Champ exponentiel - Exponential field

En mathématiques , un champ exponentiel est un champ qui a une opération supplémentaire sur ses éléments qui étend l'idée habituelle d' exponentiation .

Définition

Un champ est une structure algébrique composée d'un ensemble d'éléments, F , deux opérations binaires , l'addition (+) telle que F forme un groupe abélien d'identité 0 _F et la multiplication (·), telle que F excluant 0 _F forme un groupe abélien sous multiplication avec identité 1 _F , et telle que la multiplication est distributive sur l'addition, c'est-à-dire pour tout élément a , b , c dans F , on a a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) . S'il y a aussi une fonction E qui transforme F en F , et telle que pour tout a et b dans F on a

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & E (a + b) = E (a) \ cdot E (b), \\ & E ​​(0_ {F}) = 1_ {F} \ end {aligné}}}$

alors F est appelé un champ exponentielle, et la fonction E est appelé une fonction exponentielle sur F . Ainsi une fonction exponentielle sur un corps est un homomorphisme entre le groupe additif de F et son groupe multiplicatif.

Fonction exponentielle triviale

Il existe une fonction exponentielle triviale sur n'importe quel champ, à savoir la carte qui envoie chaque élément à l'élément d'identité du champ sous multiplication. Ainsi, chaque champ est aussi trivialement un champ exponentiel, de sorte que les cas qui intéressent les mathématiciens se produisent lorsque la fonction exponentielle n'est pas triviale.

Les champs exponentiels doivent parfois avoir une caractéristique zéro car la seule fonction exponentielle sur un champ avec une caractéristique différente de zéro est la fonction triviale. Pour voir cette première remarque que pour tout élément x dans un champ de caractéristique p  > 0,

${\ displaystyle 1 = E (0) = E (\ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ {p {\ text {de ceux-ci}}}) = E (x) E (x) \ cdots E (x ) = E (x) ^ {p}.}$

Par conséquent, en tenant compte de l' endomorphisme de Frobenius ,

${\ displaystyle (E (x) -1) ^ {p} = E (x) ^ {p} -1 ^ {p} = E (x) ^ {p} -1 = 0. \,}$

Et donc E ( x ) = 1 pour chaque x .

Exemples

• Le champ des nombres réels R , ou ( R , +, ·, 0, 1) tel qu'il peut être écrit pour souligner que nous le considérons purement comme un champ avec addition, multiplication et constantes spéciales zéro et un, a une infinité de fonctions exponentielles. Une de ces fonctions est la fonction exponentielle habituelle , c'est-à-dire E ( x ) = e ^x , puisque nous avons e ^{x + y} = e ^x e ^y et e ⁰ = 1 , comme requis. En considérant le champ ordonné R équipé de cette fonction, on obtient le champ exponentiel réel ordonné, noté R _exp = ( R , +, ·, <, 0, 1, exp) .
• Tout nombre réel a > 0 donne une fonction exponentielle sur R , où l'application E ( x ) = a ^x satisfait les propriétés requises.
• De manière analogue au champ exponentiel réel, il y a le champ exponentiel complexe , C _exp = ( C , +, ·, 0, 1, exp) .
• Boris Zilber a construit un champ exponentiel K _exp qui, fondamentalement, satisfait la formulation équivalente de la conjecture de Schanuel avec la fonction exponentielle du champ. On suppose que ce champ exponentiel est en fait C _exp , et une preuve de ce fait prouverait donc la conjecture de Schanuel.

Anneaux exponentiels

L'ensemble sous - jacent F peut ne pas être nécessaire pour un champ mais autorisé à être simplement un anneau , R , et en même temps la fonction exponentielle est détendu à un homomorphisme dans le groupe additif dans R pour le groupe multiplicatif des unités de R . L'objet résultant est appelé un anneau exponentiel .

Un exemple d'anneau exponentiel avec une fonction exponentielle non triviale est l'anneau d'entiers Z équipé de la fonction E qui prend la valeur +1 aux entiers pairs et −1 aux entiers impairs, c'est-à-dire la fonction Cette fonction exponentielle, et la fonction triviale , sont les deux seules fonctions sur Z qui satisfont aux conditions. ${\ Displaystyle n \ mapsto (-1) ^ {n}.}$

Problèmes ouverts

Les champs exponentiels sont des objets très étudiés en théorie des modèles , fournissant occasionnellement un lien entre eux et la théorie des nombres comme dans le cas des travaux de Zilber sur la conjecture de Schanuel . Il a été prouvé dans les années 1990 que R _exp est un modèle complet , résultat connu sous le nom de théorème de Wilkie . Ce résultat, combiné au théorème de Khovanskiĭ sur les fonctions pfaffiennes , prouve que R _exp est également o-minimal . D'autre part, on sait que C _exp n'est pas un modèle complet. La question de la décidabilité n'est toujours pas résolue. Alfred Tarski a posé la question de la décidabilité de R _exp et, par conséquent, il est maintenant connu sous le nom de problème de fonction exponentielle de Tarski . On sait que si la version réelle de la conjecture de Schanuel est vraie, alors R _exp est décidable.

Voir également

• Champ exponentiel ordonné

Remarques