Théorème de fluctuation-dissipation - Fluctuation-dissipation theorem

Le théorème de fluctuation-dissipation ( FDT ) ou la relation fluctuation-dissipation ( FDR ) est un outil puissant en physique statistique pour prédire le comportement des systèmes qui obéissent à un équilibre détaillé . Étant donné qu'un système obéit à un équilibre détaillé, le théorème est une preuve générale que les fluctuations thermodynamiques d'une variable physique prédisent la réponse quantifiée par l' admittance ou l' impédance (à entendre dans leur sens général, pas seulement en termes électromagnétiques) de la même variable physique (comme la tension, la différence de température, etc.) et vice versa. Le théorème de fluctuation-dissipation s'applique à la fois aux systèmes mécaniques classiques et quantiques .

Le théorème de fluctuation-dissipation a été prouvé par Herbert Callen et Theodore Welton en 1951 et développé par Ryogo Kubo . Il y a des antécédents au théorème général, y compris l'explication d' Einstein du mouvement brownien pendant son annus mirabilis et l' explication de Harry Nyquist en 1928 du bruit de Johnson dans les résistances électriques.

Aperçu qualitatif et exemples

Le théorème de fluctuation-dissipation dit que lorsqu'il y a un processus qui dissipe l'énergie, la transformant en chaleur (par exemple, la friction), il y a un processus inverse lié aux fluctuations thermiques . Ceci est mieux compris en considérant quelques exemples :

• Drag et mouvement brownien

Si un objet se déplace dans un fluide, il subit une traînée (résistance de l'air ou résistance du fluide). La traînée dissipe l'énergie cinétique, la transformant en chaleur. La fluctuation correspondante est le mouvement brownien . Un objet dans un fluide ne reste pas immobile, mais se déplace plutôt avec une vitesse faible et changeant rapidement, lorsque les molécules du fluide le heurtent. Le mouvement brownien convertit l'énergie thermique en énergie cinétique, l'inverse de la traînée.

• Résistance et bruit de Johnson

Si le courant électrique traverse une boucle de fil avec une résistance à l' intérieur , le courant passera rapidement à zéro à cause de la résistance. La résistance dissipe l'énergie électrique, la transformant en chaleur ( chauffage Joule ). La fluctuation correspondante est le bruit de Johnson . Une boucle de fil avec une résistance à l'intérieur n'a pas de courant nul, elle a un courant faible et fluctuant rapidement causé par les fluctuations thermiques des électrons et des atomes dans la résistance. Le bruit de Johnson convertit l'énergie thermique en énergie électrique, l'inverse de la résistance.

• Absorption lumineuse et rayonnement thermique

Lorsque la lumière frappe un objet, une partie de la lumière est absorbée, rendant l'objet plus chaud. De cette façon, l'absorption de la lumière transforme l'énergie lumineuse en chaleur. La fluctuation correspondante est le rayonnement thermique (par exemple, la lueur d'un objet « chauffé au rouge »). Le rayonnement thermique transforme l'énergie thermique en énergie lumineuse, l'inverse de l'absorption de la lumière. En effet, la loi du rayonnement thermique de Kirchhoff confirme que plus un objet absorbe efficacement la lumière, plus il émet de rayonnement thermique.

Exemples en détail

Le théorème de fluctuation-dissipation est un résultat général de la thermodynamique statistique qui quantifie la relation entre les fluctuations dans un système qui obéit à un équilibre détaillé et la réponse du système aux perturbations appliquées.

mouvement brownien

Par exemple, Albert Einstein a noté dans son article de 1905 sur le mouvement brownien que les mêmes forces aléatoires qui provoquent le mouvement erratique d'une particule dans le mouvement brownien provoqueraient également une traînée si la particule était tirée à travers le fluide. En d'autres termes, la fluctuation de la particule au repos a la même origine que la force de friction dissipative contre laquelle il faut travailler, si l'on essaie de perturber le système dans une direction particulière.

À partir de cette observation, Einstein a pu utiliser la mécanique statistique pour dériver la relation Einstein-Smoluchowski

${\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}$

qui relie la constante de diffusion D et la mobilité particule μ , le rapport de vitesse de dérive borne de la particule à une force appliquée. k _B est la constante de Boltzmann et T est la température absolue .

