Tableau jeune - Young tableau

En mathématiques , un tableau de Young ( / t æ b l oʊ , t æ b l oʊ / ; pluriel: tableaux ) est une combinatoire objet utile dans la théorie de la représentation et de calcul de Schubert . Il fournit un moyen pratique de décrire les représentations de groupe des groupes linéaires symétriques et généraux et d'étudier leurs propriétés. Les jeunes tableaux ont été introduits par Alfred Young , mathématicien à l'Université de Cambridge , en 1900. Ils ont ensuite été appliqués à l'étude du groupe symétrique par Georg Frobenius en 1903. Leur théorie a été développée par de nombreux mathématiciens, dont Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B. Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger et Richard P. Stanley .

Définitions

Remarque: cet article utilise la convention anglaise pour afficher les diagrammes et les tableaux Young .

Diagrammes

Jeune diagramme de forme (5, 4, 1), notation anglaise

Jeune diagramme de forme (5, 4, 1), notation française

Un diagramme de Young (également appelé diagramme de Ferrers , en particulier lorsqu'il est représenté à l'aide de points) est une collection finie de boîtes, ou cellules, disposées en lignes justifiées à gauche, avec les longueurs de ligne dans un ordre non croissant. La liste du nombre de cases dans chaque ligne donne une partition $λ$ d'un entier non négatif $n$ , le nombre total de cases du diagramme. On dit que le diagramme de Young est de forme $λ$ et qu'il porte les mêmes informations que cette partition. Le confinement d'un diagramme de Young dans un autre définit un ordre partiel sur l'ensemble de toutes les partitions, qui est en fait une structure en treillis , connue sous le nom de treillis de Young . La liste du nombre de cases d'un diagramme de Young dans chaque colonne donne une autre partition, la partition conjuguée ou transposée de $λ$ ; on obtient un diagramme de Young de cette forme en reflétant le diagramme original le long de sa diagonale principale.

Il y a un accord presque universel sur le fait qu'en étiquetant les boîtes des diagrammes Young par des paires d'entiers, le premier index sélectionne la ligne du diagramme et le deuxième index sélectionne la boîte dans la ligne. Néanmoins, deux conventions distinctes existent pour afficher ces diagrammes, et par conséquent des tableaux: la première place chaque ligne sous la précédente, la seconde empile chaque ligne au-dessus de la précédente. Puisque la première convention est principalement utilisée par les anglophones tandis que la seconde est souvent préférée par les francophones , il est d'usage de se référer à ces conventions respectivement comme la notation anglaise et la notation française ; par exemple, dans son livre sur les fonctions symétriques , Macdonald conseille aux lecteurs préférant la convention française de «lire ce livre à l'envers dans un miroir» (Macdonald 1979, p. 2). Cette nomenclature a probablement commencé comme plaisanterie. La notation anglaise correspond à celle universellement utilisée pour les matrices, tandis que la notation française est plus proche de la convention des coordonnées cartésiennes ; cependant, la notation française diffère de cette convention en plaçant la coordonnée verticale en premier. La figure de droite montre, en utilisant la notation anglaise, le diagramme de Young correspondant à la partition (5, 4, 1) du nombre 10. La partition conjuguée, mesurant les longueurs de colonne, est (3, 2, 2, 2, 1).

Longueur des bras et des jambes

Dans de nombreuses applications, par exemple lors de la définition de fonctions Jack , il est pratique de définir la longueur de bras a _λ ( s ) d'une boîte s comme le nombre de boîtes à droite de s dans le diagramme λ en notation anglaise. De même, la longueur de jambe l _λ ( s ) est le nombre de cases en dessous de s . La longueur du crochet d'une case s est le nombre de cases à droite de s ou en dessous de s en notation anglaise, y compris la case s elle-même; en d'autres termes, la longueur du crochet est a _λ ( s ) + l _λ ( s ) + 1.

