Split-biquaternion - Split-biquaternion

En mathématiques , un split-biquaternion est un nombre hypercomplexe de la forme

{\ Displaystyle q = w + xi + yj + zk}

où w , x , y et z sont des nombres complexes séparés et i, j et k se multiplient comme dans le groupe quaternion . Puisque chaque coefficient w , x , y , z s'étend sur deux dimensions réelles , le biquaternion divisé est un élément d'un espace vectoriel à huit dimensions . Considérant qu'il porte une multiplication, cet espace vectoriel est une algèbre sur le champ réel, ou une algèbre sur un anneau où les nombres complexes divisés forment l'anneau. Cette algèbre a été introduite par William Kingdon Clifford dans un article de 1873 pour la London Mathematical Society . Il a été noté à maintes reprises dans la littérature mathématique depuis lors, diversement comme un écart de terminologie, une illustration du produit tensoriel des algèbres et comme une illustration de la somme directe des algèbres . Les biquaternions divisées ont été identifiées de diverses manières par les algébres; voir § Synonymes ci-dessous.

Définition moderne

Un biquaternion scindé est un anneau isomorphe à l' algèbre de Clifford C ℓ _0,3 ( R ). Il s'agit de l' algèbre géométrique générée par trois directions de base des unités imaginaires orthogonales, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } sous la règle de combinaison

{\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = {\ begin {cases} -1 & i = j, \\ - e_ {j} e_ {i} & i \ neq j \ end {cases}}}

donnant une algèbre couverte par les 8 éléments de base {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ }, avec ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 et ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. La sous-algèbre couverte par les 4 éléments {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } est l' anneau de division des quaternions de Hamilton , H = C ℓ _0,2 ( R ) . On peut donc voir que

{\ displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {D}}

où D = C ℓ _1,0 ( R ) est l'algèbre étendue par {1, ω}, l'algèbre des nombres complexes scindés . De manière équivalente,

{\ displaystyle C \ ell _ {0,3} (\ mathbb {R}) \ cong \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}

Groupe Split-Biquaternion

Les split-biquaternions forment un anneau associatif comme il ressort de la considération des multiplications dans sa base {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Lorsque ω est joint au groupe quaternion on obtient un groupe de 16 éléments

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Somme directe de deux anneaux de quaternions

La somme directe de l'anneau de division des quaternions avec lui-même est notée . Le produit de deux éléments et est dans cette algèbre à somme directe . ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle (a \ oplus b)}$ ${\ Displaystyle (c \ oplus d)}$ ${\ displaystyle ac \ oplus bd}$

Proposition: L'algèbre des split-biquaternions est isomorphe à ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

preuve: Chaque biquaternion scindé a une expression q = w + z ω où w et z sont des quaternions et ω ² = +1. Maintenant, si p = u + v ω est un autre biquaternion scindé, leur produit est

{\ Displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) \ omega.}

Le mappage d'isomorphisme de split-biquaternions à est donné par ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle p \ mapsto (u + v) \ oplus (uv), \ quad q \ mapsto (w + z) \ oplus (wz).}

En , le produit de ces images, selon l'algèbre-produit indiqué ci-dessus, est ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle (u + v) (w + z) \ oplus (uv) (wz).}

Cet élément est aussi l'image de pq sous la cartographie en Ainsi les produits s'accordent, la cartographie est un homomorphisme; et comme il est bijectif , c'est un isomorphisme. ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}.}$

Bien que les biquaternions divisées forment un espace à huit dimensions comme les biquaternions de Hamilton, sur la base de la proposition, il est évident que cette algèbre se divise en la somme directe de deux copies des quaternions réels.

Hamilton biquaternion

Les biquaternions divisées ne doivent pas être confondues avec les biquaternions (ordinaires) précédemment introduites par William Rowan Hamilton . Les biquaternions de Hamilton sont des éléments de l'algèbre

{\ displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}

{\ displaystyle C \ ell _ {3,0} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {C}.}

Synonymes

Les termes et composés suivants font référence à l'algèbre du biquaternion scindé:

biquaternions elliptiques - Clifford 1873 , Rooney 2007
Clifford biquaternion - Joly 1902 , van der Waerden 1985
dyquaternions - Rosenfeld 1997
${\ displaystyle \ mathbb {D} \ otimes \ mathbb {H}}$ où D = nombres complexes divisés - Bourbaki 1994 , Rosenfeld 1997
${\ displaystyle \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H}}$ , la somme directe de deux algèbres de quaternions - van der Waerden 1985

Voir également

Octonions divisés

Les références

Clifford, WK (1873) Esquisse préliminaire de Biquaternions , pages 195–7 dans Mathematical Papers via Internet Archive
Clifford, WK (1882) The Classification of Geometric Algebras , page 401 in Mathematical Papers , R. Tucker rédacteur
Girard, PR (1984). "Le groupe quaternion et la physique moderne". EUR. J. Phys . 5 (1): 25–32. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007 .
Rooney, Joe (2007). «William Kingdon Clifford» . In Ceccarelli, Marco (éd.). Personnages distingués de la mécanique et de la science des machines: leurs contributions et leurs héritages . Springer. p. 79–. ISBN 978-1-4020-6366-4 .
Joly, Charles Jasper (1905). Un manuel des quaternions . Macmillan. p. 21 .
Rosenfeld, Boris (1997). Géométrie des groupes de mensonges . Kluwer. p. 48. ISBN 978-0-7923-4390-5 .
Bourbaki, N. (2013) [1994]. Éléments de l'histoire des mathématiques . Traduit par Meldrum, J. Springer. p. 137. ISBN 978-3-642-61693-8 .
van der Waerden, BL (1985). Une histoire de l'algèbre . Springer. p. 188 . ISBN 978-0-387-13610-3 .

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