Bruit thermique dans une résistance

En 1928, John B. Johnson découvrit et Harry Nyquist expliqua le bruit Johnson-Nyquist . En l'absence de courant appliqué, la tension quadratique moyenne dépend de la résistance , , et de la bande passante sur laquelle la tension est mesurée : ${\style d'affichage R}$${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \Delta \nu }$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .}$

Cette observation peut être comprise à travers le prisme du théorème de fluctuation-dissipation. Prenons, par exemple, un circuit simple composé d'une résistance avec une résistance et d'un condensateur avec une petite capacité . La loi de Kirchhoff donne ${\style d'affichage R}$${\style d'affichage C}$

${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}$

et donc la fonction de réponse pour ce circuit est

${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\ oméga R}}}$

Dans la limite basse fréquence , sa partie imaginaire est simplement ${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}$

qui peut alors être liée à la fonction d'auto-corrélation de la tension via le théorème de fluctuation-dissipation ${\displaystyle S_{V}(\omega )}$

${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{ C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}$

Le bruit de tension Johnson-Nyquist a été observé dans une petite bande de fréquence centrée autour de . D'où ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }$

Formulation générale

Le théorème de fluctuation-dissipation peut être formulé de plusieurs manières ; une forme particulièrement utile est la suivante :

Soit une observable d'un système dynamique à hamiltonien soumis à des fluctuations thermiques. L'observable fluctuera autour de sa valeur moyenne avec des fluctuations caractérisées par un spectre de puissance . Supposons que nous puissions activer un champ spatialement constant variant dans le temps qui modifie l'hamiltonien en . La réponse de l'observable à un champ dépendant du temps est caractérisée au premier ordre par la susceptibilité ou fonction de réponse linéaire du système ${\style d'affichage x(t)}$ ${\style d'affichage H_{0}(x)}$${\style d'affichage x(t)}$${\displaystyle \langle x\rangle _{0}}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }$${\style d'affichage f(t)}$${\style d'affichage H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage f(t)}$ ${\style d'affichage \chi (t)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int \limits _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,}$

où la perturbation est activée adiabatiquement (très lentement) à . ${\displaystyle \tau =-\infty }$

Le théorème de fluctuation-dissipation relie le spectre de puissance bilatéral (c'est-à-dire les fréquences positives et négatives) de à la partie imaginaire de la transformée de Fourier de la susceptibilité : ${\style d'affichage x}$ ${\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega )}$${\style d'affichage \chi (t)}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\mathrm {Im} \,{\hat {\chi }}(\omega ) .}$

Le côté gauche décrit les fluctuations de , le côté droit est étroitement lié à l'énergie dissipée par le système lorsqu'il est pompé par un champ oscillatoire . ${\style d'affichage x}$${\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}$

C'est la forme classique du théorème ; les fluctuations quantiques sont prises en compte en remplaçant par (dont la limite pour est ). Une preuve peut être trouvée au moyen de la réduction LSZ , une identité de la théorie quantique des champs. ${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$${\displaystyle {\hbar }\,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}$${\displaystyle \hbar \to 0}$${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$

Le théorème de fluctuation-dissipation peut être généralisé de manière directe au cas des champs dépendant de l'espace, au cas de plusieurs variables ou à un cadre de mécanique quantique.

Dérivation

Version classique

Nous dérivons le théorème de fluctuation-dissipation sous la forme donnée ci-dessus, en utilisant la même notation. Considérons le cas de test suivant : le champ f a été allumé pendant un temps infini et est éteint à t =0

${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$

où est la fonction Heaviside . Nous pouvons exprimer la valeur attendue de par la distribution de probabilité W ( x ,0) et la probabilité de transition${\displaystyle \theta (t)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage P(x',t|x,0)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$

La fonction de distribution de probabilité W ( x ,0) est une distribution d'équilibre et donc donnée par la distribution de Boltzmann pour l'hamiltonien${\style d'affichage H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\;, }$

où . Pour un champ faible , on peut développer le membre de droite ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$

${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x(0)-\langle x\rangle _{0})],}$

voici la distribution d'équilibre en l'absence de champ. Brancher cette approximation dans la formule des rendements ${\style d'affichage W_{0}(x)}$${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),}$

( * )

où A ( t ) est la fonction d'auto-corrélation de x en l'absence de champ :

${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$

Notons qu'en l'absence de champ le système est invariant sous les décalages temporels. Nous pouvons réécrire en utilisant la susceptibilité du système et donc trouver avec l'équation ci-dessus (*)${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$

