L'identité d'Euler - Euler's identity

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constante mathématique e
Propriétés
Un algorithme naturel Fonction exponentielle
Applications
intérêts composés L'identité d'Euler la formule d'Euler demi-vies croissance exponentielle et décroissance
Définir e
preuve que e est irrationnel représentations de e Théorème de Lindemann-Weierstrass
Personnes
Jean Napier Léonhard Euler
Rubriques connexes
La conjecture de Schanuel
v t e

En mathématiques , l'identité d'Euler (également connue sous le nom d' équation d'Euler ) est l' égalité

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

où

e est le nombre d'Euler , la base des logarithmes naturels ,

i est l' unité imaginaire , qui par définition satisfait i ² = −1 , et

π est pi , le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre .

L'identité d'Euler doit son nom au mathématicien suisse Leonhard Euler . C'est un cas particulier de la formule d' Euler lorsqu'elle est évaluée pour x = π . L'identité d'Euler est considérée comme un exemple de beauté mathématique car elle montre un lien profond entre les nombres les plus fondamentaux en mathématiques. De plus, il est directement utilisé dans une preuve que π est transcendantal , ce qui implique l'impossibilité de la quadrature du cercle . ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Beauté mathématique

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique profonde . Trois des opérations arithmétiques de base se produisent exactement une fois chacune : addition , multiplication et exponentiation . L'identité relie également cinq constantes mathématiques fondamentales :

• Le nombre 0 , l' identité additive .
• Le chiffre 1 , l' identité multiplicative .
• Le nombre π ( π = 3.1415...), la constante du cercle fondamental .
• Le nombre e ( e = 2,718...), alias le nombre d'Euler, qui se produit largement dans l'analyse mathématique .
• Le nombre i , l' unité imaginaire des nombres complexes .

De plus, l'équation est donnée sous la forme d'un ensemble d'expressions égal à zéro, ce qui est une pratique courante dans plusieurs domaines des mathématiques.

Keith Devlin, professeur de mathématiques à l'université de Stanford, a déclaré : « comme un sonnet shakespearien qui capture l'essence même de l'amour, ou une peinture qui fait ressortir la beauté de la forme humaine bien plus qu'une simple peau, l'équation d'Euler descend jusqu'au profondeurs de l'existence". Et Paul Nahin , professeur émérite à l' Université du New Hampshire , qui a écrit un livre consacré à la formule d' Euler et à ses applications en analyse de Fourier , décrit l'identité d'Euler comme étant « d'une beauté exquise ».

L'écrivain mathématique Constance Reid a estimé que l'identité d'Euler est « la formule la plus célèbre de toutes les mathématiques ». Et Benjamin Peirce , un philosophe américain du XIXe siècle , mathématicien et professeur à l'Université de Harvard , après avoir prouvé l'identité d'Euler lors d'une conférence, a déclaré que l'identité « est absolument paradoxale ; nous ne pouvons pas la comprendre, et nous ne savons pas ce que cela signifie. , mais nous l'avons prouvé, et donc nous savons que ce doit être la vérité". Richard Feynman l'a appelé "notre joyau" et "la formule la plus remarquable en mathématiques".

Un sondage de lecteurs mené par The Mathematical Intelligencer en 1990 a nommé l'identité d'Euler comme le « plus beau théorème en mathématiques ». Dans un autre sondage de lecteurs mené par Physics World en 2004, l'identité d'Euler était liée aux équations de Maxwell (de l' électromagnétisme ) en tant que « plus grande équation de tous les temps ».

Une étude du cerveau de seize mathématiciens a révélé que le "cerveau émotionnel" (en particulier, le cortex orbitofrontal médian , qui s'illumine pour la belle musique, la poésie, les images, etc.) s'éclairait de manière plus cohérente pour l'identité d'Euler que pour toute autre formule.

Au moins trois livres de mathématiques populaires ont été publiés sur l'identité d'Euler :

• La formule fabuleuse du Dr Euler : guérit de nombreux maux mathématiques , de Paul Nahin (2011)
• Une équation la plus élégante : la formule d'Euler et la beauté des mathématiques , par David Stipp (2017)
• L'équation pionnière d'Euler : Le plus beau théorème en mathématiques , par Robin Wilson (2018).

Explications

Exposants imaginaires

Dans cette animation N prend différentes valeurs croissantes de 1 à 100. Le calcul de (1 + je suis/N) ^N est affiché comme l'effet combiné de N multiplications répétées dans le plan complexe , le point final étant la valeur réelle de (1 +je suis/N) ^N . On peut voir que lorsque N grandit (1 +je suis/N) ^N approche une limite de −1.

Fondamentalement, l'identité d'Euler affirme qu'elle est égale à -1. L'expression est un cas particulier de l'expression , où z est un nombre complexe. En général, est défini pour le complexe z en étendant l'une des définitions de la fonction exponentielle des exposants réels aux exposants complexes. Par exemple, une définition courante est : ${\displaystyle e^{i\pi }}$${\displaystyle e^{i\pi }}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$

L'identité d'Euler énonce donc que la limite, lorsque n tend vers l'infini, de est égale à -1. Cette limite est illustrée dans l'animation à droite. ${\style d'affichage (1+i\pi /n)^{n}}$

Formule d'Euler pour un angle général

L'identité d'Euler est un cas particulier de la formule d' Euler , qui stipule que pour tout nombre réel x ,

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

où les entrées des fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont données en radians .

