Groupe linéaire spécial - Special linear group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

Groupes de mensonges
Groupes classiques
Groupes de mensonges simples Classique Un n B n C n D n Exceptionnel G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Autres groupes de Mensonges Cercle Lorentz Poincaré Groupe conforme Difféomorphisme Boucle euclidien
Algèbres de Lie
Algèbre de Lie semi-simple
Théorie des représentations
Les groupes de mensonges en physique
Scientifiques Sophus Mensonge Henri Poincaré Wilhelm tuant Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossaire Tableau des groupes de Lie
v t e

En mathématiques , le groupe linéaire spécial SL( n , F ) de degré n sur un corps F est l'ensemble des matrices n × n de déterminant 1, avec les opérations de groupe de multiplication matricielle ordinaire et d' inversion matricielle . Tel est le sous - groupe du groupe linéaire général donné par le noyau du déterminant

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }.}$

où nous écrivons F ^× pour le groupe multiplicatif de F (c'est-à-dire F excluant 0).

Ces éléments sont « spéciaux » en ce sens qu'ils forment une sous - variété algébrique du groupe linéaire général – ils satisfont à une équation polynomiale (puisque le déterminant est polynomial dans les entrées).

Interprétation géométrique

Le groupe linéaire spécial SL( n , R ) peut être caractérisé comme le groupe des transformations linéaires préservant le volume et l' orientation de R ⁿ ; cela correspond à l'interprétation du déterminant comme mesurant le changement de volume et d'orientation.

Sous-groupe de mensonge

Lorsque F est R ou C , SL( n , F ) est un sous - groupe de Lie de GL( n , F ) de dimension n ² − 1 . L' algèbre de Lie de SL( n , F ) se compose de toutes les matrices n × n sur F avec trace nulle . La parenthèse de Lie est donnée par le commutateur . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$

Topologie

Toute matrice inversible peut être représentée de manière unique selon la décomposition polaire comme le produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne à valeurs propres positives . Le déterminant de la matrice unitaire est sur le cercle unité tandis que celui de la matrice hermitienne est réel et positif et puisque dans le cas d'une matrice du groupe linéaire spécial le produit de ces deux déterminants doit être 1, alors chacun d'eux doit être 1. Par conséquent, une matrice linéaire spéciale peut être écrite comme le produit d'une matrice unitaire spéciale (ou matrice orthogonale spéciale dans le cas réel) et d'une matrice hermitienne définie positive (ou matrice symétrique dans le cas réel) ayant le déterminant 1.

Ainsi la topologie du groupe SL( n , C ) est le produit de la topologie de SU( n ) et de la topologie du groupe des matrices hermitiennes de déterminant unitaire à valeurs propres positives. Une matrice hermitienne de déterminant unitaire et ayant des valeurs propres positives peut être exprimée de manière unique comme l' exponentielle d'une matrice hermitienne sans trace , et donc la topologie de celle-ci est celle de l' espace euclidien ( n ² − 1) -dimensionnel . Puisque SU( n ) est simplement connexe , nous concluons que SL( n , C ) est aussi simplement connexe, pour tout n .

La topologie de SL( n , R ) est le produit de la topologie de SO ( n ) et de la topologie du groupe de matrices symétriques à valeurs propres positives et déterminant unitaire. Puisque ces dernières matrices peuvent être exprimées de manière unique comme l'exponentielle des matrices sans trace symétriques, alors cette dernière topologie est celle de l' espace euclidien ( n + 2)( n − 1)/2 -dimensionnel. Ainsi, le groupe SL( n , R ) a le même groupe fondamental que SO( n ), c'est-à-dire Z pour n = 2 et Z ₂ pour n > 2 . Cela signifie notamment que SL( n , R ) , contrairement à SL( n , C ) , n'est pas simplement connexe, pour n supérieur à 1.

Relations avec les autres sous-groupes de GL( n , A )

Deux sous-groupes apparentés, qui dans certains cas coïncident avec SL, et dans d'autres cas sont accidentellement confondus avec SL, sont le sous - groupe de commutateurs de GL et le groupe généré par les transvections . Ce sont tous deux des sous-groupes de SL (les transvections ont le déterminant 1, et det est une application à un groupe abélien, donc [GL, GL] SL), mais en général ne coïncident pas avec lui.