${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$

En conséquence,

${\displaystyle -\chi (t)=\beta {\operatorname {d} A(t) \over \operatorname {d} t}\theta (t).}$

( ** )

Pour faire une déclaration sur la dépendance en fréquence, il est nécessaire de prendre la transformée de Fourier de l'équation (**) . En intégrant par parties, il est possible de montrer que

${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-i\omega t}A( t)\,dt-\beta A(0).}$

Puisque est réel et symétrique, il s'ensuit que ${\style d'affichage A(t)}$

${\displaystyle 2\,\mathrm {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$

Enfin, pour les processus stationnaires , le théorème de Wiener-Khinchin stipule que la densité spectrale bilatérale est égale à la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation :

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$

Par conséquent, il s'ensuit que

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\,\mathrm {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$

Version quantique

Le théorème de fluctuation-dissipation relie la fonction de corrélation de l'observable d'intérêt (une mesure de fluctuation) à la partie imaginaire de la fonction de réponse dans le domaine fréquentiel (une mesure de dissipation). Un lien entre ces quantités peut être trouvé par la formule dite de Kubo${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$

${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x }}(t')]\rangle }$

qui découle, sous les hypothèses de la théorie de la réponse linéaire , de l'évolution temporelle de la moyenne d'ensemble de l'observable en présence d'une source perturbatrice. Une fois transformée de Fourier, la formule de Kubo permet d'écrire la partie imaginaire de la fonction de réponse sous la forme ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\ langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$

Dans l' ensemble canonique , le second terme peut être réexprimé sous la forme

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{ \hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}} }{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{ \hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(ti\hbar \beta )}{\hat {x}}(0 )=\langle {\hat {x}}(ti\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$

où dans la deuxième égalité nous nous sommes repositionnés en utilisant la propriété cyclique de trace. Ensuite, dans la troisième égalité, nous avons inséré à côté de la trace et interprété comme un opérateur d'évolution temporelle avec un intervalle de temps imaginaire . Le décalage temporel imaginaire devient un facteur après la transformée de Fourier ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(ti\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\ omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}( 0)\rangle e^{i\omega t}dt}$

et donc l'expression pour peut être facilement réécrite comme la relation de fluctuation-dissipation quantique ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\droite]}$

où la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de l'auto-corrélation et est la fonction de distribution de Bose-Einstein . Le même calcul donne aussi ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$

${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$

ainsi, contrairement à ce qui est obtenu dans le cas classique, la densité spectrale de puissance n'est pas exactement symétrique en fréquence dans la limite quantique. De manière cohérente, a une partie imaginaire provenant des règles de commutation des opérateurs. Le terme " " supplémentaire dans l' expression de aux fréquences positives peut également être considéré comme lié à l' émission spontanée . Un résultat souvent cité est également la densité spectrale de puissance symétrisée ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\style d'affichage +1}$${\displaystyle S_{x}(\omega )}$

${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+ {\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{ 2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$

Le " " peut être considéré comme lié aux fluctuations quantiques , ou au mouvement du point zéro de l' observable . A des températures suffisamment élevées, c'est-à-dire que la contribution quantique est négligeable, et on retrouve la version classique. ${\style d'affichage +1/2}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$

Violations dans les systèmes vitreux

Alors que le théorème fluctuation-dissipation fournit une relation générale entre la réponse des systèmes obéissant à un équilibre détaillé , lorsque l'équilibre détaillé est violé, la comparaison des fluctuations à la dissipation est plus complexe. En dessous de la température dite du verre , les systèmes vitreux ne sont pas équilibrés et se rapprochent lentement de leur état d'équilibre. Cette lente approche de l'équilibre est synonyme de violation de l'équilibre détaillé . Ainsi, ces systèmes nécessitent d'étudier de grandes échelles de temps alors qu'ils se déplacent lentement vers l'équilibre. ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$

Pour étudier la violation de la relation fluctuation-dissipation dans les systèmes vitreux, en particulier les verres de spin , Réf. effectué des simulations numériques de systèmes macroscopiques (c'est-à-dire grands par rapport à leurs longueurs de corrélation) décrits par le modèle tridimensionnel d' Edwards-Anderson à l' aide de supercalculateurs. Dans leurs simulations, le système est initialement préparé à haute température, rapidement refroidi à une température inférieure à la température du verre , et laissé s'équilibrer très longtemps sous un champ magnétique . Ensuite, plus tard , deux observables dynamiques sont sondés, à savoir la fonction de réponse${\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}$ ${\style d'affichage T_{g}}$${\displaystyle t_{\rm {w}}}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage t+t_{\rm {w}}}$

