Caractérisations de la fonction exponentielle - Characterizations of the exponential function

En mathématiques , la fonction exponentielle peut être caractérisée de plusieurs manières. Les caractérisations (définitions) suivantes sont les plus courantes. Cet article explique pourquoi chaque caractérisation a du sens et pourquoi les caractérisations sont indépendantes et équivalentes les unes des autres. Comme cas particulier de ces considérations, il sera démontré que les trois définitions les plus courantes données pour la constante mathématique e sont équivalentes les unes aux autres.

Caractérisations

Les six définitions les plus courantes de la fonction exponentielle exp( x ) = e ^x pour x réel sont :

1. Définir e ^x par la limite

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

2. Définir e ^x comme la valeur de la série infinie

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2 ! }}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

(Ici n ! désigne la factorielle de n . Une preuve que e est irrationnel utilise un cas particulier de cette formule.)

3. Définissez e ^x comme le nombre unique y > 0 tel que

${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$

C'est comme l'inverse de la fonction logarithme népérien , qui est définie par cette intégrale.

4. Définir e ^x comme la solution unique au problème de la valeur initiale

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

(Ici, y ′ désigne la dérivée de y .)

5. La fonction exponentielle e ^x est l'unique fonction f avec f (1) = e et f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) pour tout x et y qui satisfait l'une des conditions supplémentaires suivantes :

• f est mesurable par Lebesgue (Hewitt et Stromberg, 1965, exercice 18.46).
• f est continue en au moins un point (Rudin, 1976, chapitre 8, exercice 6). (Comme indiqué ci-dessous, si f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) pour tout x et y , et f est continue en un seul point, alors f est nécessairement continue partout .)
• f est croissante . (Une fonction croissante qui s'accorde avec e ^x sur les nombres rationnels doit être égale à e ^x .)

Pour l'unicité, il faut imposer une condition supplémentaire comme celles ci-dessus, car sinon d'autres fonctions peuvent être construites en utilisant une base pour les nombres réels sur les rationnels , comme décrit par Hewitt et Stromberg.

On pourrait aussi remplacer f (1) = e et la "condition supplémentaire" par la seule condition f′ (0) = 1 .

6. Soit e l'unique nombre réel positif satisfaisant

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$

Cette limite peut être démontrée. Ensuite, définissez e ^x comme la fonction exponentielle avec cette base. Cette définition est particulièrement adaptée au calcul de la dérivée de la fonction exponentielle.

Domaines plus grands

Une façon de définir la fonction exponentielle pour les domaines plus grands que le domaine des nombres réels est de la définir d'abord pour le domaine des nombres réels en utilisant l'une des caractérisations ci-dessus, puis de l'étendre à des domaines plus grands d'une manière qui fonctionnerait pour n'importe quelle fonction analytique. .

Il est également possible d'utiliser les caractérisations directement pour le domaine plus large, bien que certains problèmes puissent survenir. (1), (2) et (4) ont tous un sens pour les algèbres de Banach arbitraires . (3) présente un problème pour les nombres complexes, car il existe des chemins non équivalents le long desquels on pourrait intégrer, et (5) n'est pas suffisant. Par exemple, la fonction f définie (pour x et y réels) comme

${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$

satisfait les conditions de (5) sans être la fonction exponentielle de  x  +  iy . Pour rendre (5) suffisant pour le domaine des nombres complexes, on peut soit stipuler qu'il existe un point auquel f est une application conforme ou bien stipuler que

${\displaystyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1).}$

En particulier, la condition alternative en (5) est suffisante puisqu'elle stipule implicitement que f est conforme. ${\style d'affichage f'(0)=1}$

Preuve que chaque caractérisation a du sens

Certaines de ces définitions nécessitent une justification pour démontrer qu'elles sont bien définies . Par exemple, lorsque la valeur de la fonction est définie comme le résultat d'un processus limite (c'est-à-dire une séquence ou une série infinie ), il faut démontrer qu'une telle limite existe toujours.

Caractérisation 2

Depuis

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|= \lim _{n\à \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$

il résulte du test du rapport qui converge pour tout x . ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Caractérisation 3

Puisque l'intégrande est une fonction intégrable de t , l'expression intégrale est bien définie. Il faut montrer que la fonction de à définie par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{(\cdot )}{\frac {dt}{t}}}$

est une bijection . Puisque 1/ t est positif pour t positif , cette fonction est strictement croissante , donc injective . Si les deux intégrales

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{ \frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$

tenir, alors il est aussi surjectif . En effet, ces intégrales sont vraies ; ils découlent du test intégral et de la divergence de la série harmonique .

