Rapport gyromagnétique - Gyromagnetic ratio

En physique , le rapport gyromagnétique (également parfois appelé rapport magnétogyrique dans d'autres disciplines) d'une particule ou d'un système est le rapport de son moment magnétique à son moment cinétique , et il est souvent désigné par le symbole γ , gamma. Son unité SI est le radian par seconde par tesla (rad⋅s ^-1 ⋅T ^-1 ) ou, de manière équivalente, le coulomb par kilogramme (C⋅kg ^-1 ).

Le terme "rapport gyromagnétique" est souvent utilisé comme synonyme d'une quantité différente mais étroitement liée, le facteur g . Le facteur g , contrairement au rapport gyromagnétique, est sans dimension .

Pour un corps tournant classique

Considérons un corps chargé tournant autour d'un axe de symétrie. Selon les lois de la physique classique, il possède à la fois un moment dipolaire magnétique et un moment cinétique dû à sa rotation. On peut montrer que tant que sa charge et sa masse sont distribuées de manière identique (par exemple, les deux distribués uniformément), son rapport gyromagnétique est

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{\,2m\,}}}$

où q est sa charge et m sa masse. La dérivation de cette relation est la suivante

Il suffit de le démontrer pour un anneau circulaire infiniment étroit à l'intérieur du corps, car le résultat général découle d'une intégration . Supposons que la bague a un rayon r , Zone A = π r ² , masse m , la charge q , et le moment cinétique L = MVR . Alors l'amplitude du moment dipolaire magnétique est

${\displaystyle \mu =I\,A={\frac {q\,v}{\,2\pi \,r\,}}\;\pi \,r^{2}={\frac {q }{\,2m\,}}\,m\,v\,r={\frac {q}{\,2m\,}}L~.}$

Pour un électron isolé

Un électron isolé a un moment cinétique et un moment magnétique résultant de son spin . Alors que le spin d'un électron est parfois visualisé comme une rotation littérale autour d'un axe, il ne peut pas être attribué à une masse distribuée de manière identique à la charge. La relation classique ci - dessus ne tient pas, ce qui donne le mauvais résultat par un facteur de l'électron appelé adimensionnel g -factor , notée g _e (ou tout simplement g quand il n'y a pas de risque de confusion):

${\displaystyle |\gamma _{\mathrm {e} }|={\frac {|-e|}{\,2m_{\mathrm {e} }\,}}\,g_{\mathrm {e} } ={\frac {\,g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }\,}{\hbar }}~,}$

où μ _B est le magnéton de Bohr .

Le rapport gyromagnétique pour l'électron auto-tournant est deux fois plus grand que la valeur pour un électron en orbite.

Dans le cadre de la mécanique quantique relativiste,

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=2\,\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$

où est la constante de structure fine . Ici , les petites corrections apportées au résultat relativiste g = 2 proviennent des calculs de la théorie quantique des champs du moment dipolaire magnétique anormal . Le facteur g de l' électron est connu à douze décimales en mesurant le moment magnétique des électrons dans un cyclotron à un électron : ${\style d'affichage \alpha }$

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=2.0023193043617(15).}$

Le rapport gyromagnétique des électrons est donné par le NIST comme

${\displaystyle \left|\gamma _{\mathrm {e} }\right|=1.760\,859\,644(11)\times 10^{11}\,\mathrm {\,{\frac {rad} {\,s\cdot T\,}}} }$

${\displaystyle \left|{\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{\,2\pi \,}}\right|=28\,024.951\,64(17)\mathrm {\, {\tfrac {MHz}{T}}} .}$

Le g -factor et γ sont en excellent accord avec la théorie; voir Tests de précision de QED pour plus de détails.

Le facteur gyromagnétique n'est pas une conséquence de la relativité

Puisqu'un facteur gyromagnétique égal à 2 découle de l'équation de Dirac, c'est une idée fausse fréquente de penser qu'un g -facteur 2 est une conséquence de la relativité ; ce n'est pas. Le facteur 2 peut être obtenu à partir de la linéarisation de l' équation de Schrödinger et de l' équation relativiste de Klein-Gordon (qui conduit à celle de Dirac). Dans les deux cas, un spineur 4 est obtenu et pour les deux linéarisations, le facteur g est égal à 2 ; Par conséquent, le facteur 2 est une conséquence de la dépendance de l'équation d'onde sur les premières (et non les secondes) dérivées par rapport à l'espace et au temps.

Tournage physique 1/2les particules qui ne peuvent pas être décrites par l' équation de Dirac jaugée linéaire satisfont l' équation de Klein-Gordon jaugée étendue par le g e/4 σ ^μν F _μν terme selon,

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+ i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \ nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Ici, 1/2σ ^μν et F ^μν support pour les générateurs de groupeLorentz dans l'espaceDirac, et le tenseur électromagnétique respectivement, tandis que A ^μ est le quatre-potentiel électromagnétique . Un exemple pour une telle particule, est le spin 1/2 compagnon à filer 3/2dans l' espace de représentation D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) du groupe de Lorentz . On a montré que cette particule est caractérisée par g = −+2/3 et par conséquent se comporter comme un véritable fermion quadratique.

Pour un noyau

Le signe du rapport gyromagnétique, y , détermine le sens de précession. Alors que les moments magnétiques (les flèches noires) sont orientés de la même manière pour les deux cas de y , la précession est dans des directions opposées. Le spin et le moment magnétique sont dans la même direction pour y > 0 (comme pour les protons).