${\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}}) }{\partiel H}}\droit|_{H=0}}$

et la fonction de corrélation spin-temporelle

${\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{ x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}$

où est le spin vivant sur le nœud du réseau cubique de volume , et est la densité d'aimantation. La relation fluctuation-dissipation dans ce système peut être écrite en fonction de ces observables comme ${\displaystyle S_{x}=\pm 1}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$

${\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w} })}$

Leurs résultats confirment l'hypothèse selon laquelle, lorsque le système est laissé à s'équilibrer plus longtemps, la relation fluctuation-dissipation est plus proche d'être satisfaite.

Au milieu des années 1990, dans l'étude de la dynamique des modèles de verre de spin , une généralisation du théorème de fluctuation-dissipation a été découverte qui s'applique aux états non stationnaires asymptotiques, où la température apparaissant dans la relation d'équilibre est remplacée par une température effective avec une dépendance non triviale aux échelles de temps. Cette relation est proposée pour tenir dans les systèmes vitreux au-delà des modèles pour lesquels elle a été initialement trouvée.

Version quantique

L' entropie de Rényi ainsi que l' entropie de von Neumann en physique quantique ne sont pas observables car elles dépendent de manière non linéaire de la matrice densité. Récemment, Mohammad H. Ansari et Yuli V. Nazarov ont prouvé une correspondance exacte qui révèle la signification physique du flux d'entropie Rényi dans le temps. Cette correspondance est similaire dans l'esprit au théorème de fluctuation-dissipation et permet la mesure de l'entropie quantique en utilisant les statistiques de comptage complet (FCS) des transferts d'énergie.

Voir également

• Thermodynamique hors équilibre
• Relations Vert-Kubo
• Onsager relations réciproques
• Théorème d'équipartition
• Répartition Boltzmann
• Système dissipatif

Remarques

Les références

• HB Callen, TA Welton (1951). « Irréversibilité et bruit généralisé ». Examen physique . 83 (1) : 34-40. Bibcode : 1951PhRv ... 83 ... 34C . doi : 10.1103/PhysRev.83.34 .
• LD Landau, EM Lifshitz (1980). Physique statistique . Cours de Physique Théorique . 5 (3 éd.).
• Umberto Marini Bettolo Marconi; Andrea Puglisi; Lamberto Rondoni; Angelo Vulpiani (2008). « Fluctuation-Dissipation : Théorie de la réponse en physique statistique ». Rapports de physique . 461 (4-6): 111-195. arXiv : 0803.0719 . Bibcode : 2008PhR ... 461..111M . doi : 10.1016/j.physrep.2008.02.002 . S2CID  118575899 .

Lectures complémentaires

• Enregistrement audio d'une conférence du professeur EW Carlson de l' Université Purdue
• Le célèbre texte de Kubo : Théorème de fluctuation-dissipation
• Weber J (1956). « Théorème de dissipation de fluctuation ». Examen physique . 101 (6) : 1620-1626. arXiv : 0710.4394 . Bibcode : 1956PhRv..101.1620W . doi : 10.1103/PhysRev.101.1620 .
• BU Felderhof (1978). « Sur la dérivation du théorème de fluctuation-dissipation ». Journal de physique A . 11 (5) : 921-927. Bibcode : 1978JPhA ... 11..921F . doi : 10.1088/0305-4470/11/5/021 .
• Cristani A, Ritort F (2003). « Violation du théorème de fluctuation-dissipation dans les systèmes vitreux : notions de base et la preuve numérique ». Journal de physique A . 36 (21) : R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Bibcode : 2003JPhA ... 36R.181C . doi : 10.1088/0305-4470/36/21/201 . S2CID  14144683 .
• Chandler D (1987). Introduction à la mécanique statistique moderne . Presses de l'Université d'Oxford. p.  231-265 . ISBN 978-0-19-504277-1.
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• Callen HB (1985). Thermodynamique et Introduction à la Thermostatistique . New York : John Wiley et fils. p. 307-325. ISBN 0-471-86256-8.
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