Théorème fondamental sur les homomorphismes - Fundamental theorem on homomorphisms
En algèbre abstraite , le théorème fondamental sur les homomorphismes , également connu sous le nom de théorème fondamental de l'homomorphisme , concerne la structure de deux objets entre lesquels un homomorphisme est donné, et du noyau et de l' image de l'homomorphisme.
Le théorème d'homomorphisme est utilisé pour prouver les théorèmes d'isomorphisme .
Version de la théorie des groupes
Étant donné deux groupes G et H et un homomorphisme de groupe f : G → H , soit K un sous-groupe normal dans G et φ l' homomorphisme surjectif naturel G → G / K (où G / K est le groupe quotient de G par K ). Si K est un sous - ensemble de ker ( f ) alors il existe un unique homomorphisme h : G / K → H tel que f = h ∘φ.
En d'autres termes, la projection naturelle φ est universelle parmi les homomorphismes sur G qui associent K à l' élément d'identité .
La situation est décrite par le diagramme commutatif suivant :
En fixant K = ker( f ) on obtient immédiatement le premier théorème d'isomorphisme .
Nous pouvons écrire l'énoncé du théorème fondamental sur les homomorphismes de groupes comme "Toute image homomorphe d'un groupe est isomorphe à un groupe quotient".
Autres versions
Des théorèmes similaires sont valables pour les monoïdes , les espaces vectoriels , les modules et les anneaux .
Voir également
Les références
- Beachy, John A. (1999), "Theorem 1.2.7 (The Fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules , London Mathematical Society Student Texts, 47 , Cambridge University Press, p. 27, ISBN 9780521644075.
- Grove, Larry C. (2012), "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algèbre , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135.
- Jacobson, Nathan (2012), "Théorème fondamental sur les homomorphismes des -algèbres", Basic Algebra II , Dover Books on Mathematics (2e éd.), Courier Corporation, p. 62, ISBN 9780486135212.
- Rose, John S. (1994), "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory [réimpression de l'original de 1978] , Dover Publications, Inc., New York, pp. 44-45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.