Quaternion double - Dual quaternion

En mathématiques , les quaternions duaux sont une algèbre réelle à 8 dimensions isomorphe au produit tensoriel des quaternions et des nombres duaux . Ainsi, ils peuvent être construits de la même manière que les quaternions, sauf en utilisant des nombres doubles au lieu de nombres réels comme coefficients. Un quaternion dual peut être représenté sous la forme A + ε B , où A et B sont des quaternions ordinaires et ε est l'unité duale, qui satisfait ε ² = 0 et commute avec chaque élément de l'algèbre. Contrairement aux quaternions, les quaternions duaux ne forment pas une algèbre de division .

En mécanique , les quaternions doubles sont appliqués comme un système de nombres pour représenter des transformations rigides en trois dimensions. Puisque l'espace des quaternions doubles est de 8 dimensions et qu'une transformation rigide a six degrés de liberté réels, trois pour les translations et trois pour les rotations, des quaternions doubles obéissant à deux contraintes algébriques sont utilisés dans cette application.

De la même manière que les rotations dans l'espace 3D peuvent être représentées par des quaternions de longueur unitaire, les mouvements rigides dans l'espace 3D peuvent être représentés par des quaternions doubles de longueur unitaire. Ce fait est utilisé en cinématique théorique (voir McCarthy), et dans des applications à l' infographie 3D , à la robotique et à la vision par ordinateur .

Histoire

WR Hamilton introduisit les quaternions en 1843 et, en 1873, WK Clifford obtint une large généralisation de ces nombres qu'il appela biquaternions , qui est un exemple de ce qu'on appelle maintenant une algèbre de Clifford .

En 1898, Alexander McAulay a utilisé Ω avec Ω ² = 0 pour générer l'algèbre du double quaternion. Cependant, sa terminologie d'"octonions" ne colle pas car les octonions d'aujourd'hui sont une autre algèbre.

En Russie, Aleksandr Kotelnikov a développé des vecteurs doubles et des quaternions doubles à utiliser dans l'étude de la mécanique.

En 1891, Eduard Study réalisa que cette algèbre associative était idéale pour décrire le groupe de mouvements de l' espace tridimensionnel . Il a ensuite développé l'idée dans Geometrie der Dynamen en 1901. BL van der Waerden a appelé la structure "Study biquaternions", l'une des trois algèbres à huit dimensions appelées biquaternions .

Formules

Afin de décrire les opérations avec des quaternions doubles, il est utile de considérer d'abord les quaternions .

Un quaternion est une combinaison linéaire des éléments de base 1, i , j et k . La règle du produit de Hamilton pour i , j , et k est souvent écrite sous la forme

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$

Calculez i ( ijk ) = − jk = − i , pour obtenir jk = i , et ( ijk ) k = − ij = − k ou ij = k . Maintenant parce que j ( jk ) = ji = − k , nous voyons que ce produit donne ij = − ji , qui relie les quaternions aux propriétés des déterminants.

Une façon pratique de travailler avec le produit de quaternions est d'écrire un quaternion comme la somme d'un scalaire et d'un vecteur, c'est-à-dire A = a ₀ + A , où a ₀ est un nombre réel et A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k est un vecteur à trois dimensions. Les opérations vectorielles point et croix peuvent maintenant être utilisées pour définir le produit de quaternions de A = a ₀ + A et C = c ₀ + C comme

${\displaystyle G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \ mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).}$

Un quaternion double est généralement décrit comme un quaternion avec des nombres doubles comme coefficients. Un nombre double est une paire ordonnée â = ( a , b ) . Deux nombres doubles s'additionnent par composants et se multiplient par la règle â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Les nombres duaux sont souvent écrits sous la forme â = a + ε b , où est l' unité duale qui commute avec i , j , k et a la propriété ε ² = 0 .

Le résultat est qu'un quaternion dual peut être écrit comme une paire ordonnée de quaternions ( A , B ) . Deux quaternions doubles s'ajoutent par composants et se multiplient par la règle,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).}$

Il est pratique d'écrire un quaternion dual comme la somme d'un scalaire dual et d'un vecteur dual, Â = â ₀ + A , où â ₀ = ( a , b ) et A = ( A , B ) est le vecteur dual qui définit une vis . Cette notation permet d'écrire le produit de deux quaternions duaux sous la forme

${\displaystyle {\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\ chapeau {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}} \cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+ {\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).}$

Une addition

L'addition de quaternions doubles est définie par composants de telle sorte que, étant donné,

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1 }\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,}$

et

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1 }\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,}$

ensuite

${\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {C}}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+(a_{1}+c_{1 })i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1 })\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,}$

Multiplication

La multiplication de deux quaternions doubles découle des règles de multiplication des unités de quaternions i, j, k et de la multiplication commutative par l'unité duale ε. En particulier, étant donné

${\displaystyle {\hat {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,}$

et

${\displaystyle {\hat {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,}$

ensuite

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon (AD+BC).}$

Notez qu'il n'y a pas de terme BD , car la définition des nombres duaux nécessite que ε ² = 0 .

