Point rationnel - Rational point

En théorie des nombres et en géométrie algébrique , un point rationnel de variété algébrique est un point dont les coordonnées appartiennent à un domaine donné . Si le champ n'est pas mentionné, le champ des nombres rationnels est généralement compris. Si le champ est le champ des nombres réels , un point rationnel est plus communément appelé un point réel .

Comprendre les points rationnels est un objectif central de la théorie des nombres et de la géométrie diophantienne . Par exemple, le dernier théorème de Fermat peut être reformulé comme suit : pour n > 2 , la courbe de Fermat de l'équation n'a pas d'autre point rationnel que (1, 0) , (0, 1) , et, si n est pair, (–1, 0) et (0, –1) . ${\style d'affichage x^{n}+y^{n}=1}$

Définition

Étant donné un corps k , et une extension algébriquement fermée K de k , une variété affine X sur k est l'ensemble des zéros communs dans une collection de polynômes à coefficients dans k : ${\displaystyle K^{n}}$

${\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\ldots ,f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.}$

Ces zéros communs sont appelés les points de X .

Un point k - rationnel (ou k - point ) de X est un point de X appartenant à k ⁿ , c'est-à-dire une suite ( a ₁ ,..., a _n ) de n éléments de k telle que f _j  ( a ₁ ,..., a _n ) = 0 pour tout j . L'ensemble des points k -rationnels de X est souvent noté X ( k ).

Parfois, lorsque le corps k est compris, ou lorsque k est le corps Q des nombres rationnels , on dit "point rationnel" au lieu de " k -point rationnel".

Par exemple, les points rationnels du cercle unité de l'équation

${\style d'affichage x^{2}+y^{2}=1}$

sont les paires de nombres rationnels

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}$

où est un triplet de Pythagore . ${\style d'affichage (a,b,c)}$

Le concept a également un sens dans des contextes plus généraux. Une variété projective X dans l'espace projectif P ⁿ sur un corps k peut être définie par un ensemble d' équations polynomiales homogènes en variables x ₀ ,..., x _n . Un k -point de P ⁿ , noté [ a ₀ ,..., a _n ], est donné par une suite de n +1 éléments de k , pas tous nuls, étant entendu que multiplier tous les a ₀ ,.. . a _n par le même élément non nul de k donne le même point dans l' espace projectif. Alors un k -point de X signifie un k -point de P ⁿ auquel les polynômes donnés s'annulent.

Plus généralement, soit X un schéma sur un corps k . Cela signifie qu'un morphisme de schémas f : X → Spec ( k ) est donné. Alors un k -point de X signifie une section de ce morphisme, c'est-à-dire un morphisme a : Spec( k ) → X tel que la composition fa est l'identité sur Spec( k ). Ceci est en accord avec les définitions précédentes lorsque X est une variété affine ou projective (considérée comme un schéma sur k ).

Lorsque X est une variété sur un corps algébriquement clos k , une grande partie de la structure de X est déterminée par son ensemble X ( k ) de points k -rationnels. Pour un champ général k , cependant, X ( k ) ne donne qu'une information partielle sur X . En particulier, pour une variété X sur un corps k et toute extension de champ E de k , X détermine également l'ensemble X ( E ) des E - points rationnels de X , c'est-à-dire l'ensemble des solutions des équations définissant X à valeurs dans E .

Exemple : Soit X la courbe conique x ² + y ² = −1 dans le plan affine A ² sur les nombres réels R . Alors l'ensemble des points réels X ( R ) est vide, car le carré de tout nombre réel est non négatif. Par contre, dans la terminologie de la géométrie algébrique, la variété algébrique X sur R n'est pas vide, car l'ensemble des points complexes X ( C ) n'est pas vide.

Plus généralement, pour un système X sur un anneau commutatif R et tout commutatif R - algèbre S , l'ensemble X ( S ) de S -Points de X désigne l'ensemble de morphisme Spec ( S ) → X sur Spec ( R ). Le schéma X est déterminée à isomorphisme par le foncteur S ↦ X ( S ); c'est la philosophie d'identifier un schéma avec son foncteur de points . Une autre formulation est que le schéma X sur R détermine un schéma X _S sur S par changement de base , et les S -points de X (sur R ) peuvent être identifiés avec les S -points de X _S (sur S ).

La théorie des Diophantine équations de signifiait traditionnellement l'étude des points entiers , ce qui signifie des solutions d'équations polynomiales dans les entiers Z plutôt que le rationals Q . Pour les équations polynomiales homogènes telles que x ³ + y ³ = z ³ , les deux problèmes sont essentiellement équivalents, puisque chaque point rationnel peut être mis à l'échelle pour devenir un point intégral.

