

En utilisant ce qui précède, on peut montrer que pour 0 < p ≤ ∞ et f ∈ L ^p ( R ) , on a F ∈ L ^p ( R ) et || F || _p ≤ || f || _p . La transformée de Weierstrass donne par conséquent un opérateur borné W: L ^p ( R ) → L ^p ( R ).

Si f est suffisamment lisse, alors la transformée de Weierstrass de la k- ème dérivée de f est égale à la k- ème dérivée de la transformée de Weierstrass de f .

Il existe une formule reliant la transformée de Weierstrass W et la recto-verso transformée de Laplace L . Si nous définissons

{\ displaystyle g (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

puis

{\ displaystyle W [f] (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] \ left (- {\ frac {x} {2}} \ right).}

Filtre passe bas

Nous avons vu plus haut que la transformée de Weierstrass de cos ( bx ) est e ^{- b ²} cos ( bx ), et de manière analogue pour sin ( bx ). En termes d' analyse du signal , cela suggère que si le signal f contient la fréquence b (c'est-à-dire contient une somme qui est une combinaison de sin ( bx ) et cos ( bx )), alors le signal transformé F contiendra la même fréquence, mais avec une amplitude multipliée par le facteur e ^{- b ²} . Cela a pour conséquence que les fréquences plus élevées sont plus réduites que les fréquences inférieures, et la transformée de Weierstrass agit ainsi comme un filtre passe-bas . Cela peut également être montré avec la transformée de Fourier continue , comme suit. La transformée de Fourier analyse un signal en fonction de ses fréquences, transforme les convolutions en produits et transforme les gaussiens en gaussiens. La transformée de Weierstrass est une convolution avec une gaussienne et est donc une multiplication du signal transformé de Fourier par une gaussienne, suivie de l'application de la transformée de Fourier inverse. Cette multiplication par une gaussienne dans l'espace fréquentiel mélange les hautes fréquences, ce qui est une autre façon de décrire la propriété de «lissage» de la transformée de Weierstrass.

La transformée inverse

La formule suivante, étroitement liée à la transformée de Laplace d'une fonction gaussienne, et un analogue réel de la transformation de Hubbard – Stratonovich , est relativement facile à établir:

{\ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} \; dy.}

Remplacez maintenant u par l'opérateur de différenciation formel D = d / dx et utilisez l' opérateur de décalage de Lagrange

{\ Displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (xy)}

,

(conséquence de la formule de la série de Taylor et de la définition de la fonction exponentielle ), pour obtenir

{\ displaystyle {\ begin {aligné} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy = W [f] (x) \ end {aligné}}}

pour obtenir ainsi l'expression formelle suivante pour la transformée de Weierstrass W ,

${\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}$

où l'opérateur de droite doit être compris comme agissant sur la fonction f ( x ) comme

{\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

La dérivation formelle ci-dessus passe sous silence les détails de la convergence, et la formule W = e ^{D ²} n'est donc pas universellement valable; il existe plusieurs fonctions f qui ont une transformée de Weierstrass bien définie, mais pour lesquelles e ^{D ²} f ( x ) ne peut pas être définie de manière significative.

Néanmoins, la règle est toujours assez utile et peut, par exemple, être utilisée pour dériver les transformées de Weierstrass des fonctions polynomiales, exponentielles et trigonométriques mentionnées ci-dessus.

L'inverse formel de la transformée de Weierstrass est donc donné par

{\ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

Encore une fois, cette formule n'est pas universellement valable mais peut servir de guide. Il peut être démontré qu'il est correct pour certaines classes de fonctions si l'opérateur de droite est correctement défini.

On peut, alternativement, tenter d'inverser la transformée de Weierstrass d'une manière légèrement différente: étant donné la fonction analytique

{\ displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

appliquer W ⁻¹ pour obtenir

{\ displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n} ] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

en utilisant à nouveau une propriété fondamentale des polynômes Hermite (des physiciens) $H n$ .