En particulier, lorsque x = π ,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .}$

Depuis

${\displaystyle \cos \pi =-1}$

et

${\style d'affichage \sin \pi =0,}$

il s'ensuit que

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+0i,}$

ce qui donne l'identité d'Euler :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Interprétation géométrique

Tout nombre complexe peut être représenté par le point sur le plan complexe . Ce point peut également être représenté en coordonnées polaires par , où r est la valeur absolue de z (distance à partir de l'origine) et est l'argument de z (angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de l' axe x positif). Par les définitions de sinus et cosinus, ce point a des coordonnées cartésiennes de , ce qui implique que . Selon la formule d'Euler, cela équivaut à dire . ${\style d'affichage z=x+iy}$${\style d'affichage (x,y)}$${\style d'affichage (r,\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

L'identité d'Euler dit que . Puisque est pour r = 1 et , cela peut être interprété comme un fait concernant le nombre -1 sur le plan complexe : sa distance à l'origine est 1, et son angle avec l' axe x positif est en radians. ${\displaystyle -1=e^{i\pi }}$${\displaystyle e^{i\pi }}$${\displaystyle re^{i\theta }}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\style d'affichage \pi }$

De plus, lorsqu'un nombre complexe z est multiplié par , cela a pour effet de faire pivoter z dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle de sur le plan complexe. Puisque la multiplication par −1 reflète un point à travers l'origine, l'identité d'Euler peut être interprétée comme disant que la rotation de n'importe quel point en radians autour de l'origine a le même effet que de refléter le point à travers l'origine. De même, le réglage égal à donne l'équation associée qui peut être interprétée comme disant que la rotation de n'importe quel point d'un tour autour de l'origine le ramène à sa position d'origine. ${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\style d'affichage \pi }$${\displaystyle \theta }$${\style d'affichage 2\pi }$${\displaystyle e^{2\pi i}=1,}$

Généralisations

L'identité d'Euler est aussi un cas particulier de l'identité plus générale que les racines n ième de l'unité , pour n > 1 , ajoutent à 0 :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.}$

L'identité d'Euler est le cas où n = 2 .

Dans un autre domaine des mathématiques, en utilisant l' exponentiation des quaternions , on peut montrer qu'une identité similaire s'applique également aux quaternions. Soit { i , j , k } les éléments de base ; alors,

${\displaystyle e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.}$

En général, étant donné le réel a ₁ , a ₂ et a ₃ tel que a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ² = 1 , alors,

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.}$

Pour les octonions , avec un réel _n tel que a ₁ ² + a ₂ ² + ... + a ₇ ² = 1 , et avec les éléments de base de l' octonion { i ₁ , i ₂ , ..., i ₇ } ,

${\displaystyle e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.}$

Histoire

Alors que l'identité d'Euler est un résultat direct de l'équation d' Euler , publiée dans son ouvrage monumental d'analyse mathématique en 1748, Introductio in analysin infinitorum , on peut se demander si le concept particulier de relier cinq constantes fondamentales sous une forme compacte peut être attribué à Euler lui-même, comme il ne l'a peut-être jamais exprimé.

Robin Wilson déclare ce qui suit.

Nous avons vu comment elle [l'identité d'Euler] peut facilement être déduite des résultats de Johann Bernoulli et Roger Cotes, mais qu'aucun d'eux ne semble l'avoir fait. Même Euler ne semble pas l'avoir écrit explicitement – ​​et certainement cela n'apparaît dans aucune de ses publications – bien qu'il ait sûrement dû se rendre compte que cela découle immédiatement de son identité [c'est-à-dire la formule d'Euler ], e ^ix = cos x + je pèche x . De plus, il semble que l'on ne sache pas qui a déclaré le premier le résultat explicitement….

Voir également

• La formule de De Moivre
• Fonction exponentielle
• constante de Gelfond

Remarques

Les références

Sources

• Conway, John H. et Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , Springer ISBN  978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10 mai 2004), " Les plus grandes équations de tous les temps ", Physics World [inscription requise]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All , Association mathématique d'Amérique ISBN  978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opéra Mathématique. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus , Leipzig : BG Teubneri
• Kasner, E. , et Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination , Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e : L'histoire d'un nombre , Princeton University Press ISBN  0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Formule fabuleuse du Dr Euler : guérit de nombreux maux mathématiques , Princeton University Press ISBN  978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Au - delà de la numératie: un dictionnaire de mathématiques peu commun , Penguin Books ISBN  0-14-014574-5
• Reid, Constance (diverses éditions), From Zero to Infinity , Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Les plus grands succès d'Euler , Association mathématique d'Amérique ISBN  978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), Une équation la plus élégante: la formule d'Euler et la beauté des mathématiques , Basic Books
• Wells, David (1990). "Sont-ce les plus beaux ?". L'Intelligence Mathématique . 12 (3) : 37-41. doi : 10.1007/BF03024015 . S2CID  121503263 .
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: Le plus beau théorème en mathématiques , Oxford University Press
• Zeki, S. ; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014), "L'expérience de la beauté mathématique et ses corrélats neuronaux", Frontiers in Human Neuroscience , 8 : 68, doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC  3923150 , PMID  24592230

Liens externes

• Compréhension intuitive de la formule d'Euler