Surface à courbure moyenne constante - Constant-mean-curvature surface

Nodoïde, une surface à courbure moyenne constante

Onduloïde, une surface à courbure moyenne constante

En géométrie différentielle , les surfaces à courbure moyenne constante (CMC) sont des surfaces à courbure moyenne constante . Cela inclut les surfaces minimales en tant que sous-ensemble, mais elles sont généralement traitées comme des cas particuliers.

Notez que ces surfaces sont généralement différentes des surfaces à courbure gaussienne constante , à l'exception importante de la sphère .

Histoire

En 1841, Delaunay a prouvé que les seules surfaces de révolution à courbure moyenne constante étaient les surfaces obtenues en faisant tourner les roulettes des coniques. Ce sont le plan, le cylindre, la sphère, le caténoïde , l' onduloïde et le nodoïde .

En 1853, JH Jellet montra que si est une surface compacte en forme d'étoile avec une courbure moyenne constante, alors c'est la sphère standard. Par la suite, AD Alexandrov a prouvé qu'une surface compacte encastrée avec une courbure moyenne constante doit être une sphère. Sur la base de cela, H. Hopf a conjecturé en 1956 que toute hypersurface à courbure moyenne constante orientable compacte immergée dans doit être une sphère encastrée standard . Cette conjecture a été réfutée en 1982 par Wu-Yi Hsiang en utilisant un contre-exemple dans . En 1984, Henry C. Wente a construit le tore de Wente , une immersion dans un tore à courbure moyenne constante. ${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle H\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage n-1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Jusqu'à présent, il semblait que les surfaces CMC étaient rares ; les nouvelles techniques ont produit une pléthore d'exemples. En particulier, les méthodes de collage semblent permettre de combiner les surfaces CMC de manière assez arbitraire. Les surfaces Delaunay peuvent également être associées à des "bulles" immergées, conservant leurs propriétés CMC.

Tailles de cou égales

Tailles de cou inégales

Avec extrémité nodoïde

Triunduloïdes avec différentes tailles de cou. Au fur et à mesure que la taille du cou varie, les directions asymptotiques changent.

Meeks a montré qu'il n'y a pas de surfaces CMC intégrées avec une seule extrémité en . Korevaar, Kusner et Solomon ont prouvé qu'une surface CMC complète enfouie aura des extrémités asymptotiques aux onduloïdes. Chaque extrémité porte une "force" le long de l'axe asymptotique de l'onduloïde (où n est la circonférence des cols), dont la somme doit être équilibrée pour que la surface existe. Les travaux actuels portent sur la classification des familles de surfaces CMC encastrées en fonction de leurs espaces de modules . En particulier, pour les k -onduloïdes coplanaires de genre 0 satisfont pour k impair , et pour k pair  . Au plus k  − 2 extrémités peuvent être cylindriques. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\style d'affichage n(2\pi -n)}$${\displaystyle k\geq 3}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq (k-1)\pi }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq k\pi }$

Méthodes de génération

Formule de représentation

Comme pour les surfaces minimales, il existe un lien étroit avec les fonctions harmoniques. Une surface orientée dans a une courbure moyenne constante si et seulement si son application de Gauss est une application harmonique . La formule de représentation de Kenmotsu est le pendant de la paramétrisation de Weierstrass-Enneper des surfaces minimales : ${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Soit un sous-ensemble ouvert simplement connexe de et une constante réelle non nulle arbitraire. Supposons une fonction harmonique dans la sphère de Riemann. Si alors défini par ${\style d'affichage V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\style d'affichage H}$${\displaystyle \phi :V\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle \phi _{\bar {z}}\neq 0}$${\displaystyle X:V\rightarrow R}$

${\displaystyle X(z)=\Re \int _{z_{0}}^{z}X_{z}(z')\,dz'}$

avec

${\displaystyle X_{z}(z)={\frac {-1}{H(1+\phi (z){\bar {\phi }}(z))^{2}}}\left\{ (1-\phi (z)^{2},i(1+\phi (z)^{2}),2\phi (z)){\frac {\bar {\partial \phi }}{\ partiel {\bar {z}}}}(z)\right\}}$

car est une surface régulière ayant pour application de Gauss et une courbure moyenne . ${\displaystyle z\in V}$${\style d'affichage \phi }$${\style d'affichage H}$

Car et cela produit la sphère. et donne un cylindre où . ${\displaystyle \phi (z)=-1/{\bar {z}}}$${\style d'affichage H=1}$${\displaystyle \phi (z)=-e^{ix}}$${\style d'affichage H=1/2}$${\style d'affichage z=x+iv}$

Méthode du cousin conjugué

Lawson a montré en 1970 que chaque surface CMC en a une surface minimale « cousine » isométrique en . Cela permet des constructions à partir de polygones géodésiques dans , qui sont recouverts par un patch minimal qui peut être étendu en une surface complète par réflexion, puis transformé en une surface CMC. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

CMC Tori

Hitchin, Pinkall, Sterling et Bobenko ont montré que toutes les immersions à courbure moyenne constante d'un 2-tore dans l'espace se forment et peuvent être décrites dans des données purement algébro-géométriques. Ceci peut être étendu à un sous-ensemble d'immersions CMC du plan qui sont de type fini. Plus précisément, il existe une bijection explicite entre les immersions CMC de dans et , et des données spectrales de la forme où est une courbe hyperelliptique appelée courbe spectrale, est une fonction méromorphe sur , et sont des points sur , est une involution antiholomorphe et est un fibré linéaire en respectant certaines conditions. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$${\displaystyle (\Sigma ,\lambda ,\rho ,\lambda _{1},\lambda _{2},L)}$${\style d'affichage \Sigma }$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \Sigma }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\style d'affichage \rho }$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage \Sigma }$

Méthodes numériques discrètes

La géométrie différentielle discrète peut être utilisée pour produire des approximations des surfaces CMC (ou des contreparties discrètes), généralement en minimisant une fonction énergétique appropriée.

Applications

Les surfaces CMC sont naturelles pour les représentations de bulles de savon , puisqu'elles ont la courbure correspondant à une différence de pression non nulle .

Outre les surfaces de bulles macroscopiques, les surfaces CMC sont pertinentes pour la forme de l'interface gaz-liquide sur une surface superhydrophobe .

Comme les surfaces minimales triplement périodiques, il y a eu un intérêt pour les surfaces CMC périodiques en tant que modèles pour les copolymères séquencés où les différents composants ont une énergie ou une tension interfaciale non nulle. Des analogues de CMC aux surfaces minimales périodiques ont été construits, produisant des partitions inégales de l'espace. Des structures CMC ont été observées dans des copolymères triblocs ABC.

En architecture, les surfaces CMC sont pertinentes pour les structures à support pneumatique telles que les dômes et les enceintes gonflables, ainsi qu'une source de formes organiques fluides.

Voir également

• Conjecture à double bulle
• Surface libre
• Surface minimale

Les références

Liens externes

• Surfaces CMC au Scientific Graphics Project [9]
• Galerie de surface GeometrieWerkstatt [10]
• Galerie GANG de surfaces CMC [11]
• Noid, logiciel de calcul de surfaces CMC n- noïdes [12]