1 − 2 + 3 − 4 + - 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Les 15 000 premières sommes partielles de 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... Le graphique est situé avec des entiers positifs à droite et des entiers négatifs à gauche.

En mathématiques , 1 − 2 + 3 − 4 + ··· est une série infinie dont les termes sont les entiers positifs successifs , étant donné des signes alternés . En utilisant la notation de sommation sigma, la somme des m premiers termes de la série peut être exprimée sous la forme

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.}$$

La série infinie diverge , c'est-à-dire que sa suite de sommes partielles , (1, −1, 2, −2, ...) , ne tend vers aucune limite finie . Néanmoins, au milieu du XVIIIe siècle, Leonhard Euler a écrit ce qu'il a admis être une équation paradoxale :

$${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}$$

Une explication rigoureuse de cette équation n'arrivera que bien plus tard. À partir de 1890, Ernesto Cesàro , Émile Borel et d'autres ont étudié des méthodes bien définies pour attribuer des sommes généralisées à des séries divergentes, y compris de nouvelles interprétations des tentatives d'Euler. Beaucoup de ces méthodes de sommabilité attribuent facilement à 1 − 2 + 3 − 4 + ... une "valeur" de1/4. La sommation Cesàro est l'une des rares méthodes qui ne font pas la somme 1 − 2 + 3 − 4 + ... , la série est donc un exemple où une méthode légèrement plus forte, telle que la sommation Abel , est requise.

La série 1 − 2 + 3 − 4 + ... est étroitement liée à la série de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... . Euler a traité ces deux cas comme des cas particuliers de la séquence plus générale 1 − 2 ⁿ + 3 ⁿ − 4 ⁿ + ... , où n = 1 et n = 0 respectivement. Cette ligne de recherche a étendu ses travaux sur le problème de Bâle et conduit vers les équations fonctionnelles de ce que l'on appelle aujourd'hui la fonction eta de Dirichlet et la fonction zeta de Riemann .

Divergence

Les termes de la série (1, -2, 3, -4, ...) ne s'approchent pas de 0 ; donc 1 − 2 + 3 − 4 + ... diverge par le terme test . La divergence peut également être montrée directement à partir de la définition : une série infinie converge si et seulement si la suite des sommes partielles converge vers la limite , auquel cas cette limite est la valeur de la série infinie. Les sommes partielles de 1 − 2 + 3 − 4 + ... sont :

La séquence des sommes partielles montre que la série ne converge pas vers un nombre particulier : pour toute limite proposée x , il existe un point au-delà duquel les sommes partielles suivantes sont toutes en dehors de l'intervalle [ x −1, x +1] ), donc 1 − 2 + 3 − 4 + ... divergent.

Les sommes partielles incluent chaque entier exactement une fois - même 0 si l'on compte la somme partielle vide - et établit ainsi la dénombrement de l'ensemble des entiers . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Heuristique pour la sommation

Stabilité et linéarité

Puisque les termes 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... suivent un schéma simple, la série 1 − 2 + 3 − 4 + ... peut être manipulée par décalage et terme par terme addition pour donner une valeur numérique. Si elle peut donner un sens à écrire s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... pour un certain nombre ordinaire s , les manipulations suivantes plaident pour s = 1 / 4 :

$${\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1- 2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(- 2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4 +5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+ 3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1 -2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\ cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}$$

L'addition de 4 copies de 1 − 2 + 3 − 4 + ..., en utilisant uniquement des décalages et une addition terme par terme, donne 1. Le côté gauche et le côté droit démontrent chacun deux copies de 1 − 2 + 3 − 4 + . .. en ajoutant à 1 − 1 + 1 − 1 + ....

Alors . ${\displaystyle s={\frac {1}{4}}}$

Bien que 1 - 2 + 3 - 4 + ... n'a pas une somme au sens habituel, l'équation s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1 / 4 peut être pris en charge comme la réponse la plus naturelle si une telle somme est à définir. Une définition généralisée de la "somme" d'une série divergente est appelée méthode de sommation ou méthode de sommabilité . Il existe de nombreuses méthodes différentes et il est souhaitable qu'elles partagent certaines séries divergentes#Propriétés des méthodes de sommationPropriétés de la sommation ordinaire . Ce que les manipulations ci-dessus prouvent en réalité est la suivante : Étant donné toute méthode de sommabilité linéaire et stable et additionnant la série 1 − 2 + 3 − 4 + ... , la somme qu'elle produit est 1 ⁄ 4 . De plus, depuis

$${\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+{}& (-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&{}+(3-4+5\cdots )\\&=&0+{}&(-2+3)+(3-4) +(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}$$