Points rationnels sur les courbes

Une grande partie de la théorie des nombres peut être considérée comme l'étude des points rationnels des variétés algébriques, un cadre pratique étant les variétés projectives lisses . Pour les courbes projectives lisses , le comportement des points rationnels dépend fortement du genre de la courbe.

Genre 0

Toute courbe projective lisse X de genre zéro sur un corps k est isomorphe à une courbe conique (degré 2) dans P ² . Si X a un point k -rationnel, alors il est isomorphe à P ¹ sur k , et donc ses points k -rationnels sont complètement compris. Si k est le corps Q des nombres rationnels (ou plus généralement un corps de nombres ), il existe un algorithme pour déterminer si une conique donnée a un point rationnel, basé sur le principe de Hasse : une conique sur Q a un point rationnel si et seulement s'il a un point sur toutes les complétions de Q , c'est-à-dire sur R et tous les corps p- adiques Q _p .

Genre 1

Il est plus difficile de déterminer si une courbe de genre 1 a un point rationnel. Le principe de Hasse échoue dans ce cas : par exemple, par Ernst Selmer , la courbe cubique 3 x ³ + 4 y ³ + 5 z ³ = 0 dans P ² a un point sur toutes les complétions de Q , mais aucun point rationnel. L'échec du principe de Hasse pour les courbes de genre 1 est mesuré par le groupe Tate-Shafarevich .

Si X est une courbe de genre 1 avec un point k -rationnel p ₀ , alors X est appelé une courbe elliptique sur k . Dans ce cas, X a la structure d'un groupe algébrique commutatif (avec p ₀ comme élément zéro), et donc l'ensemble X ( k ) de k -points rationnels est un groupe abélien . Le théorème de Mordell-Weil dit que pour une courbe elliptique (ou, plus généralement, une variété abélienne ) X sur un corps de nombres k , le groupe abélien X ( k ) est de type fini . Les programmes de calcul formel peuvent déterminer le groupe de Mordell-Weil X ( k ) dans de nombreux exemples, mais on ne sait pas s'il existe un algorithme qui réussit toujours à calculer ce groupe. Cela découlerait de la conjecture selon laquelle le groupe de Tate-Shafarevich est fini, ou de la conjecture connexe de Birch-Swinnerton-Dyer .

Genre au moins 2

Le théorème de Faltings (anciennement la conjecture de Mordell) dit que pour toute courbe X de genre au moins 2 sur un corps de nombres k , l'ensemble X ( k ) est fini.

Certaines des grandes réalisations de la théorie des nombres se résument à déterminer les points rationnels sur des courbes particulières. Par exemple, le dernier théorème de Fermat (prouvé par Richard Taylor et Andrew Wiles ) est équivalent à l'énoncé que pour un entier n au moins 3, les seuls points rationnels de la courbe x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ dans P ² sur Q sont les plus évidentes : [0,1,1] et [1,0,1] ; [0,1,−1] et [1,0,−1] pour n pair ; et [1,−1,0] pour n impair. La courbe X (comme toute courbe lisse de degré n dans P ² ) est de genre ( n − 1)( n − 2)/2.

On ne sait pas s'il existe un algorithme pour trouver tous les points rationnels sur une courbe arbitraire de genre au moins 2 sur un corps de nombres. Il existe un algorithme qui fonctionne dans certains cas. Sa terminaison en général découlerait des conjectures que le groupe de Tate-Shafarevich d'une variété abélienne sur un corps de nombres est fini et que l' obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe de Hasse, dans le cas des courbes.

Dimensions supérieures

Variétés avec peu de points rationnels

Dans les dimensions supérieures, un objectif unificateur est la conjecture de Bombieri – Lang selon laquelle, pour toute variété X de type général sur un corps de nombres k , l'ensemble des points k -rationnels de X n'est pas dense de Zariski dans X . (C'est-à-dire que les points k -rationnels sont contenus dans une union finie de sous-variétés de dimension inférieure de X .) En dimension 1, c'est exactement le théorème de Faltings, puisqu'une courbe est de type général si et seulement si elle a au moins le genre 2. Lang a également fait des conjectures plus fines reliant la finitude des points rationnels à l' hyperbolicité de Kobayashi .

Par exemple, la conjecture Bombieri-Lang prédit qu'un bon hypersurface de degré d dans l' espace projectif P ⁿ sur un champ de nombre ne pas Zariski dense points rationnels si d ≥ n + 2. On ne connaît de ce cas. Le résultat le plus fort connu sur la conjecture de Bombieri-Lang est le théorème de Faltings sur les sous-variétés de variétés abéliennes (généralisation du cas des courbes). A savoir, si X est une sous-variété d'une variété abélienne A sur un corps de nombres k , alors tous les points k -rationnels de X sont contenus dans une union finie de translats de sous-variétés abéliennes contenues dans X . (Donc, si X ne contient pas de sous-variétés abéliennes traduites de dimension positive, alors X ( k ) est fini.)