Cela nous donne la table de multiplication (notez que l'ordre de multiplication est la colonne fois la ligne):

Table de multiplication pour les unités à double quaternion

(Ligne x Colonne)	1	je	j	k	ε	ε i	ε j	ε k
1	1	je	j	k	ε	ε i	ε j	ε k
je	je	-1	k	− j	ε i	−ε	ε k	−ε j
j	j	− k	-1	je	ε j	-ε k	−ε	ε i
k	k	j	− je	-1	ε k	ε j	−ε je	−ε
ε	ε	ε i	ε j	ε k	0	0	0	0
ε i	ε i	−ε	ε k	−ε j	0	0	0	0
ε j	ε j	-ε k	−ε	ε i	0	0	0	0
ε k	ε k	ε j	−ε je	−ε	0	0	0	0

Conjuguer

Le conjugué d'un quaternion dual est le prolongement du conjugué d'un quaternion, c'est-à-dire

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!}$

Comme pour les quaternions, le conjugué du produit de quaternions doubles, Ĝ = ÂĈ , est le produit de leurs conjugués dans l'ordre inverse,

${\displaystyle {\hat {G}}^{*}=({\hat {A}}{\hat {C}})^{*}={\hat {C}}^{*}{\hat {A}}^{*}.}$

Il est utile d'introduire les fonctions Sc(∗) et Vec(∗) qui sélectionnent les parties scalaire et vectorielle d'un quaternion, ou les parties double scalaire et double vecteur d'un quaternion double. En particulier, si  = â ₀ + A , alors

${\displaystyle {\mbox{Sc}}({\hat {A}})={\hat {a}}_{0},{\mbox{Vec}}({\hat {A}})={ \mathsf {A}}.}$

Cela permet de définir le conjugué de  comme

${\displaystyle {\hat {A}}^{*}={\mbox{Sc}}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}}({\hat {A}}).}$

ou alors,

${\displaystyle ({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})^{*}={\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}}.}$

Le produit d'un quaternion double avec son conjugué donne

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {a} }_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.}$

Il s'agit d'un double scalaire qui est la grandeur au carré du double quaternion.

Conjugué à deux nombres

Un deuxième type de conjugué d'un quaternion dual est donné en prenant le conjugué de nombre double, donné par

${\displaystyle {\overline {\hat {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!}$

Les conjugués quaternion et nombre double peuvent être combinés en une troisième forme de conjugué donnée par

${\displaystyle {\overline {{\hat {A}}^{*}}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}. \!}$

Dans le contexte des quaternions doubles, le terme "conjugué" peut être utilisé pour désigner le conjugué de quaternions, le conjugué à double nombre ou les deux.

Norme

La norme d'un double quaternion | Â | est calculé en utilisant le conjugué pour calculer | Â | = √ Â Â ^* . C'est un nombre double appelé la magnitude du quaternion double. Quaternions doubles avec | Â | = 1 sont des quaternions doubles unitaires .

Des quaternions doubles de magnitude 1 sont utilisés pour représenter les déplacements euclidiens spatiaux. Notez que l'exigence que   ^* = 1 , introduit deux contraintes algébriques sur les composants de  , c'est

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*},AB^ {*}+BA^{*})=(1,0).}$

Inverse

Si p + q est un quaternion dual et que p n'est pas nul, alors le quaternion dual inverse est donné par

p ⁻¹ (1 − ε q p ⁻¹ ).

Ainsi les éléments du sous-espace { ε q : q ∈ H } n'ont pas d'inverses. Ce sous-espace est appelé un idéal en théorie des anneaux. Il se trouve que c'est l'unique idéal maximal de l'anneau des nombres duels.

Le groupe d'unités de l'anneau à double nombre se compose alors de nombres qui ne sont pas dans l'idéal. Les nombres duaux forment un anneau local puisqu'il existe un unique idéal maximal. Le groupe d'unités est un groupe de Lie et peut être étudié en utilisant l' application exponentielle . Des quaternions doubles ont été utilisés pour montrer des transformations dans le groupe euclidien . Un élément typique peut être écrit comme une transformation de vis .