Produit Cauchy

En 1891, Ernesto Cesàro exprima l'espoir que les séries divergentes seraient rigoureusement introduites dans le calcul , précisant : « On écrit déjà (1 − 1 + 1 − 1 + ...) ² = 1 − 2 + 3 − 4 + ... et affirme que les deux côtés sont égaux à 1 / quatre « . Pour Cesàro, cette équation était une application d'un théorème qu'il avait publié l'année précédente, qui est le premier théorème de l'histoire des séries divergentes sommables. Les détails sur sa méthode de sommation sont ci - dessous ; l'idée centrale est que 1 − 2 + 3 − 4 + ... est le produit de Cauchy ( convolution discrète ) de 1 − 1 + 1 − 1 + ... avec 1 − 1 + 1 − 1 + ... .

Le produit de Cauchy de deux séries infinies est défini même lorsque les deux sont divergentes. Dans le cas où a _n = b _n = (−1) ⁿ , les termes du produit de Cauchy sont donnés par les sommes diagonales finies

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{nk}=\sum _{k=0} ^{n}(-1)^{k}(-1)^{nk}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n} =(-1)^{n}(n+1).\end{tableau}}}$$

La série de produits est alors

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .}$$

Ainsi une méthode de sommation respectant le produit de Cauchy de deux séries — et affectant à la série 1 − 1 + 1 − 1 + ... la somme 1/2 — affectera également à la série 1 − 2 + 3 − 4 + . .. la somme 1/4. Avec le résultat de la section précédente, cela implique une équivalence entre la sommabilité de 1 − 1 + 1 − 1 + ... et 1 − 2 + 3 − 4 + ... avec des méthodes linéaires, stables et respectant le Cauchy produit.

Le théorème de Cesàro en est un exemple subtil. La série 1 − 1 + 1 − 1 + ... est Cesàro-sommable au sens le plus faible, appelée (C, 1)-sommable, tandis que 1 − 2 + 3 − 4 + ... nécessite une forme plus forte du théorème de Cesàro , étant (C, 2)-sommable. Étant donné que toutes les formes du théorème de Cesàro sont linéaires et stables, les valeurs des sommes sont celles calculées ci-dessus.

Méthodes spécifiques

Cesaro et Hölder

Les données sur le (H, 2) de la somme 1 / quatre

Pour trouver la somme (C, 1) Cesàro de 1 − 2 + 3 − 4 + ..., si elle existe, il faut calculer les moyennes arithmétiques des sommes partielles de la série. Les sommes partielles sont :

et les moyennes arithmétiques de ces sommes partielles sont :

Cette séquence de moyennes ne converge pas, donc 1 − 2 + 3 − 4 + ... n'est pas sommable Cesàro.

Il existe deux généralisations bien connues de la sommation de Cesàro : la plus simple sur le plan conceptuel est la séquence de méthodes (H, n ) pour les nombres naturels n . La somme (H, 1) est la sommation de Cesàro, et les méthodes supérieures répètent le calcul des moyennes. Ci - dessus, les moyens même convergent vers 1 / 2 , tandis que les moyens impairs sont tous égaux à 0, de sorte que les moyens du moyen de convergence de la moyenne de 0 et 1 / 2 , à savoir 1 / quatre . Donc 1 − 2 + 3 − 4 + ... est (H, 2) sommable à 1 ⁄ 4 .

Le "H" signifie Otto Hölder , qui a prouvé pour la première fois en 1882 ce que les mathématiciens considèrent maintenant comme le lien entre la sommation d'Abel et la sommation (H, n ); 1 − 2 + 3 − 4 + ... était son premier exemple. Le fait que 1 / 4 est le groupe (H, 2) somme de 1 - 2 + 3 - 4 + ... garantit qu'il est la somme Abel ainsi; ceci sera également prouvé directement ci-dessous.