Le groupe engendré par les transvections est noté E( n , A ) (pour les matrices élémentaires ) ou TV( n , A ) . Par la seconde relation de Steinberg , pour n 3 , les transvections sont des commutateurs, donc pour n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Pour n = 2 , les transvections n'ont pas besoin d'être des commutateurs (de 2 × 2 matrices), comme on le voit par exemple lorsque A est F ₂ , le corps de deux éléments, alors

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2} )]<\nom_opérateur {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\nom_opérateur {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\nom_opérateur {GL} (2,\ mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

où Alt(3) et Sym(3) désignent l' alternance resp. groupe symétrique sur 3 lettres.

Cependant, si A est un champ avec plus de 2 éléments, alors E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , et si A est un champ avec plus de 3 éléments, E (2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] .

Dans certaines circonstances, ceux-ci coïncident : le groupe linéaire spécial sur un champ ou un domaine euclidien est généré par des transvections, et le groupe linéaire spécial stable sur un domaine de Dedekind est généré par des transvections. Pour les anneaux plus généraux, la différence stable est mesurée par le groupe de Whitehead spécial SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , où SL( A ) et E( A ) sont les groupes stables du groupe linéaire spécial et matrices élémentaires.

Générateurs et relations

Si l'on travaille sur un anneau où SL est généré par des transvections (comme un champ ou un domaine euclidien ), on peut donner une présentation de SL en utilisant des transvections avec certaines relations. Les transvections satisfont aux relations de Steinberg , mais celles-ci ne sont pas suffisantes : le groupe résultant est le groupe de Steinberg , qui n'est pas le groupe linéaire spécial, mais plutôt l' extension centrale universelle du sous-groupe de commutateurs de GL.

Un ensemble suffisant de relations pour SL( n , Z ) pour n 3 est donné par deux des relations de Steinberg, plus une troisième relation ( Conder, Robertson & Williams 1992 , p. 19). Soit T _ij  := e _ij (1) la matrice élémentaire avec des 1 sur la diagonale et en position ij , et des 0 ailleurs (et i ≠ j ). Puis

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[ T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12 }T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

sont un ensemble complet de relations pour SL( n , Z ), n 3.

SL ^± ( n , F )

En caractéristique autre que 2, l'ensemble des matrices de déterminant ±1 forme un autre sous-groupe de GL, avec SL comme sous-groupe d'indice 2 (nécessairement normal) ; dans la caractéristique 2, c'est la même chose que SL. Cela forme une courte séquence exacte de groupes :

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)\à \mathrm {SL} ^{\pm }(n,F)\à \{\pm 1\}.}$

Cette séquence se scinde en prenant n'importe quelle matrice de déterminant −1 , par exemple la matrice diagonale Si est impaire, la matrice identité négative est dans SL ^± ( n , F ) mais pas dans SL( n , F ) et donc le groupe se scinde en un produit interne direct . Cependant, si est pair, est déjà dans SL( n , F ) , SL ^± ne se divise pas et est en général une extension de groupe non triviale . ${\style d'affichage (-1,1,\points ,1).}$${\style d'affichage n=2k+1}$${\style d'affichage -I}$ ${\displaystyle SL^{\pm }(2k+1,F)\cong SL(2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\style d'affichage n=2k}$${\style d'affichage -I}$

Sur les nombres réels, SL ^± ( n , R ) a deux composantes connexes , correspondant à SL( n , R ) et une autre composante, qui sont isomorphes avec identification selon un choix de point (matrice avec déterminant −1 ). En dimension impaire, ceux-ci sont naturellement identifiés par , mais en dimension paire il n'y a pas d'identification naturelle unique. ${\style d'affichage -I}$

Structure de GL( n , F )

Le groupe GL( n , F ) se divise sur son déterminant (on utilise F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) comme monomorphisme de F ^× vers GL( n , F ) , voir produit semi - direct ), et donc GL( n , F ) peut être écrit comme un produit semi - direct de SL( n , F ) par F ^× :

GL( n , F ) = SL( n , F ) F ^× .

Voir également

• SL(2, R )
• SL(2, C )
• Groupe modulaire
• Groupe linéaire projectif
• Carte conforme
• Représentations des groupes de Lie classiques

Les références

• Conder, Marston ; Robertson, Edmond ; Williams, Peter (1992), "Présentations de groupes linéaires spéciaux en 3 dimensions sur des anneaux entiers", Actes de l'American Mathematical Society , American Mathematical Society, 115 (1) : 19-26, doi : 10.2307/2159559 , JSTOR  2159559 , MR  1079696
• Hall, Brian C. (2015), Groupes de Lie, algèbres de Lie et représentations : une introduction élémentaire , Textes d'études supérieures en mathématiques, 222 (2e éd.), Springer