Congruum - Congruum

Les deux triangles rectangles avec jambe et hypoténuse (7,13) et (13,17) ont des troisièmes côtés égaux de longueur √ 120 . Le carré de ce côté, 120, est un congruum: c'est la différence entre des valeurs consécutives dans la progression arithmétique des carrés 7 2 , 13 2 , 17 2 . De manière équivalente, les deux anneaux entre les trois cercles jaunes ont des aires égales, π fois le congruum.

En théorie des nombres , un congruum ( congru pluriel ) est la différence entre des nombres carrés successifs dans une progression arithmétique de trois carrés. Autrement dit, si x 2 , y 2 et z 2 (pour les entiers x , y et z ) sont trois nombres carrés également espacés l'un de l'autre, alors l'espacement entre eux, z 2 - y 2 = y 2 - x 2 , s'appelle un congruum.

Le problème du congruum est le problème de la recherche de carrés dans la progression arithmétique et de leur congruosité associée. Elle peut être formalisée comme une équation diophantienne : trouvez les entiers x , y et z tels que

Lorsque cette équation est satisfaite, les deux côtés de l'équation égalent le congruum.

Fibonacci a résolu le problème du congruum en trouvant une formule paramétrée pour générer toutes les congruas, ainsi que leurs progressions arithmétiques associées. Selon cette formule, chaque congruum est quatre fois l'aire d'un triangle de Pythagore . Les congruas sont également étroitement liés aux nombres congruents : chaque congruum est un nombre congruent, et chaque nombre congruent est un congruum multiplié par le carré d'un nombre rationnel.

Exemples

Par exemple, le nombre 96 est un congruum car c'est la différence entre les carrés adjacents dans la séquence 4, 100 et 196 (les carrés de 2, 10 et 14 respectivement).

Les premiers congruas sont:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (séquence A256418 dans l' OEIS ).

Histoire

Le problème du congruum a été initialement posé en 1225, dans le cadre d'un tournoi mathématique organisé par Frédéric II, empereur romain germanique , et a répondu correctement à cette époque par Fibonacci , qui a enregistré son travail sur ce problème dans son Livre des carrés .

Fibonacci savait déjà qu'il est impossible qu'un congruum soit lui-même un carré, mais n'a pas donné une preuve satisfaisante de ce fait. Géométriquement, cela signifie qu'il n'est pas possible que la paire de jambes d'un triangle de Pythagore soit la jambe et l'hypoténuse d'un autre triangle de Pythagore. Une preuve a finalement été donnée par Pierre de Fermat , et le résultat est maintenant connu sous le nom de théorème du triangle rectangle de Fermat . Fermat a également conjecturé, et Leonhard Euler a prouvé, qu'il n'y a pas de séquence de quatre carrés dans la progression arithmétique.

Solution paramétrée

Le problème du congruum peut être résolu en choisissant deux entiers positifs distincts m et n (avec m  >  n ); alors le nombre 4 mn ( m 2  - n 2 ) est un congruum. Le carré du milieu de la progression arithmétique associée des carrés est ( m 2  +  n 2 ) 2 , et les deux autres carrés peuvent être trouvés en ajoutant ou en soustrayant le congruum. De plus, multiplier un congruum par un nombre carré produit un autre congruum, dont la progression des carrés est multipliée par le même facteur. Toutes les solutions se présentent de l'une de ces deux manières. Par exemple, le congruum 96 peut être construit par ces formules avec m  = 3 et n  = 1, tandis que le congruum 216 est obtenu en multipliant le plus petit congruum 24 par le nombre carré 9.

Une formulation équivalente de cette solution, donnée par Bernard Frénicle de Bessy , est que pour les trois carrés en progression arithmétique x 2 , y 2 et z 2 , le nombre du milieu y est l' hypoténuse d'un triangle de Pythagore et les deux autres nombres x et z sont respectivement la différence et la somme des deux branches du triangle. Le congruum lui-même est quatre fois l'aire du même triangle de Pythagore. L'exemple d'une progression arithmétique avec le congruum 96 peut être obtenu de cette manière à partir d'un triangle rectangle de longueurs de côté et d'hypoténuse 6, 8 et 10.

Relation aux nombres congruents

Un nombre congruent est défini comme l'aire d'un triangle rectangle avec des côtés rationnels. Parce que chaque congruum peut être obtenu (en utilisant la solution paramétrée) comme l'aire d'un triangle de Pythagore, il s'ensuit que chaque congruum est congruent. Inversement, tout nombre congruent est un congruum multiplié par le carré d'un nombre rationnel. Cependant, tester si un nombre est un congruum est beaucoup plus facile que de tester si un nombre est congruent. Pour le problème de congruum, la solution paramétrée réduit ce problème de test à la vérification d'un ensemble fini de valeurs de paramètres. En revanche, pour le problème des nombres congruents, une procédure de test finie n'est connue que de manière conjecturale, via le théorème de Tunnell , sous l'hypothèse que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vraie.

Voir également

  • Triangle automatisé , un triangle pour lequel les carrés des trois côtés forment une progression arithmétique
  • Spirale de Théodore , formée de triangles rectangles dont les côtés (non entiers), lorsqu'ils sont au carré, forment une progression arithmétique infinie

Les références

Liens externes