Descriptions mathématiques de l'opacité - Mathematical descriptions of opacity

Lorsqu'une onde électromagnétique traverse un milieu dans lequel elle est atténuée (c'est ce qu'on appelle un milieu " opaque " ou " atténuant "), elle subit une décroissance exponentielle telle que décrite par la loi de Beer-Lambert . Cependant, il existe de nombreuses façons de caractériser l'onde et la vitesse à laquelle elle est atténuée. Cet article décrit les relations mathématiques entre :

• coefficient d'atténuation ;
• profondeur de pénétration et profondeur de peau ;
• nombre d'onde angulaire complexe et constante de propagation ;
• indice de réfraction complexe ;
• permittivité électrique complexe ;
• Conductivité alternative ( susceptance ).

Notez que dans bon nombre de ces cas, il existe plusieurs définitions et conventions contradictoires d'usage courant. Cet article n'est pas nécessairement exhaustif ou universel.

Arrière-plan : onde non atténuée

La description

Une onde électromagnétique se propageant dans la direction + z est classiquement décrite par l'équation :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\! ,}$

où

E ₀ est un vecteur dans le plan x - y , avec les unités d'un champ électrique (le vecteur est en général un vecteur complexe , pour tenir compte de toutes les polarisations et phases possibles) ;

ω est la fréquence angulaire de l'onde;

k est le nombre d' onde angulaire de l'onde ;

Re indique la partie réelle ;

e est le nombre d'Euler .

La longueur d'onde est, par définition,

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

Pour une fréquence donnée, la longueur d'onde d'une onde électromagnétique est affectée par le matériau dans lequel elle se propage. La longueur d'onde du vide (la longueur d'onde qu'aurait une onde de cette fréquence si elle se propageait dans le vide) est

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},}$

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

En l'absence d'atténuation, l' indice de réfraction (appelé aussi indice de réfraction ) est le rapport de ces deux longueurs d'onde, c'est à dire,

${\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

L' intensité de l'onde est proportionnelle au carré de l'amplitude, moyennée dans le temps sur de nombreuses oscillations de l'onde, ce qui équivaut à :

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0 }|^{2}.}$

A noter que cette intensité est indépendante de l'emplacement z , signe que cette onde ne s'atténue pas avec la distance. On définit I ₀ égal à cette intensité constante :

${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$

Ambiguïté conjuguée complexe

Parce que

${\displaystyle \operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

l'une ou l'autre expression peut être utilisée de manière interchangeable. Généralement, les physiciens et les chimistes utilisent la convention à gauche (avec e ^{− iωt} ), tandis que les ingénieurs électriciens utilisent la convention à droite (avec e ^{+ iωt} , par exemple voir impédance électrique ). La distinction n'est pas pertinente pour une onde non atténuée, mais devient pertinente dans certains cas ci-dessous. Par exemple, il existe deux définitions de l'indice de réfraction complexe , une avec une partie imaginaire positive et une avec une partie imaginaire négative, dérivées des deux conventions différentes. Les deux définitions sont des conjugués complexes l'une de l'autre.

Coefficient d'atténuation

Une façon d'intégrer l'atténuation dans la description mathématique de l'onde est via un coefficient d'atténuation :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz- \omega t)}\right]\!,}$

où α est le coefficient d'atténuation.

Alors l'intensité de l'onde satisfait :

${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2} =|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$

c'est à dire

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$

Le coefficient d'atténuation, à son tour, est simplement lié à plusieurs autres quantités :

• le coefficient d'absorption est essentiellement (mais pas toujours) synonyme de coefficient d'atténuation ; voir coefficient d'atténuation pour plus de détails ;
• coefficient d'absorption molaire ou coefficient d' extinction molaire , également appelé absorptivité molaire , est le coefficient d'atténuation divisé par la molarité (et généralement multiplié par ln (10), c'est-à-dire décadique); voir loi de Beer-Lambert et absorptivité molaire pour plus de détails ;
• le coefficient d'atténuation de masse , également appelé coefficient d'extinction de masse , est le coefficient d'atténuation divisé par la densité ; voir le coefficient d'atténuation de masse pour plus de détails ;
• la section efficace d'absorption et la section efficace de diffusion sont toutes deux quantitativement liées au coefficient d'atténuation ; voir la section efficace d'absorption et la section efficace de diffusion pour plus de détails ;
• Le coefficient d'atténuation est aussi parfois appelé opacité ; voir opacité (optique) .

Profondeur de pénétration et profondeur de peau

Profondeur de pénétration

Une approche très similaire utilise la profondeur de pénétration :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _ {0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},}$

où δ _stylo est la profondeur de pénétration.

Profondeur de la peau

La profondeur de peau est définie pour que l'onde satisfasse :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0} e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},}$

où δ _peau est la profondeur de la peau.

Physiquement, la profondeur de pénétration est la distance que l'onde peut parcourir avant que son intensité ne diminue d'un facteur 1/ e 0,37. La profondeur de peau est la distance que l'onde peut parcourir avant que son amplitude ne soit réduite par ce même facteur. ${\displaystyle {}\environ {}}$

Le coefficient d'absorption est lié à la profondeur de pénétration et à la profondeur de peau par

${\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {stylo} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.}$

Nombre d'onde angulaire complexe et constante de propagation

Nombre d'onde angulaire complexe

Une autre façon d'incorporer l'atténuation est d'utiliser le nombre d'onde angulaire complexe :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t )}\droite]\!,}$

où k est le nombre d'onde angulaire complexe.

Alors l'intensité de l'onde satisfait :

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\ mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$

c'est à dire

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$

Par conséquent, en comparant cela à l'approche du coefficient d'absorption,

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

Conformément à l' ambiguïté relevée ci - dessus , certains auteurs utilisent la définition conjuguée complexe :

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {k}})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {k}})=-\alpha /2.}$

Constante de propagation

Une approche étroitement liée, particulièrement courante dans la théorie des lignes de transmission , utilise la constante de propagation :

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\ !,}$

où γ est la constante de propagation.

Alors l'intensité de l'onde satisfait :

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{ 0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$

c'est à dire

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}$

En comparant les deux équations, la constante de propagation et le nombre d'onde angulaire complexe sont liés par :

${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$

où le * désigne une conjugaison complexe.

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$

Cette quantité est aussi appelée la constante d'affaiblissement , parfois notée α .

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$

Cette quantité est aussi appelée la constante de phase , parfois notée β .

Malheureusement, la notation n'est pas toujours cohérente. Par exemple, est parfois appelée « constante de propagation » au lieu de γ , qui permute les parties réelles et imaginaires. ${\displaystyle {\underline {k}}}$

Indice de réfraction complexe

Rappelons que dans les milieux non atténuants, l' indice de réfraction et le nombre d'onde angulaire sont liés par :

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$

où

• n est l'indice de réfraction du milieu ;
• c est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• v est la vitesse de la lumière dans le milieu.

Un indice de réfraction complexe peut donc être défini en fonction du nombre d'onde angulaire complexe défini ci-dessus :

${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$

où n est l'indice de réfraction du milieu.

En d'autres termes, l'onde doit satisfaire

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\ mathrm {c} -t)}\right]\!.}$

Alors l'intensité de l'onde satisfait :

${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^ {2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$

c'est à dire

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$

Par rapport à la section précédente, nous avons

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$

Cette quantité est souvent (de manière ambiguë) appelée simplement indice de réfraction .

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha } {4\pi }}.}$

Cette quantité est appelée le coefficient d'extinction et notée κ .

Conformément à l' ambiguïté notée ci - dessus , certains auteurs utilisent la définition conjuguée complexe, où le coefficient d'extinction (encore positif) est moins la partie imaginaire de . ${\displaystyle {\underline {n}}}$

Permittivité électrique complexe

Dans les milieux non atténuants, la permittivité électrique et l' indice de réfraction sont liés par :

${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\ texte{(cgs)}},}$

où

• μ est la perméabilité magnétique du milieu ;
• ε est la permittivité électrique du milieu.
• "SI" fait référence au système d'unités SI , tandis que "cgs" fait référence aux unités Gaussiennes-cgs .

Dans les milieux atténuants, la même relation est utilisée, mais la permittivité peut être un nombre complexe, appelé permittivité électrique complexe :

${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline { n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$

où ε est la permittivité électrique complexe du milieu.

En mettant au carré les deux côtés et en utilisant les résultats de la section précédente, on obtient :

${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\ mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2 }-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\ mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},\qquad \operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})={\frac {\mathrm {c} ^ {2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.}$

Conductivité CA

Une autre façon d'incorporer l'atténuation consiste à utiliser la conductivité électrique, comme suit.

L'une des équations régissant la propagation des ondes électromagnétiques est la loi de Maxwell-Ampère :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\ text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1 }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

où est le champ de déplacement . ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Le branchement de la loi d'Ohm et la définition de la permittivité (réelle)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad { \text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\ varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$

où σ est le (réel, mais dépendant de la fréquence) la conductivité électrique, appelée AC conductivité .

Avec dépendance temporelle sinusoïdale de toutes les quantités, c'est-à-dire

${\displaystyle \mathbf {H} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,}$

le résultat est

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega } }\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\ mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$

Si le courant n'était pas inclus explicitement (par la loi d'Ohm), mais seulement implicitement (par une permittivité complexe), la quantité entre parenthèses serait simplement la permittivité électrique complexe. Par conséquent, ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }} =\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

Par rapport à la section précédente, la conductivité AC satisfait

${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$

Remarques

Les références

• Jackson, John David (1999). Électrodynamique classique (3e éd.). New York : Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction à l'électrodynamique (3e éd.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• JI Pankové (1971). Processus optiques dans les semi-conducteurs . New York : Dover Publications Inc.