Nombre congruent - Congruent number

En théorie des nombres , un nombre congruent est un entier positif qui est l'aire d'un triangle rectangle avec trois côtés rationnels . Une définition plus générale inclut tous les nombres rationnels positifs avec cette propriété.

La séquence de nombres congruents (entiers) commence par

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (séquence A003273 dans l' OEIS )

Par exemple, 5 est un nombre congru car c'est l'aire d'un triangle (20/3, 3/2, 41/6). De même, 6 est un nombre congru car c'est l'aire d'un triangle (3,4,5). 3 et 4 ne sont pas des nombres congrus.

Si q est un nombre congruent alors s ² q est également un nombre congruent pour tout nombre naturel s (en multipliant simplement chaque côté du triangle par s ), et vice versa. Cela conduit à l'observation que si un nombre rationnel non nul q est un nombre congruent ne dépend que de son résidu dans le groupe

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$,

où est l'ensemble des nombres rationnels non nuls. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$

Chaque classe de résidus de ce groupe contient exactement un entier sans carré , et il est donc courant de ne considérer que des entiers positifs sans carré, lorsque l'on parle de nombres congrus.

Problème de nombre congruent

La question de déterminer si un nombre rationnel donné est un nombre congruent s'appelle le problème des nombres congruents . Ce problème n'a pas (à partir de 2019) été résolu avec succès. Le théorème de Tunnell fournit un critère facilement testable pour déterminer si un nombre est congruent ; mais son résultat repose sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer , qui n'est pas encore prouvée.

Le théorème du triangle rectangle de Fermat , du nom de Pierre de Fermat , stipule qu'aucun nombre carré ne peut être un nombre congruent. Cependant, sous la forme que chaque congruum (la différence entre des éléments consécutifs dans une progression arithmétique de trois carrés) est non carré, il était déjà connu (sans preuve) de Fibonacci . Chaque congruum est un nombre congruent, et chaque nombre congruent est le produit d'un congruum et du carré d'un nombre rationnel. Cependant, déterminer si un nombre est un congruum est beaucoup plus facile que de déterminer s'il est congru, car il existe une formule paramétrée pour le congrua pour laquelle seulement un nombre fini de valeurs de paramètres doivent être testés.

Solutions

n est un nombre congru si et seulement si le système

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=u^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}=v^{2}}$

a une solution où , et sont des entiers. ${\style d'affichage x,y,u}$${\style d'affichage v}$

Étant donné une solution, les trois nombres , , et seront dans une progression arithmétique avec une différence commune . ${\displaystyle u^{2}}$${\style d'affichage x^{2}}$${\style d'affichage v^{2}}$${\displaystyle ny^{2}}$

De plus, s'il existe une solution (où les membres de droite sont des carrés), alors il y en a une infinité : étant donné toute solution , une autre solution peut être calculée à partir de ${\style d'affichage (x,y)}$${\style d'affichage (x',y')}$

${\displaystyle x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2}}$,

${\displaystyle y'=2xyuv}$.

Par exemple, avec , les équations sont : ${\style d'affichage n=6}$

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=u^{2}}$,

${\style d'affichage x^{2}+6y^{2}=v^{2}}$.

Une solution est (pour que ). Une autre solution est ${\style d'affichage x=5,y=2}$${\style d'affichage u=1,v=7}$

${\displaystyle x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201}$,

${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140}$.

Avec ce nouveau et , les membres de droite sont toujours les deux carrés : ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$

${\displaystyle u^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}}$.

Étant donné , et , on peut obtenir , et tel que ${\style d'affichage x,y,u}$${\style d'affichage v}$${\style d'affichage a,b}$${\style d'affichage c}$

${\style d'affichage a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, et ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

de

${\displaystyle a={\frac {vu}{y}}}$, , .${\displaystyle b={\frac {v+u}{y}}}$${\displaystyle c={\frac {2}x}{y}}}$

Alors et sont les jambes et l'hypoténuse d'un triangle rectangle d'aire . ${\style d'affichage a,b}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage n}$

Les valeurs ci-dessus produisent . Les valeurs donnent . Ces deux triangles rectangles ont une aire . ${\style d'affichage (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$${\style d'affichage (a,b,c)=(3,4,5)}$${\style d'affichage (1201,140,1151,1249)}$${\style d'affichage (a,b,c)=(7/10 120/7 1201/70)}$${\style d'affichage n=6}$

Relation avec les courbes elliptiques

La question de savoir si un nombre donné est congruent s'avère être équivalente à la condition qu'une certaine courbe elliptique ait un rang positif . Une approche alternative à l'idée est présentée ci-dessous (comme on peut le trouver essentiellement dans l'introduction de l'article de Tunnell).