Quaternions doubles et déplacements spatiaux

Un avantage de la formulation du double quaternion de la composition de deux déplacements spatiaux D _B  = ([ R _B ], b ) et D _A  = ([ R _A ], a ) est que le double quaternion résultant donne directement l' axe de la vis et le double angle du déplacement composite D _C  =  D _B D _A .

En général, le double quaternion associé à un déplacement spatial D  = ([ A ],  d ) est réalisé à partir de son axe vis S  = ( S ,  V ) et l'angle double ( φ ,  d ) où φ est la rotation autour de et d le coulisseau selon cet axe, qui définit le déplacement  D . Le quaternion dual associé est donné par,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf { S}}.}$

Soit la composition du déplacement D _B avec D _A le déplacement D _C  =  D _B D _A . L'axe de la vis et l'angle double de D _C sont obtenus à partir du produit des quaternions doubles de D _A et D _B , donnés par

${\displaystyle {\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad { \text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B }}.}$

C'est-à-dire que le déplacement composite D _C =D _B D _A a le double quaternion associé donné par

${\displaystyle {\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf { C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\ right)\left(\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}\right) .}$

Développez ce produit afin d'obtenir

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\ cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2} }\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat { \beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}} \cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\right).}$

Divisez les deux côtés de cette équation par l'identité

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha } }{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot { \mathsf {A}}}$

obtenir

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{ \mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\ tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{ 2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.}$

C'est la formule de Rodrigues pour l'axe de vis d'un déplacement composite défini en fonction des axes de vis des deux déplacements. Il a dérivé cette formule en 1840.

Les trois axes de vis A, B et C forment un triangle spatial et les angles doubles à ces sommets entre les normales communes qui forment les côtés de ce triangle sont directement liés aux angles doubles des trois déplacements spatiaux.

Forme matricielle de la multiplication du double quaternion

La représentation matricielle du produit de quaternions est pratique pour programmer des calculs de quaternions en utilisant l'algèbre matricielle, ce qui est également vrai pour les opérations de quaternions doubles.

Le produit de quaternion AC est une transformation linéaire par l'opérateur A des composantes du quaternion C, il existe donc une représentation matricielle de A opérant sur le vecteur formé à partir des composantes de C.

Assemblez les composantes du quaternion C = c ₀ + C dans le tableau C = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Notez que les composants de la partie vectorielle du quaternion sont répertoriés en premier et le scalaire est répertorié en dernier. C'est un choix arbitraire, mais une fois cette convention choisie, nous devons la respecter.

Le produit de quaternion AC peut maintenant être représenté comme le produit matriciel

${\displaystyle AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_ {1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Le produit AC peut aussi être vu comme une opération de C sur les composantes de A, auquel cas on a

${\displaystyle AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&C_{3}&-C_{2}&C_{1}\\-C_{3}&c_{0}&C_ {1}&C_{2}\\C_{2}&-C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.}$

Le produit de quaternion double ÂĈ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) peut être formulé comme une opération matricielle comme suit. Assemblez les composants de Ĉ dans le tableau à huit dimensions Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), alors ÂĈ est donné par le produit matriciel 8x8

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+} &0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.}$

Comme nous l'avons vu pour les quaternions, le produit ÂĈ peut être considéré comme l'opération de sur le vecteur de coordonnées Â, ce qui signifie que ÂĈ peut également être formulé comme,

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-} &0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.}$

En savoir plus sur les déplacements spatiaux

Le quaternion dual d'un déplacement D=([A], d ) peut être construit à partir du quaternion S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S qui définit la rotation [A] et le quaternion vectoriel construit à partir de le vecteur de translation d , donné par D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. En utilisant cette notation, le quaternion dual pour le déplacement D=([A], d ) est donné par

${\displaystyle {\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.}$

Soit les coordonnées de Plücker d'une ligne dans la direction x passant par un point p dans un corps en mouvement et ses coordonnées dans le repère fixe qui se trouve dans la direction X passant par le point P, soit données par,

${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}= \mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .}$

Alors le double quaternion du déplacement de ce corps transforme les coordonnées de Plücker dans le repère mobile en coordonnées de Plücker dans le repère fixe par la formule

${\displaystyle {\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.}$

En utilisant la forme matricielle du produit de quaternion double, cela devient,

${\displaystyle {\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.}$

Ce calcul est facilement géré à l'aide d'opérations matricielles.

