Fibre (mathématiques) - Fiber (mathematics)

En mathématiques , le terme fibre ( anglais américain ) ou fibre ( anglais britannique ) peut avoir deux sens, selon le contexte :

1. En théorie naïve des ensembles , la fibre de l' élément y dans l' ensemble Y sous une application f  : X → Y est l' image inverse du singleton sous f .${\style d'affichage \{y\}}$
2. En géométrie algébrique , la notion de fibre d'un morphisme de schémas doit être définie plus soigneusement car, en général, tout point n'est pas fermé.

Définitions

La fibre dans la théorie des ensembles naïf

Soit f  : X → Y une application . La fibre d'un élément communément désigné par est définie comme${\displaystyle y\in Y,}$${\style d'affichage f^{-1}(y),}$

C'est-à-dire que la fibre de y sous f est l'ensemble des éléments dans le domaine de f qui sont mappés sur y .

L' image inverse ou préimage généralise le concept de fibre à des sous - ensembles du codomaine. La notation est toujours utilisée pour désigner la fibre, car la fibre d'un élément y est la préimage de l'ensemble singleton , comme dans . C'est-à-dire que la fibre peut être traitée comme une fonction du codomaine à l' ensemble de puissances du domaine : tandis que la préimage généralise cela à une fonction entre ensembles de puissances :${\style d'affichage f^{-1}(A)}$${\displaystyle A\subseteq Y}$${\style d'affichage f^{-1}(y)}$${\style d'affichage \{y\}}$${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$${\displaystyle f^{-1}:Y\to {\mathcal {P}}(X),}$${\displaystyle f^{-1} :{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X).}$

Si f correspond aux nombres réels, donc est simplement un nombre, alors la fibre est également appelée le level set de y sous f : Si f est une fonction continue et y est dans l' image de f , alors le level set de y sous f est une courbe en 2D , une surface en 3D , et, plus généralement, une hypersurface de dimension d − 1.${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\style d'affichage f^{-1}(y)}$${\displaystyle L_{y}(f).}$

Fibre en géométrie algébrique

En géométrie algébrique , si f  : X → Y est un morphisme de schémas , la fibre d' un point p dans Y est le produit fibreux des schémas

${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$

où k ( p ) est le champ résiduel en p .

Voir également

Citations

Les références