Encore une fois, cette formule pour f ( x ) est au mieux formelle, puisqu'on n'a pas vérifié si la série finale converge. Mais si, par exemple, f ∈ L ² ( R ), alors la connaissance de toutes les dérivées de F en x = 0 suffit pour donner les coefficients a _n ; et de reconstruire ainsi $f$ comme une série de polynômes Hermite .

Une troisième méthode d'inversion de la transformée de Weierstrass exploite sa connexion à la transformée de Laplace mentionnée ci-dessus et la formule d'inversion bien connue pour la transformée de Laplace. Le résultat est indiqué ci-dessous pour les distributions.

Généralisations

On peut utiliser la convolution avec le noyau gaussien (avec un certain t > 0) au lieu de , définissant ainsi un opérateur $W$ $t$ , la transformée de Weierstrass généralisée. ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}}}$

Pour les petites valeurs de $t, W t [f]$ est très proche de $f$ , mais lisse. Plus $t est$ grand , plus cet opérateur fait la moyenne et change $f$ . Physiquement, $W t$ correspond à suivre l'équation de chaleur (ou diffusion) pour $t$ unités de temps, et c'est additif,

{\ displaystyle W_ {s} \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

correspondant à «diffuser pour $t$ unités de temps, puis $s$ unités de temps, équivaut à diffuser pour $s + t$ unités de temps». On peut étendre cela à t = 0 en définissant $W 0$ comme l'opérateur d'identité (c'est-à-dire la convolution avec la fonction delta de Dirac ), et ceux-ci forment alors un semi-groupe d'opérateurs à un paramètre .

Le noyau utilisé pour la transformation généralisée Weierstrass est parfois appelée le noyau Gauss-Weierstrass , et est fonction de Green pour l'équation de diffusion sur R . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ displaystyle (\ partial _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$

$W t$ peut être calculé à partir de $W$ : étant donné une fonction $f (x)$ , définir une nouvelle fonction $f t (x) = f (x \sqrt t)$ ; alors $W t [f] (x) = W [f t] (x / \sqrt t)$ , conséquence de la règle de substitution .

La transformée de Weierstrass peut également être définie pour certaines classes de distributions ou «fonctions généralisées». Par exemple, la transformée de Weierstrass du delta de Dirac est la gaussienne . ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$

Dans ce contexte, des formules d'inversion rigoureuses peuvent être prouvées, par exemple,

{\ displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {x_ {0} -ir} ^ { x_ {0} + ir} F (z) e ^ {\ frac {(xz) ^ {2}} {4}} \; dz}

où x ₀ est tout nombre réel fixe pour lequel $F (x 0)$ existe, l'intégrale s'étend sur la ligne verticale dans le plan complexe avec la partie réelle x ₀ , et la limite est à prendre dans le sens des distributions.

De plus, la transformée de Weierstrass peut être définie pour des fonctions (ou distributions) à valeurs réelles (ou complexes) définies sur R ⁿ . Nous utilisons la même formule de convolution que ci-dessus mais interprétons l'intégrale comme s'étendant sur tout R ⁿ et l'expression $(x - y) 2$ comme le carré de la longueur euclidienne du vecteur x - y ; le facteur devant l'intégrale doit être ajusté pour que la gaussienne ait une intégrale totale de 1.

Plus généralement, la transformée de Weierstrass peut être définie sur n'importe quelle variété riemannienne : l'équation de chaleur peut y être formulée (en utilisant l' opérateur Laplace – Beltrami de la variété ), et la transformée de Weierstrass $W [f]$ est alors donnée en suivant la solution de l'équation de chaleur pour une unité de temps, en commençant par la «distribution de température» initiale f .

Transformations associées

Si l'on considère la convolution avec le noyau $1 / (π (1 + x 2))$ au lieu d'une gaussienne, on obtient la transformée de Poisson qui lisse et fait la moyenne d'une fonction donnée d'une manière similaire à la transformée de Weierstrass.

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