Supposons que a , b , c sont des nombres (pas nécessairement positifs ou rationnels) qui satisfont aux deux équations suivantes :

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}} }$

Fixer alors x = n ( a + c )/ b et y = 2 n ² ( a + c )/ b ² . Un calcul montre

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

et y n'est pas 0 (si y = 0 alors a = - c , donc b = 0 , mais ( 1 ⁄ 2 ) ab = n est non nul, une contradiction).

Inversement, si x et y sont des nombres qui satisfont l'équation ci-dessus et que y n'est pas 0, définissez a = ( x ² - n ² )/ y , b = 2 nx / y , et c = ( x ² + n ² )/ oui . Un calcul montre que ces trois nombres satisfont aux deux équations pour a , b et c ci-dessus.

Ces deux correspondances entre ( a , b , c ) et ( x , y ) sont inverses l'une de l'autre, nous avons donc une correspondance bijective entre toute solution des deux équations dans a , b , et c et toute solution de l'équation en x et y avec y non nul. En particulier, d'après les formules des deux correspondances, pour le rationnel n, nous voyons que a , b , et c sont rationnels si et seulement si les x et y correspondants sont rationnels, et vice versa. (Nous avons aussi que a , b , et c sont tous positifs si et seulement si x et y sont tous positifs ; à partir de l'équation y ² = x ³ - xn ² = x ( x ² - n ² ) nous voyons que si x et y sont positifs, alors x ² - n ² doit être positif, donc la formule pour a ci-dessus est positive.)

Ainsi un nombre rationnel positif n est congru si et seulement si l'équation y ² = x ³ - n ² x a un point rationnel avec y différent de 0. On peut le montrer (comme application du théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique ) que les seuls points de torsion sur cette courbe elliptique sont ceux avec y égal à 0, donc l'existence d'un point rationnel avec y non nul équivaut à dire que la courbe elliptique a un rang positif.

Une autre approche de la résolution consiste à commencer par la valeur entière de n notée N et à résoudre

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

où

${\displaystyle {\begin{matrix}c&=&n^{2}/e+e\\a&=&2n\\b&=&n^{2}/ee\end{matrix}}}$

Les plus petites solutions

Ce qui suit est une liste des solutions rationnelles à et avec le nombre n congruent et le plus petit numérateur pour c . (nous supposons que a < b ; a ne peut pas être égal à b , car si c'est le cas, alors , mais n'est pas un nombre rationnel ; par conséquent, c et a ne sont pas tous les deux des nombres rationnels, car s'ils l'étaient, alors c / a = serait rationnel). ${\style d'affichage a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

David Goldberg a calculé congruentes sans carrés nombres inférieurs à 10 ⁴ , avec les correspondants a et b des valeurs.