Variétés avec de nombreux points rationnels

En sens inverse, une variété X sur un corps de nombres k est dite à points rationnels potentiellement denses s'il existe un corps d'extension fini E de k tel que les points E -rationnels de X soient denses de Zariski dans X . Frédéric Campana a conjecturé qu'une variété est potentiellement dense si et seulement si elle n'a pas de fibration rationnelle sur un orbifold de dimension positive de type général. Un cas connu est que chaque surface cubique de P ³ sur un corps de nombres k a des points rationnels potentiellement denses, car (plus fortement) elle devient rationnelle sur une extension finie de k (à moins que ce ne soit le cône sur une courbe cubique plane). La conjecture de Campana impliquerait également qu'une surface K3 X (comme une surface quartique lisse dans P ³ ) sur un corps de nombres a des points rationnels potentiellement denses. Cela n'est connu que dans des cas particuliers, par exemple si X a une fibration elliptique .

On peut se demander quand une variété a un point rationnel sans étendre le champ de base. Dans le cas d'une hypersurface X de degré d dans P ⁿ sur un corps de nombres, il y a de bons résultats lorsque d est beaucoup plus petit que n , souvent basé sur la méthode du cercle de Hardy-Littlewood . Par exemple, le théorème de Hasse-Minkowski dit que le principe de Hasse est valable pour les hypersurfaces quadriques sur un corps de nombres (le cas d = 2). Christopher Hooley a prouvé le principe de Hasse pour les hypersurfaces cubiques lisses dans P ⁿ sur Q quand n 8. Dans les dimensions supérieures, c'est encore plus vrai : chaque cubique lisse dans P ⁿ sur Q a un point rationnel quand n 9, par Roger Heath- Marron . Plus généralement, le théorème de Birch dit que , pour tout entier positif impair d , il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N , chaque hypersurface de degré d dans P ⁿ sur Q a un point rationnel.

Pour les hypersurfaces de plus petite dimension (en termes de degré), les choses peuvent être plus compliquées. Par exemple, le principe de Hasse échoue pour la surface cubique lisse 5 x ³ + 9 y ³ + 10 z ³ + 12 w ³ = 0 dans P ³ sur Q , par Ian Cassels et Richard Guy. Jean-Louis Colliot-Thélène a conjecturé que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe de Hasse pour les surfaces cubiques. Plus généralement, cela devrait s'appliquer à toute variété rationnellement connectée sur un corps de nombres.

Dans certains cas, on sait que X a "beaucoup" de points rationnels chaque fois qu'il en a un. Par exemple, en prolongeant les travaux de Beniamino Segre et Yuri Manin , János Kollár a montré : pour une hypersurface cubique X de dimension au moins 2 sur un corps parfait k avec X pas un cône, X est unirationnel sur k s'il a un point k -rationnel . (En particulier, pour k infini, l'unirationalité implique que l'ensemble des k -points rationnels est Zariski dense dans X .) La conjecture de Manin est un énoncé plus précis qui décrirait l'asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur un Fano variété .

Compter des points sur des corps finis

Une variété X sur un corps fini k n'a qu'un nombre fini de points k -rationnels. Les conjectures de Weil , prouvées par André Weil en dimension 1 et par Pierre Deligne en toute dimension, donnent des estimations fortes du nombre de k -points en fonction des nombres de Betti de X . Par exemple, si X est une courbe projective lisse de genre g sur un corps k d'ordre q (une puissance première), alors

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Pour une hypersurface lisse X de degré d dans P ⁿ sur un corps k d'ordre q , le théorème de Deligne donne la borne :

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d- 1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.}$

Il existe également des résultats significatifs sur le moment où une variété projective sur un corps fini k a au moins un point k -rationnel. Par exemple, le théorème de Chevalley-Warning implique que toute hypersurface X de degré d dans P ⁿ sur un corps fini k a un point k -rationnel si d ≤ n . Pour X lisse , cela découle également du théorème d' Hélène Esnault selon lequel toute variété projective lisse rationnellement reliée à une chaîne , par exemple toute variété de Fano, sur un corps fini k a un point k -rationnel.

Voir également

• Dynamique arithmétique
• Géométrie birationnelle
• Functor représenté par un schéma

Remarques

Les références

• Campana, Frédéric (2004), « Orbifolds, variétés spéciales et théorie de la classification » (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3) : 499–630, doi : 10.5802/aif.2027 , MR  2097416
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Liens externes

• Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), Principes locaux-globaux pour les points rationnels et les cycles zéro (PDF)