Neper - Neper

Le neper (symbole: Np ) est une unité logarithmique pour les rapports de mesures du champ physique et des grandeurs de puissance, comme le gain et la perte de signaux électroniques. Le nom de l'unité est dérivé du nom de John Napier , l'inventeur des logarithmes. Comme c'est le cas pour le décibel et le bel , le neper est une unité définie dans la norme internationale ISO 80000 . Il ne fait pas partie du Système international d'unités (SI), mais est accepté pour être utilisé parallèlement au SI.

Définition

Comme le décibel , le néper est une unité dans une échelle logarithmique . Alors que le bel utilise le decadic (base 10) logarithme des rapports de calcul, néper utilise le logarithme naturel , basé sur le nombre d'Euler ( e ≈ 2,71828 ). La valeur d'un rapport en nepers est donnée par

{\ displaystyle L _ {\ rm {Np}} = \ ln {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = \ ln x_ {1} - \ ln x_ {2}.}

où et sont les valeurs d'intérêt (amplitudes), et $ln$ est le logarithme naturel. Lorsque les valeurs sont quadratiques en amplitude (par exemple en puissance), elles sont d'abord linéarisées en prenant la racine carrée avant de prendre le logarithme, ou de manière équivalente, le résultat est divisé par deux. ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$

Dans le Système international de grandeurs , le néper est défini comme 1 Np = 1 .

Unités

Le néper est défini en termes de rapports de grandeurs de champ - également appelés grandeurs de puissance racine - (par exemple, amplitudes de tension ou de courant dans les circuits électriques, ou pression en acoustique ), alors que le décibel était à l'origine défini en termes de rapports de puissance . Un rapport de puissance de 10 log r dB équivaut à un rapport de quantité de champ de 20 log r dB, car la puissance dans un système linéaire est proportionnelle au carré ( lois de Joule ) de l'amplitude. Par conséquent, le décibel et le néper ont un rapport fixe l'un par rapport à l'autre:

{\ displaystyle 1 \ {\ text {Np}} = 20 \ log _ {10} e \ {\ text {dB}} \ approx {\ text {8,685889638 dB}} \,}

et

{\ displaystyle 1 \ \ mathrm {dB} = {\ frac {1} {20}} \ ln (10) \ \ mathrm {Np} \ approx {\ text {0.115129255 Np}}. \,}

Le rapport de niveau (de tension) est

{\ displaystyle {\ begin {aligné} L & = 10 \ log _ {10} {\ frac {x_ {1} ^ {2}} {x_ {2} ^ {2}}} & {\ text {dB}} \\ & = 10 \ log _ {10} {\ left ({\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} \ right)} ^ {2} & {\ text {dB}} \\ & = 20 \ log _ {10} {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} & {\ text {dB}} \\ & = \ ln {\ frac {x_ {1}} {x_ { 2}}} & {\ text {Np}}. \\\ end {aligné}}}

Comme le décibel, le neper est une unité sans dimension. L' Union internationale des télécommunications (UIT) reconnaît les deux unités. Seul le néper est cohérent avec le SI.

Applications

Le néper est une unité linéaire naturelle de différence relative , ce qui signifie qu'en népers (unités logarithmiques) les différences relatives s'ajoutent plutôt que se multiplient. Cette propriété est partagée avec les unités logarithmiques dans d'autres bases, telles que le bel.

Cependant, l'unité dérivée du centineper est asymptotiquement égale à la différence en pourcentage pour de très petites différences - puisque la dérivée du log naturel (en 1) est 1; ceci n'est pas partagé avec d'autres unités logarithmiques, qui introduisent un facteur d'échelle en raison du fait que la dérivée n'est pas l'unité.

Le centineper (également appelé point log ) peut donc être utilisé comme remplacement linéaire des différences de pourcentage. Il est défini comme où est le facteur d'échelle, par exemple pour une augmentation de 5% donne une augmentation de 4,88 log points. L'approximation linéaire pour les petites différences de pourcentage, ${\ displaystyle 100 * \ ln (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x = 1.05}$

{\ displaystyle (1+ \ delta) (1+ \ epsilon) = 1 + \ delta + \ epsilon + \ delta \ epsilon \ approx 1+ \ delta + \ epsilon,}

est largement utilisé, en particulier en finance - voir par exemple l' équation de Fisher . Cependant, il n'est qu'approximatif, l'erreur augmentant pour les changements de pourcentage importants.

Mesurées à la place en centinepers, ces approximations linéaires peuvent être remplacées par des égalités exactes, et applicables à tout changement d'amplitude, en définissant la quantité centineper suivante pour tout changement ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle D _ {\ delta} = 100 \ ln {\ frac {(1+ \ delta) -1} {1}} = 100 \ ln \ delta}$

Voir également

Nat (unité)

Les références

Lectures complémentaires

Tuffentsammer, Karl (1956). "Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen" [Le décilog, un pont entre les logarithmes, le décibel, le neper et les nombres préférés]. VDI-Zeitschrift (en allemand). 98 : 267-274.
Paulin, Eugen (01/09/2007). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [ Logarithmes, nombres préférés, décibel, neper, phon - naturellement liés! ] (PDF) (en allemand). Archivé (PDF) de l'original le 18/12/2016 . Récupéré 18/12/2016 .

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