L'autre généralisation communément formulée de la sommation de Cesàro est la séquence des méthodes (C, n ). Il a été prouvé que la sommation (C, n ) et la sommation (H, n ) donnent toujours les mêmes résultats, mais elles ont des contextes historiques différents. En 1887, Cesàro a failli énoncer la définition de la sommation (C, n ), mais il n'a donné que quelques exemples. En particulier, il a sommé 1 − 2 + 3 − 4 + ..., à 1 ⁄ 4 par une méthode qui peut être reformulée comme (C, n ) mais n'était pas justifiée en tant que telle à l'époque. Il définit formellement les méthodes (C, n) en 1890 afin d'énoncer son théorème selon lequel le produit de Cauchy d'une série (C, n )-sommable et d'une série (C, m )-sommable est (C, m + n + 1)-résumable.

Abel sommation

Quelques partiels de 1 − 2 x + 3 x ² + ... ; 1/(1 + x ) ² ; et limites à 1

Dans un rapport de 1749, Leonhard Euler admet que la série diverge mais se prépare quand même à la résumer :

... quand on dit que la somme de cette série 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 , etc est 1 / 4 , qui doit paraître paradoxal. Pour en ajoutant 100 termes de cette série, nous obtenons -50, cependant, la somme de 101 termes donne +51, ce qui est tout à fait différent de 1 / 4 et devient encore plus lorsque l' on augmente le nombre de termes. Mais j'ai déjà remarqué à une époque précédente, qu'il faut donner au mot somme un sens plus étendu...

Euler a proposé une généralisation du mot « somme » à plusieurs reprises. Dans le cas de 1 − 2 + 3 − 4 + ... , ses idées sont similaires à ce qui est maintenant connu sous le nom de sommation d'Abel :

... il n'y a pas plus douteux que la somme de cette série 1 - 2 + 3 - 4 + 5 etc est 1 / 4 ; car il résulte de l'expansion de la formule 1 / (1 + 1) ² , dont la valeur est incontestablement une / quatre . L'idée devient plus claire en considérant la série générale 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + 5 x ⁴ − 6 x ⁵ + &c. cela survient en développant l'expression 1 ⁄ (1+ x ) ² , à laquelle cette série est bien égale après avoir posé x = 1 .

Il y a plusieurs façons de voir cela, au moins pour les valeurs absolues | x | < 1 , Euler a raison

$${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}$$

. En partant du membre de gauche, on peut suivre l'heuristique générale ci-dessus et essayer de multiplier par (1 + x ) deux fois ou de mettre au carré la série géométrique 1 − x + x ² − ... . Euler semble également suggérer de différencier cette dernière série terme à terme.

Dans la vision moderne, la fonction génératrice 1 − 2 x + 3 x ² − 4 x ³ + ... ne définit pas de fonction à x = 1 , de sorte que la valeur ne peut pas simplement être substituée dans l'expression résultante. Puisque la fonction est définie pour tout | x | < 1 , on peut toujours prendre la limite lorsque x tend vers 1, et c'est la définition de la somme d'Abel :

$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^ {-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$$

Euler et Borel

Sommation d'Euler à 1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 4 . Les valeurs positives sont affichées en blanc, les valeurs négatives sont affichées en marron et les décalages et les annulations sont affichés en vert.

Euler a appliqué une autre technique à la série : la transformée d'Euler , une de ses propres inventions. Pour calculer la transformée d'Euler, on part de la séquence de termes positifs qui constitue la série alternée — dans ce cas 1, 2, 3, 4, .... Le premier élément de cette séquence est étiqueté a ₀ .

Ensuite, il faut la séquence des différences directes entre 1, 2, 3, 4, ... ; c'est juste 1, 1, 1, 1, .... Le premier élément de cette séquence est étiqueté a ₀ . La transformée d'Euler dépend également des différences de différences et des itérations supérieures , mais toutes les différences directes entre 1, 1, 1, 1, ... sont 0. La transformée d'Euler de 1 − 2 + 3 − 4 + ... est alors défini comme

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2 }a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}$$

Dans la terminologie moderne, on dit que 1 − 2 + 3 − 4 + ... est Euler sommable en 1 ⁄ 4 .

La sommabilité d'Euler implique également la sommabilité de Borel , avec la même valeur de sommation, comme elle le fait en général.