Tableaux

Un tableau de forme Young standard (5, 4, 1)

Un tableau de Young est obtenu en remplissant les cases du diagramme de Young avec des symboles tirés d'un alphabet , qui est généralement requis pour être un ensemble totalement ordonné . À l'origine, cet alphabet était un ensemble de variables indexées $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ ..., mais maintenant on utilise généralement un ensemble de nombres par souci de concision. Dans leur application originale aux représentations du groupe symétrique , les tableaux de Young ont $n$ entrées distinctes, assignées arbitrairement aux cases du diagramme. Un tableau est appelé standard si les entrées de chaque ligne et de chaque colonne augmentent. Le nombre de tableaux de Young standard distincts sur $n$ entrées est donné par les nombres d'involution

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (séquence A000085 dans l' OEIS ).

Dans d'autres applications, il est naturel de permettre au même numéro d'apparaître plusieurs fois (ou pas du tout) dans un tableau. Un tableau est appelé semi - standard , ou colonne stricte , si les entrées augmentent faiblement le long de chaque ligne et augmentent strictement vers le bas de chaque colonne. Enregistrer le nombre de fois où chaque nombre apparaît dans un tableau donne une séquence connue sous le nom de poids du tableau. Ainsi, les tableaux de Young standard sont précisément les tableaux semi-standard de poids (1,1, ..., 1), qui exigent que chaque entier jusqu'à $n$ se produise exactement une fois.

Variations

Il existe plusieurs variantes de cette définition: par exemple, dans un tableau strict sur les lignes, les entrées augmentent strictement le long des lignes et augmentent faiblement dans les colonnes. Aussi, des tableaux à entrées décroissantes ont été considérés, notamment, dans la théorie des partitions planes . Il existe également des généralisations telles que les tableaux de dominos ou les tableaux de ruban, dans lesquels plusieurs boîtes peuvent être regroupées avant de leur attribuer des entrées.

Tableaux obliques

Tableau incliné de forme (5, 4, 2, 2) / (2, 1), notation anglaise

Une forme oblique est une paire de partitions ( $λ$ , $μ$ ) telles que le diagramme de Young de $λ$ contient le diagramme de Young de $μ$ ; il est noté $λ / μ$ . Si $λ = (λ 1, λ 2, ...)$ et $μ = (μ 1, μ 2, ...)$ , alors le confinement des diagrammes signifie que $μ i \leq λ i$ pour tout $i$ . Le diagramme de biais d'une forme oblique $λ / μ$ est la différence théorique d'ensemble des diagrammes de Young de $λ$ et $μ$ : l'ensemble des carrés qui appartiennent au diagramme de $λ$ mais pas à celui de $μ$ . Un tableau de biais de forme $λ / µ$ est obtenu en remplissant les carrés du diagramme de biais correspondant; un tel tableau est semi-standard si les entrées augmentent faiblement le long de chaque ligne, et augmentent strictement vers le bas de chaque colonne, et il est standard si de plus tous les nombres de 1 au nombre de carrés du diagramme de biais se produisent exactement une fois. Alors que la carte des partitions à leurs diagrammes Young est injective, ce n'est pas le cas de la carte des formes obliques aux diagrammes obliques; par conséquent, la forme d'un diagramme d'inclinaison ne peut pas toujours être déterminée à partir de l'ensemble des carrés pleins uniquement. Bien que de nombreuses propriétés des tableaux asymétriques ne dépendent que des carrés remplis, certaines opérations qui y sont définies nécessitent une connaissance explicite de $λ$ et $μ$ , il est donc important que les tableaux asymétriques enregistrent ces informations: deux tableaux asymétriques distincts peuvent différer uniquement par leur forme, tandis qu'ils occupent le même ensemble de carrés, chacun rempli des mêmes entrées. Les tableaux jeunes peuvent être identifiés avec des tableaux asymétriques dans lesquels $μ$ est la partition vide (0) (la partition unique de 0).