Quaternions doubles et transformées homogènes 4×4

Il peut être utile, en particulier dans le mouvement des corps rigides, de représenter les quaternions doubles unitaires sous forme de matrices homogènes . Comme indiqué ci-dessus, un quaternion double peut s'écrire : où r et d sont tous deux des quaternions. Le quaternion r est connu comme la partie réelle ou rotationnelle et le quaternion est connu comme la partie duale ou de déplacement. ${\displaystyle {\hat {q}}=r+d\varepsilon r}$${\style d'affichage d}$

La partie rotation peut être donnée par

${\displaystyle r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)}$

où est l'angle de rotation autour de la direction donnée par le vecteur unitaire . La partie de déplacement peut être écrite comme ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {a}}}$

${\displaystyle d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k}$.

L'équivalent à double quaternion d'un vecteur 3D est

${\displaystyle {\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)}$

et sa transformation par est donnée par ${\displaystyle {\hat {q}}}$

${\displaystyle {\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}}$.

Ces quaternions duaux (ou en fait leurs transformations sur des vecteurs 3D) peuvent être représentés par la matrice de transformation homogène

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}}$

où la matrice orthogonale 3×3 est donnée par

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x} r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_ {w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x }\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x} ^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.}$

Pour le vecteur 3D

${\displaystyle v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}}$

la transformation par T est donnée par

${\displaystyle {\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}}$

Connexion aux algèbres de Clifford

En plus d'être le produit tensoriel de deux algèbres de Clifford, les quaternions et les nombres duaux , les quaternions duaux ont deux autres formulations en termes d'algèbres de Clifford.

Premièrement, les quaternions duaux sont isomorphes à l' algèbre de Clifford générée par 3 éléments anti- commutation , , avec et . Si nous définissons et , alors les relations définissant les quaternions duaux sont impliquées par ceux-ci et vice versa. Deuxièmement, les quaternions duaux sont isomorphes à la partie paire de l'algèbre de Clifford générée par 4 éléments anti-commutation avec ${\style d'affichage i}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage i^{2}=j^{2}=-1}$${\style d'affichage e^{2}=0}$${\style d'affichage k=ij}$${\displaystyle \varepsilon =ek}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$

Pour plus de détails, voir algèbres de Clifford : quaternions doubles .

Éponymes

Étant donné qu'Eduard Study et William Kingdon Clifford ont tous deux utilisé et écrit sur les quaternions doubles, les auteurs se réfèrent parfois aux quaternions doubles en tant que « biquaternions d'étude » ou « biquaternions de Clifford ». Ce dernier éponyme a également été utilisé pour désigner les biquaternions divisés . Lisez l'article de Joe Rooney lié ci-dessous pour voir un partisan de la revendication de WK Clifford. Étant donné que les revendications de Clifford et de Study sont en litige, il est commode d'utiliser la désignation actuelle du double quaternion pour éviter les conflits.

Voir également

• Théorie des vis
• Mouvement rationnel
• Quaternions et rotation spatiale
• Conversion entre quaternions et angles d'Euler
• Olinde Rodrigues
• Numéro à double complexe

Les références

Remarques

Sources

Lectures complémentaires

• Ian Fischer (1998). Méthodes à deux nombres en cinématique, statique et dynamique . Presse CRC. ISBN 978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri & R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers, publié dans Multibody System Dynamics 18(3):323-349.
• E. Pennestri et PP Valentini, Quaternions doubles en tant qu'outil pour l'analyse du mouvement du corps rigide : un didacticiel avec une application à la biomécanique , ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, p. 187-205, 2010
• E. Pennestri et PP Valentini, Linear Dual Algebra Algorithms and their Application to Kinematics , Multibody Dynamics , octobre 2008, pp. 207-229, doi : 10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• DP Chevallier (1996) « Sur le principe de transfert en cinématique : ses diverses formes et limites », La théorie des mécanismes et des machines 31(1) :57-76.
• MA Gungor (2009) "Dual Lorentzian spherical motions and dual Euler-Savary formulas", European Journal of Mechanics A Solids 28(4):820-6.
• LFC Figueredo et BV Adorno et JY Ishihara et GA Borges (2013) "Robust kinematic control of manipulator robots using dual quaternion representation", "{2013 IEEE International Conference on Robotics and Automation", doi : 10.1109/ICRA.2013.6630836

Liens externes

• Wilhelm Blaschke (1958) Traducteur DH Delphenich, "Applications des quaternions duals à la cinématique"
• Wilhelm Blaschke (1960) Traducteur DH Delphenich, Quaternions et cinématique de Neo-classical-physics.info.
• Dual Quaternions, Un guide pour débutants sur les doubles quaternions Ben Kenwright
• Quaternions doubles : de la mécanique classique à l'infographie et au-delà Ben Kenwright
• Modélisation et contrôle cinématiques de robots basés sur l'algèbre du double quaternion Bruno Vilhena Adorno