Les protons , les neutrons et de nombreux noyaux portent un spin nucléaire , ce qui donne lieu à un rapport gyromagnétique comme ci-dessus. Le rapport est classiquement écrit en termes de masse et de charge du proton, même pour les neutrons et pour d'autres noyaux, par souci de simplicité et de cohérence. La formule est :

${\displaystyle \gamma _{\rm {n}}={\frac {e}{\,2m_{p}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}} \,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

où est le magnéton nucléaire , et est le facteur g du nucléon ou du noyau en question. Le rapport égal à , est 7,622593285(47) MHz/T. ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$${\displaystyle g_{\rm {n}}}$${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

Le rapport gyromagnétique d'un noyau joue un rôle dans la résonance magnétique nucléaire (RMN) et l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Ces procédures reposent sur le fait que l'aimantation massive due aux spins nucléaires précesse dans un champ magnétique à une vitesse appelée fréquence de Larmor , qui est simplement le produit du rapport gyromagnétique avec l'intensité du champ magnétique. Avec ce phénomène, le signe de γ détermine le sens ( dans le sens horaire par rapport à gauche) de la précession.

Les noyaux les plus courants tels que ¹ H et ¹³ C ont des rapports gyromagnétiques positifs. Des valeurs approximatives pour certains noyaux communs sont données dans le tableau ci-dessous.

Noyau	${\displaystyle \gamma _{n}}$(10 6 rad⋅s −1 ⋅T −1 )	${\displaystyle \gamma _{n}/(2\pi )}$(MHz⋅T −1 )
1 heure	267.522 187 44 (11)	42.577 478 518 (18)
1 H (dans H 2 O)	267.515 3151 (29)	42.576 384 74 (46)
2 heures	41,065	6,536
3 heures	285.3508	45.415
3 Il	−203,789 4569 (24)	−32,434 099 42 (38)
7 Li	103.962	16.546
13 C	67.2828	10.7084
14 N	19.331	3.077
15 N	-27.116	-4,316
17 O	−36.264	-5.772
19 F	251.815	40,078
23 Non	70,761	11.262
27 Al	69,763	11.103
29 Si	−53.190	−8.465
31 P	108,291	17.235
57 Fe	8.681	1,382
63 cu	71.118	11.319
67 Zn	16.767	2.669
129 Xe	-73,997	-11.777

Larmor précession

Tout système libre avec un rapport gyromagnétique constant, tel qu'un système rigide de charges, un noyau , ou un électron , lorsqu'il est placé dans un champ magnétique externe B (mesuré en teslas) qui n'est pas aligné avec son moment magnétique , précédera à un fréquence f (mesurée en hertz ), qui est proportionnelle au champ extérieur :

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

Pour cette raison, les valeurs de ??/2 π , en unités de hertz par tesla (Hz/T), sont souvent cités à la place de γ .

Dérivation heuristique

La dérivation de cette relation est la suivante : Nous devons d'abord prouver que le couple résultant de la soumission d'un moment magnétique à un champ magnétique est L'identité de la forme fonctionnelle des champs électriques et magnétiques stationnaires a conduit à définir l'amplitude du dipôle magnétique moment aussi bien que , ou de la manière suivante, imitant le moment p d'un dipôle électrique : Le dipôle magnétique peut être représenté par une aiguille d'un compas avec des charges magnétiques fictives sur les deux pôles et vecteur distance entre les pôles sous l'influence de le champ magnétique de la terre Par la mécanique classique, le couple sur cette aiguille est Mais comme indiqué précédemment , la formule souhaitée apparaît. est le vecteur distance unitaire. ${\displaystyle \mathbf {m} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

Le modèle de l'électron en rotation que nous utilisons dans la dérivation a une analogie évidente avec un gyroscope. Pour tout corps en rotation, le taux de variation du moment cinétique est égal au couple appliqué : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Notez comme exemple la précession d'un gyroscope. L'attraction gravitationnelle de la terre applique une force ou un couple au gyroscope dans la direction verticale, et le vecteur de moment angulaire le long de l'axe du gyroscope tourne lentement autour d'une ligne verticale passant par le pivot. A la place du gyroscope, imaginez une sphère tournant autour de l'axe et avec son centre sur le pivot du gyroscope, et le long de l'axe du gyroscope deux vecteurs de direction opposée provenant tous deux du centre de la sphère, vers le haut et vers le bas Remplacer la gravité avec une densité de flux magnétique ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {m} .}$${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$représente la vitesse linéaire de la pointe de la flèche le long d'un cercle dont le rayon est où est l'angle entre et la verticale. La vitesse angulaire de rotation du spin est donc ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$${\style d'affichage \,\phi \,}$${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm { {d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf { T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\ ,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi } \,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Par conséquent, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{qed}}}$

Cette relation explique également une contradiction apparente entre les deux termes équivalents, rapport gyromagnétique versus rapport magnétogyrique : alors qu'il s'agit d'un rapport d'une propriété magnétique (c'est-à-dire moment dipolaire ) à une propriété gyrique (rotationnelle, du grec : γύρος , "tourner") ( -à- dire le moment cinétique ), elle est aussi, en même temps , un rapport entre la fréquence de précession angulaire (autre gyric propriété) ω = 2 π f , et le champ magnétique .

La fréquence angulaire de précession a une signification physique importante : C'est la fréquence angulaire cyclotron , la fréquence de résonance d'un plasma ionisé étant sous l'influence d'un champ magnétique fini statique, lorsque l'on superpose un champ électromagnétique haute fréquence.

Voir également

• Rapport charge/masse
• Changement chimique
• Landé g --facteur
• Équation de Larmor
• Rapport gyromagnétique du proton

Les références