Tout tableau semi-standard $T$ asymétrique de forme $λ / μ$ avec des entrées entières positives donne lieu à une suite de partitions (ou diagrammes de Young), en commençant par $μ$ , et en prenant pour la partition $i$ place plus loin dans la séquence celle dont le diagramme est obtenu à partir de celle de $μ$ en additionnant toutes les cases contenant une valeur ≤ $i$ dans $T$ ; cette partition devient finalement égale à $λ$ . Toute paire de formes successives dans une telle séquence est une forme oblique dont le diagramme contient au plus une case dans chaque colonne; ces formes sont appelées bandes horizontales . Cette séquence de partitions détermine complètement $T$ , et il est en fait possible de définir des tableaux semi-standard (biaisés) comme de telles séquences, comme le fait Macdonald (Macdonald 1979, p. 4). Cette définition incorpore les partitions $λ$ et $μ$ dans les données constituant le tableau de biais.

Aperçu des applications

Les jeunes tableaux ont de nombreuses applications en combinatoire , en théorie des représentations et en géométrie algébrique . Différentes manières de compter les tableaux de Young ont été explorées et conduisent à la définition et aux identités des fonctions de Schur .

De nombreux algorithmes combinatoires sur tableaux sont connus, y compris le jeu de taquin de Schützenberger et la correspondance Robinson – Schensted – Knuth . Lascoux et Schützenberger ont étudié un produit associatif sur l'ensemble de tous les tableaux de Young semi-standard, lui donnant la structure appelée le monoïde plactique (français: le monoïde plaxique ).

En théorie des représentations, les tableaux de Young standards de taille $k$ décrivent des bases dans des représentations irréductibles du groupe symétrique sur $k$ lettres. Les bases monomiales standard dans une représentation irréductible de dimension finie du groupe linéaire général $GL n$ sont paramétrées par l'ensemble des tableaux de Young semi-standard de forme fixe sur l'alphabet {1, 2, ..., $n$ }. Cela a des conséquences importantes pour la théorie des invariants , à partir des travaux de Hodge sur l' anneau de coordonnées homogène du Grassmannien et explorés plus avant par Gian-Carlo Rota avec des collaborateurs, de Concini et Procesi , et Eisenbud . La règle de Littlewood – Richardson décrivant (entre autres) la décomposition des produits tensoriels des représentations irréductibles de $GL n$ en composants irréductibles est formulée en termes de certains tableaux semi-standard asymétriques.

Les applications à la géométrie algébrique sont centrées sur le calcul de Schubert sur les Grassmanniens et les variétés de drapeaux . Certaines classes de cohomologie importantes peuvent être représentées par des polynômes de Schubert et décrites en termes de tableaux de Young.

Applications en théorie de la représentation

Les diagrammes jeunes sont en correspondance biunivoque avec des représentations irréductibles du groupe symétrique sur les nombres complexes . Ils fournissent un moyen pratique de spécifier les symétriseurs de Young à partir desquels les représentations irréductibles sont construites. De nombreux faits sur une représentation peuvent être déduits du diagramme correspondant. Ci-dessous, nous décrivons deux exemples: la détermination de la dimension d'une représentation et les représentations restreintes. Dans les deux cas, nous verrons que certaines propriétés d'une représentation peuvent être déterminées en utilisant uniquement son diagramme.

Les diagrammes de Young paramétrisent également les représentations polynomiales irréductibles du groupe linéaire général $GL n$ (lorsqu'ils ont au plus $n$ lignes non vides), ou les représentations irréductibles du groupe linéaire spécial $SL n$ (lorsqu'ils ont au plus $n - 1$ lignes non vides), ou les représentations complexes irréductibles du groupe unitaire spécial $SU n$ (là encore lorsqu'elles ont au plus $n - 1$ lignes non vides). Dans ces cas, les tableaux semi-standard avec des entrées jusqu'à $n$ jouent un rôle central, plutôt que des tableaux standard; en particulier, c'est le nombre de ces tableaux qui détermine la dimension de la représentation.

Dimension d'une représentation

Crochets des boîtes pour la cloison 10 = 5 + 4 + 1

La dimension de la représentation irréductible $π λ$ du groupe symétrique $S n$ correspondant à une partition $λ$ de $n$ est égale au nombre de tableaux de Young standards différents que l'on peut obtenir à partir du schéma de la représentation. Ce nombre peut être calculé par la formule de longueur de crochet .