Équivalence des caractérisations

La preuve suivante démontre l'équivalence des trois premières caractérisations données pour e ci-dessus. La preuve se compose de deux parties. Tout d'abord, l'équivalence des caractérisations 1 et 2 est établie, puis l'équivalence des caractérisations 1 et 3 est établie. Des arguments liant les autres caractérisations sont également donnés.

Équivalence des caractérisations 1 et 2

L'argument suivant est adapté d'une démonstration de Rudin, théorème 3.31, p. 63-65.

Soit un nombre réel fixe non négatif. Définir ${\style d'affichage x\geq 0}$

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\droit)^{n}.}$

Par le théorème du binôme ,

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choisissez k}{\frac {x^{k}}{n^{k}} }=1+x+\somme _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{ k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n} }\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{ n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n }}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$

(en utilisant x  ≥ 0 pour obtenir l'inégalité finale) de sorte que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$

où e ^x est au sens de la définition 2. Ici, limsups doit être utilisé, car on ne sait pas si t _n converge . Pour l'autre sens, par l'expression ci-dessus de t _n , si 2  m ≤ n ,

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{ m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1 -{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$

Fixez m et laissez n approcher l'infini. Puis

${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _ {n\à \infty }t_{n}}$

(encore une fois, les liminf doivent être utilisées car on ne sait pas si t _n converge). Maintenant, en prenant l'inégalité ci-dessus, en laissant m approcher l'infini et en la rassemblant avec l'autre inégalité, cela devient

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

pour que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$

Cette équivalence peut être étendue aux nombres réels négatifs en notant et en prenant la limite lorsque n tend vers l'infini. ${\displaystyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left (1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$

Le terme d'erreur de cette expression-limite est décrit par

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}} +{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$

où le degré du polynôme (en x ) dans le terme de dénominateur n ^k est 2 k .

Équivalence des caractérisations 1 et 3

Ici, la fonction logarithme népérien est définie en termes d'intégrale définie comme ci-dessus. Par la première partie du théorème fondamental du calcul ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt ={\frac {1}{x}}.}$

Outre, ${\displaystyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0}$

Maintenant, soit x un nombre réel fixe, et soit

${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Ln( y ) = x , ce qui implique que y = e ^x , où e ^x est au sens de la définition 3. On a

${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \ infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Ici, la continuité de ln( y ) est utilisée, qui découle de la continuité de 1/ t :

${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{ \frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$

Ici, le résultat ln a ⁿ = n ln a a été utilisé. Ce résultat peut être établi pour n un nombre naturel par induction, ou par intégration par substitution. (L'extension aux puissances réelles doit attendre que ln et exp aient été établis comme inverses l'un de l'autre, de sorte que a ^b puisse être défini pour réel b comme e ^{b ln a} .)

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$

${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$

${\style d'affichage \!\,=x.}$

Équivalence des caractérisations 3 et 4

La caractérisation 3 consiste à définir le logarithme népérien avant de définir la fonction exponentielle. D'abord,

${\displaystyle \log x:=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Cela signifie que le logarithme népérien de est égal à l'aire (signée) sous le graphique entre et . Si , alors cette zone est considérée comme négative. Alors, est défini comme l'inverse de , ce qui signifie que ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage 1/t}$${\style d'affichage t=1}$${\style d'affichage t=x}$${\style d'affichage x<1}$${\style d'affichage \exp }$${\displaystyle \log }$

${\displaystyle \exp(\log(x))=x{\text{ et }}\log(\exp(x))=x}$

par la définition d'une fonction inverse. Si est un nombre réel positif alors est défini comme . Enfin, est défini comme le nombre tel que . On peut alors montrer que : ${\style d'affichage a}$${\displaystyle a^{x}}$${\displaystyle \exp(x\log(a))}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \log(a)=1}$${\displaystyle e^{x}=\exp(x)}$

${\displaystyle e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)}$

Par le théorème fondamental du calcul , la dérivée de . Nous sommes maintenant en mesure de prouver que , en satisfaisant la première partie du problème de la valeur initiale donné dans la caractérisation 4 : ${\displaystyle \log x={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle {\frac {d(e^{x})}{dx}}=e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\ \{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned} }}$

Ensuite, nous n'avons qu'à noter que , et nous avons terminé. Bien sûr, il est beaucoup plus facile de montrer que la caractérisation 4 implique la caractérisation 3. Si est l'unique fonction satisfaisant , et , alors peut être définie comme son inverse. La dérivée de peut être trouvée de la manière suivante : ${\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\style d'affichage f'(x)=e^{x}}$${\style d'affichage f(0)=1}$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log }$

${\displaystyle y=\log x\implique x=e^{y}}$

Si nous différencions les deux côtés par rapport à , nous obtenons ${\style d'affichage y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{ y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

Par conséquent,

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1 =\log x-0=\log x}$

Équivalence des caractérisations 2 et 4

Soit n un entier non négatif. Au sens de la définition 4 et par induction, . ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$