Séparation des échelles

Saichev et Woyczyński arrivent à 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1 / 4 en appliquant deux principes physiques: la relaxation infinitésimale et la séparation des échelles . Pour être précis, ces principes les amènent à définir une grande famille de « & phiv méthodes de -summation », tous qui résument la série à 1 / 4 :

• Si φ ( x ) est une fonction dont les dérivées première et seconde sont continues et intégrables sur (0, ), telle que φ(0) = 1 et les bornes de φ( x ) et x ( x ) en +∞ sont les deux 0, alors
  $${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}$$

  

Ce résultat généralise la sommation d'Abel, qui est récupérée en laissant φ ( x ) = exp(− x ). L'énoncé général peut être prouvé en associant les termes de la série sur m et en convertissant l'expression en une intégrale de Riemann . Pour la dernière étape, la preuve correspondante pour 1 − 1 + 1 − 1 + ... applique le théorème de la valeur moyenne , mais ici on a besoin de la forme de Lagrange plus forte du théorème de Taylor .

Généralisation

Extrait de p. 233 de l' E212 — Institutiones calculi differalis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum . Euler additionne des séries similaires, ca. 1755.

Le triple produit de Cauchy de 1 − 1 + 1 − 1 + ... est 1 − 3 + 6 − 10 + ..., la série alternée de nombres triangulaires ; la somme Abel et Euler est une / huit . Le quadruple produit de Cauchy 1 - 1 + 1 - 1 + ... est 1-4 + 10 - 20 + ..., les séries alternées de nombres tétraédriques , dont la somme est Abel 1 / 16 .

Une autre généralisation de 1 − 2 + 3 − 4 + ... dans un sens légèrement différent est la série 1 − 2 ⁿ + 3 ⁿ − 4 ⁿ + ... pour les autres valeurs de n . Pour les entiers positifs n , ces séries ont les sommes Abel suivantes :

$${\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2}{n+1}-1}{n+1}}B_{n}}$$

où B _n sont les nombres de Bernoulli . Pour n pair , cela se réduit à

$${\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0,}$$

ce qui peut être interprété comme indiquant que les valeurs paires négatives de la fonction zêta de Riemann sont nulles. Cette somme est devenue un objet de ridicule particulier par Niels Henrik Abel en 1826 :

Les séries divergentes sont dans l'ensemble l'œuvre du diable, et il est dommage qu'on ose y fonder la moindre preuve. On peut en tirer ce qu'on veut si on s'en sert, et ce sont eux qui ont fait tant de malheurs et tant de paradoxes. Peut-on penser à quelque chose de plus épouvantable que de dire que

0 = 1 − 2 ²ⁿ + 3 ²ⁿ − 4 ²ⁿ + etc.

où n est un nombre positif. Voici de quoi rire, les amis.

Le professeur de Cesàro, Eugène Charles Catalan , a également dénigré les séries divergentes. Sous l'influence de Catalan, Cesàro a d'abord appelé les « formules conventionnelles » pour 1 − 2 ⁿ + 3 ⁿ − 4 ⁿ + ... comme des « égalités absurdes », et en 1883 Cesàro a exprimé une vision typique de l'époque que les formules étaient fausses mais toujours en quelque sorte formellement utile. Enfin, dans son 1890 Sur la multiplication des séries , Cesàro a adopté une approche moderne à partir de définitions.

Les séries sont également étudiées pour les valeurs non entières de n ; ceux-ci constituent la fonction eta de Dirichlet . Une partie de la motivation d'Euler pour étudier les séries liées à 1 − 2 + 3 − 4 + ... était l' équation fonctionnelle de la fonction eta, qui conduit directement à l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann . Euler était déjà devenu célèbre pour trouver les valeurs de ces fonctions aux entiers pairs positifs (y compris le problème de Bâle ), et il tentait de trouver les valeurs aux entiers impairs positifs (y compris la constante d'Apéry ), un problème qui reste insaisissable aujourd'hui . La fonction eta en particulier est plus facile à traiter par les méthodes d'Euler car sa série de Dirichlet est Abel sommable partout ; la série de Dirichlet de la fonction zêta est beaucoup plus difficile à additionner là où elle diverge. Par exemple, la contrepartie de 1 − 2 + 3 − 4 + ... dans la fonction zêta est la série non alternative 1 + 2 + 3 + 4 + ... , qui a des applications profondes dans la physique moderne mais nécessite beaucoup plus méthodes pour faire la somme.

Voir également

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 +
• 1 + 2 + 4 + 8 + ·...
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Les références

Notes de bas de page

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