Un crochet de longueur de $crochet (x)$ d'une boîte $x$ dans le diagramme de Young $Y (λ)$ de forme $λ$ est le nombre de boîtes qui sont dans la même rangée à sa droite plus ces boîtes dans la même colonne en dessous, plus un ( pour la boîte elle-même). Par la formule de la longueur du crochet, la dimension d'une représentation irréductible est $n!$ divisé par le produit des longueurs de crochet de toutes les cases dans le diagramme de la représentation:

{\ displaystyle \ dim \ pi _ {\ lambda} = {\ frac {n!} {\ prod _ {x \ in Y (\ lambda)} \ operatorname {hook} (x)}}.}

La figure de droite montre les longueurs de crochet pour toutes les cases du diagramme de la partition 10 = 5 + 4 + 1. Ainsi

{\ displaystyle \ dim \ pi _ {\ lambda} = {\ frac {10!} {7 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 1 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ cdot 1} } = 288.}

De même, la dimension de la représentation irréductible $W (λ)$ de $GL r$ correspondant à la partition λ de n (avec au plus r parties) est le nombre de tableaux de Young semi-standard de forme λ (ne contenant que les entrées de 1 à r ), qui est donnée par la formule de la longueur du crochet:

{\ displaystyle \ dim W (\ lambda) = \ prod _ {(i, j) \ in Y (\ lambda)} {\ frac {r + ji} {\ operatorname {hook} (i, j)}}, }

où l'indice i donne la ligne et j la colonne d'une boîte. Par exemple, pour la partition (5,4,1) on obtient comme dimension de la représentation irréductible correspondante de $GL 7$ (parcourant les cases par lignes):

{\ displaystyle \ dim W (\ lambda) = {\ frac {7 \ cdot 8 \ cdot 9 \ cdot 10 \ cdot 11 \ cdot 6 \ cdot 7 \ cdot 8 \ cdot 9 \ cdot 5} {7 \ cdot 5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 1 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 \ cdot 1}} = 66528.}

Représentations restreintes

Représentation du groupe symétrique sur $n$ éléments, $S n$ est aussi une représentation du groupe symétrique sur $n - 1$ éléments, $S n -1$ . Cependant, une représentation irréductible de $S n$ peut ne pas être irréductible pour $S n -1$ . Au contraire, il peut s'agir d'une somme directe de plusieurs représentations irréductibles pour $S n -1$ . Ces représentations sont alors appelées les facteurs de la représentation restreinte (voir aussi représentation induite ).

La question de la détermination de cette décomposition de la représentation restreinte d'une représentation irréductible donnée de S _n , correspondant à une partition $λ$ de $n$ , est répondue comme suit. On forme l'ensemble de tous les diagrammes de Young que l'on peut obtenir à partir du diagramme de forme $λ$ en supprimant une seule case (qui doit être à la fois à la fin de sa ligne et de sa colonne); la représentation restreinte se décompose alors en somme directe des représentations irréductibles de $S n -1$ correspondant à ces diagrammes, chacune apparaissant exactement une fois dans la somme.

Voir également

Remarques

Références

William Fulton . Young Tableaux, avec des applications à la théorie des représentations et à la géométrie . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6 .
Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Théorie de la représentation. Un premier cours . Textes d'études supérieures en mathématiques , lectures en mathématiques. 129 . New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . Conférence 4
Howard Georgi, Algèbres de Lie en physique des particules, 2e édition - Westview
Macdonald, fonctions symétriques IG et polynômes de Hall. Monographies mathématiques d'Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 p. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598
Laurent Manivel. Fonctions symétriques, polynômes de Schubert et locus de dégénérescence . Société mathématique américaine.
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Predrag Cvitanović , Théorie des groupes: traces d'oiseaux, mensonges et groupes exceptionnels . Presses universitaires de Princeton, 2008.

Liens externes

Eric W. Weisstein. " Diagramme de Ferrers ". De MathWorld — Une ressource Web Wolfram.
Eric W. Weisstein. « Young Tableau ». De MathWorld — Une ressource Web Wolfram.
Entrée de tableaux semi-standard dans la base de données FindStat
Entrée de tableaux standard dans la base de données FindStat

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