Par conséquent ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

En utilisant la série de Taylor , cela montre que la définition 4 implique la définition 2. ${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n} }{n !}}.}$

Au sens de la définition 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^ {\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n !}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k =0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end {aligné}}}$

En outre, cela montre que la définition 2 implique la définition 4. ${\displaystyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1. }$

Équivalence des caractérisations 1 et 5

La preuve suivante est une version simplifiée de celle de Hewitt et Stromberg, exercice 18.46. Tout d'abord, on prouve que la mesurabilité (ou ici, l'intégrabilité de Lebesgue) implique une continuité pour une fonction non nulle vérifiant , puis on prouve que la continuité implique pour un certain k , et finalement implique k =1. ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x+y)=f(x)f(y)}$${\style d'affichage f(x)=e^{kx}}$${\style d'affichage f(1)=e}$

Tout d'abord, quelques propriétés élémentaires de satisfaire sont prouvées, et l'hypothèse qui n'est pas identiquement nulle : ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x+y)=f(x)f(y)}$${\style d'affichage f(x)}$

• Si est non nul n'importe où (disons à x = y ), alors il est non nul partout. Preuve : implique .${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(y)=f(x)f(yx)\neq 0}$${\style d'affichage f(x)\neq 0}$
• ${\style d'affichage f(0)=1}$. Preuve : et n'est pas nul.${\style d'affichage f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$${\style d'affichage f(x)}$
• ${\style d'affichage f(-x)=1/f(x)}$. Preuve : .${\style d'affichage 1=f(0)=f(xx)=f(x)f(-x)}$
• Si est continue n'importe où (disons à x = y ), alors elle est continue partout. Preuve : comme par continuité en  y .${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(xy)[f(y+\delta )-f(y)]\rightarrow 0}$${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$

Les deuxième et troisième propriétés signifient qu'il suffit de prouver pour x positif  . ${\style d'affichage f(x)=e^{x}}$

Si est une fonction intégrable de Lebesgue , alors ${\style d'affichage f(x)}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.}$

Il s'ensuit alors que

${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x +x')\,dx'=f(x)g(y).}$

Comme est différent de zéro, certains y peuvent être choisis tels que et résolus dans l'expression ci-dessus. Par conséquent: ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage g(y)\neq 0}$${\style d'affichage f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g (x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}= g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$

L'expression finale doit aller à zéro comme depuis et est continue. Il s'ensuit que c'est continu. ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$${\style d'affichage g(0)=0}$${\style d'affichage g(x)}$${\style d'affichage f(x)}$

Maintenant, peut être prouvé, pour certains k , pour tous les nombres rationnels positifs q . Soit q = n / m pour les entiers positifs n et m . Puis ${\displaystyle f(q)=e^{kq}}$

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\ right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$

par induction élémentaire sur n . Par conséquent, et ainsi ${\style d'affichage f(1/m)^{m}=f(1)}$

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}$

pour . S'il est limité aux valeurs réelles , alors est partout positif et donc k est réel. ${\displaystyle k=\ln[f(1)]}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x)=f(x/2)^{2}}$

Enfin, par continuité, puisque pour tout rationnel x , cela doit être vrai pour tout réel x puisque la clôture des rationnels est les réels (c'est-à-dire que tout réel x peut s'écrire comme la limite d'une suite de rationnels). Si alors k = 1. Ceci est équivalent à la caractérisation 1 (ou 2, ou 3), selon la définition équivalente de e que l' on utilise. ${\style d'affichage f(x)=e^{kx}}$${\style d'affichage f(1)=e}$

La caractérisation 2 implique la caractérisation 6

Au sens de la définition 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1 }{h}}\gauche(\gauche(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac { h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!} }+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\\&=1\\\end{aligned }}}$

La caractérisation 5 implique la caractérisation 4

Les conditions f' (0) = 1 et f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) impliquent les deux conditions dans la caractérisation 4. En effet, on obtient la condition initiale f (0) = 1 en divisant les deux côtés de l'équation

${\style d'affichage f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$

par f (0) , et la condition que f′ ( x ) = f ( x ) découle de la condition que f′ (0) = 1 et la définition de la dérivée comme suit :

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h} }&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0 }f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h) -1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x) f'(0)=f(x).\end{tableau}}}$

La caractérisation 6 implique la caractérisation 4

Au sens de la définition 6, Soit dit en passant , donc la définition 6 implique la définition 4. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}} =e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.}$${\style d'affichage e^{0}=1}$

Les références

• Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis , 3e édition (McGraw–Hill, 1976), chapitre 8.
• Edwin Hewitt et Karl Stromberg, Analyse réelle et abstraite (Springer, 1965).