m	une	b	c
5	${\style d'affichage {\frac {3}{2}}}$	${\style d'affichage {\frac {20}{3}}}$	${\style d'affichage {\frac {41}{6}}}$
6	3	4	5
7	${\style d'affichage {\frac {35}{12}}}$	${\style d'affichage {\frac {24}{5}}}$	${\style d'affichage {\frac {337}{60}}}$
13	${\style d'affichage {\frac {780}{323}}}$	${\style d'affichage {\frac {323}{30}}}$	${\style d'affichage {\frac {106921}{9690}}}$
14	${\style d'affichage {\frac {8}{3}}}$	${\style d'affichage {\frac {21}{2}}}$	${\style d'affichage {\frac {65}{6}}}$
15	4	${\style d'affichage {\frac {15}{2}}}$	${\style d'affichage {\frac {17}{2}}}$
20	3	${\style d'affichage {\frac {40}{3}}}$	${\style d'affichage {\frac {41}{3}}}$
21	${\style d'affichage {\frac {7}{2}}}$	12	${\displaystyle {\frac {25}{2}}}$
22	${\style d'affichage {\frac {33}{35}}}$	${\style d'affichage {\frac {140}{3}}}$	${\style d'affichage {\frac {4901}{105}}}$
23	${\style d'affichage {\frac {80155}{20748}}}$	${\style d'affichage {\frac {41496}{3485}}}$	${\style d'affichage {\frac {905141617}{72306780}}}$
24	6	8	dix
28	${\style d'affichage {\frac {35}{6}}}$	${\style d'affichage {\frac {48}{5}}}$	${\style d'affichage {\frac {337}{30}}}$
29	${\style d'affichage {\frac {99}{910}}}$	${\style d'affichage {\frac {52780}{99}}}$	${\style d'affichage {\frac {48029801}{90090}}}$
30	5	12	13
31	${\style d'affichage {\frac {720}{287}}}$	${\style d'affichage {\frac {8897}{360}}}$	${\style d'affichage {\frac {2566561}{103320}}}$
34	${\style d'affichage {\frac {17}{6}}}$	24	${\style d'affichage {\frac {145}{6}}}$
37	${\style d'affichage {\frac {450660}{777923}}}$	${\style d'affichage {\frac {777923}{6090}}}$	${\style d'affichage {\frac {605170417321}{4737551070}}}$
38	${\style d'affichage {\frac {1700}{279}}}$	${\style d'affichage {\frac {5301}{425}}}$	${\style d'affichage {\frac {1646021}{118575}}}$
39	${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$	${\style d'affichage {\frac {156}{5}}}$	${\style d'affichage {\frac {313}{10}}}$
41	${\style d'affichage {\frac {123}{20}}}$	${\style d'affichage {\frac {40}{3}}}$	${\style d'affichage {\frac {881}{60}}}$
45	${\style d'affichage {\frac {9}{2}}}$	20	${\style d'affichage {\frac {41}{2}}}$
46	${\style d'affichage {\frac {253}{42}}}$	${\style d'affichage {\frac {168}{11}}}$	${\style d'affichage {\frac {7585}{462}}}$
47	${\style d'affichage {\frac {11547216}{2097655}}}$	${\style d'affichage {\frac {98589785}{5773608}}}$	${\style d'affichage {\frac {217287944875297}{12111037689240}}}$
52	${\style d'affichage {\frac {1560}{323}}}$	${\style d'affichage {\frac {323}{15}}}$	${\style d'affichage {\frac {106921}{4845}}}$
53	${\style d'affichage {\frac {1472112483}{202332130}}}$	${\style d'affichage {\frac {21447205780}{1472112483}}}$	${\style d'affichage {\frac {4850493897329785961}{297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	${\style d'affichage {\frac {1100}{117}}}$	${\style d'affichage {\frac {117}{10}}}$	${\style d'affichage {\frac {17561}{1170}}}$
56	${\style d'affichage {\frac {16}{3}}}$	21	${\style d'affichage {\frac {65}{3}}}$
60	8	15	17
61	${\style d'affichage {\frac {6428003}{1423110}}}$	${\style d'affichage {\frac {173619420}{6428003}}}$	${\style d'affichage {\frac {250510625883241}{9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	${\style d'affichage {\frac {267980280100}{44538033219}}}$	${\style d'affichage {\frac {44538033219}{1326635050}}}$	${\style d'affichage {\frac {2015242462949760001961}{59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${\style d'affichage {\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}}$	${\style d'affichage {\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}}$	${\style d'affichage {\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$

Progrès en cours

Beaucoup de travail a été fait pour classer les nombres congruents.

Par exemple, on sait que pour un nombre premier p , ce qui suit est vrai :

• si p 3 ( mod 8) , alors p n'est pas un nombre congru, mais 2 p est un nombre congru.
• si p 5 (mod 8) , alors p est un nombre congruent.
• si p 7 (mod 8) , alors p et 2 p sont des nombres congrus.

Il est également connu que dans chacune des classes de congruence 5, 6, 7 (mod 8) , pour tout k donné, il existe une infinité de nombres congrus sans carré avec k facteurs premiers.

Remarques

Les références

• Alter, Ronald (1980), "The Congruent Number Problem", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 87 (1) : 43–45, doi : 10.2307/2320381 , JSTOR  2320381
• Chandrasekar, V. (1998), "Le problème du nombre congruent" (PDF) , Résonance , 3 (8) : 33-45, doi : 10.1007/BF02837344
• Dickson, Leonard Eugene (2005), "Chapitre XVI", Histoire de la théorie des nombres , Dover Books on Mathematics, Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 |volume=a du texte supplémentaire ( aide ) - voir, pour un historique du problème.
• Guy, Richard (2004), Problèmes non résolus en théorie des nombres , Livres de problèmes en mathématiques (Livre 1) (3e éd.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001 - De nombreuses références y sont données.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), "A classic Diophantine problem and modular forms of weight 3/2" , Inventiones Mathematicae , 72 (2) : 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T , doi : 10.1007/ BF01389327 , hdl : 10338.dmlcz/137483

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Nombre congruent" . MathWorld .
• Une brève discussion de l'état actuel du problème avec de nombreuses références peut être trouvée dans les questions ouvertes d' Alice Silverberg en géométrie algébrique arithmétique (Postscript).
• Un trillion de triangles - les mathématiciens ont résolu le premier trillion de cas (conditionnel à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer ).