Modulo (mathématiques) - Modulo (mathematics)
En mathématiques, le terme modulo (« par rapport à un module de », l' ablatif latin de modulus qui lui-même signifie « une petite mesure ») est souvent utilisé pour affirmer que deux objets mathématiques distincts peuvent être considérés comme équivalents - si leur différence est représenté par un facteur supplémentaire. Il a été initialement introduit dans les mathématiques dans le contexte de l'arithmétique modulaire par Carl Friedrich Gauss en 1801. Depuis lors, le terme a acquis de nombreuses significations, certaines exactes et d'autres imprécises (comme l'assimilation de « modulo » à « à l'exception de »). Pour la plupart, le terme apparaît souvent dans des déclarations de la forme :
- A est le même que B modulo C
ce qui signifie
- A et B sont les mêmes, à l'exception des différences prises en compte ou expliquées par C .
Histoire
Modulo est un jargon mathématique qui a été introduit en mathématiques dans le livre Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. Étant donné les nombres entiers a , b et n , l'expression " a ≡ b (mod n ) ", prononcée " a est congruente à b modulo n ", signifie que a − b est un multiple entier de n , ou de manière équivalente, a et b partagent le même reste lorsqu'ils sont divisés par n . C'est l' ablatif latin de modulus , qui signifie lui-même « une petite mesure ».
Le terme a acquis de nombreuses significations au fil des ans, certaines exactes et d'autres imprécises. La définition précise la plus générale est simplement en termes de relation d'équivalence R , où a est équivalent (ou congruent) à b modulo R si aRb . De manière plus informelle, le terme se trouve dans des énoncés de la forme :
- A est le même que B modulo C
ce qui signifie
- A et B sont les mêmes, à l'exception des différences prises en compte ou expliquées par C .
Usage
Utilisation originale
Gauss avait initialement prévu d'utiliser « modulo » comme suit : étant donné les nombres entiers a , b et n , l'expression a ≡ b (mod n ) (prononcée « a is congruent to b modulo n ») signifie que a − b est un multiple entier de n , ou de manière équivalente, a et b laissent tous deux le même reste lorsqu'ils sont divisés par n . Par example:
- 13 est congru à 63 modulo 10
signifie que
- 13 - 63 est un multiple de 10 (équiv., 13 et 63 diffèrent par un multiple de 10).
L'informatique
En informatique et en informatique , le terme peut être utilisé de plusieurs manières :
- En informatique , c'est typiquement l' opération modulo : étant donné deux nombres (soit entiers, soit réels), a et n , a modulo n est le reste de la division numérique de a par n , sous certaines contraintes.
- Dans la théorie des catégories appliquée à la programmation fonctionnelle, « operating modulo » est un jargon spécial qui fait référence à la mise en correspondance d'un foncteur avec une catégorie en mettant en évidence ou en définissant des restes.
Structures
Le terme « modulo » peut être utilisé différemment, lorsqu'il se réfère à différentes structures mathématiques. Par example:
- Deux membres a et b d'un groupe sont congrus modulo un sous-groupe normal , si et seulement si ab −1 est un membre du sous-groupe normal (voir groupe quotient et théorème d'isomorphisme pour plus d'informations).
- Deux membres d'un anneau ou d'une algèbre sont congrus modulo un idéal , si la différence entre eux est dans l'idéal.
- Utilisé comme un verbe, l'acte de factoriser un sous-groupe normal (ou un idéal) d'un groupe (ou d'un anneau) est souvent appelé « modifier le... » ou « nous modifions maintenant le... ».
- Deux sous-ensembles d'un ensemble infini sont des ensembles finis égaux modulo précisément si leur différence symétrique est finie, c'est-à-dire que vous pouvez supprimer une pièce finie du premier sous-ensemble, puis y ajouter une pièce finie et obtenir le deuxième sous-ensemble comme résultat.
- Une courte suite exacte d'applications conduit à définir un espace quotient comme étant un espace modulo un autre ; ainsi, par exemple, qu'une cohomologie est l'espace des formes fermées modulo des formes exactes.
Modding out
En général, le modding est un terme quelque peu informel qui signifie déclarer des choses équivalentes qui seraient autrement considérées comme distinctes. Par exemple, supposons que la séquence 1 4 2 8 5 7 doit être considérée comme la même que la séquence 7 1 4 2 8 5, car chacune est une version décalée cycliquement de l'autre :
Dans ce cas, l'expression "modding out par décalages cycliques " peut également être utilisée.
Voir également
Les références
Liens externes
- Modulo dans le fichier Jargon