Théorèmes de changement de base - Base change theorems

En mathématiques, les théorèmes de changement de base concernent l' image directe et le pull-back des gerbes . Plus précisément, il s'agit de la carte de changement de base, donnée par la transformation naturelle suivante des gerbes :

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal { F}})}$

où

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{ \to }}&S\end{tableau}}}$

est un carré cartésien d'espaces topologiques et est un faisceau sur X . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

De tels théorèmes existent dans différentes branches de la géométrie : pour les espaces topologiques (essentiellement arbitraires) et les applications propres f , en géométrie algébrique pour les faisceaux (quasi-)cohérents et f propre ou g plat, de même en géométrie analytique , mais aussi pour les faisceaux étales pour f bon ou g lisse.

introduction

Un simple phénomène de changement de base se produit en algèbre commutative lorsque A est un anneau commutatif et que B et A' sont deux A -algèbres. Laissez . Dans cette situation, étant donné un B -module M , il existe un isomorphisme (de A' -modules) : ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

Ici, l'indice indique le foncteur d'oubli, c'est-à-dire est M , mais considéré comme un A -module. En effet, un tel isomorphisme est obtenu en observant ${\style d'affichage M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

Ainsi, les deux opérations, à savoir les foncteurs oublieux et les produits tensoriels commutent au sens de l'isomorphisme ci-dessus. Les théorèmes de changement de base discutés ci-dessous sont des énoncés du même genre.

Définition de la carte de changement de base

Fonctionneurs d'image pour les réas
image directe f *
l' image inverse f *
image directe avec support compact f !
image inversée exceptionnelle Rf !
${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}\leftrightarrows (R)f^{!}}$
Théorèmes de changement de base
v t e

Les théorèmes de changement de base présentés ci-dessous affirment tous que (pour différents types de faisceaux, et sous diverses hypothèses sur les cartes impliquées), que la carte de changement de base suivante

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal { F}})}$

est un isomorphisme, où

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{ \to }}&S\\\end{tableau}}}$

sont des applications continues entre des espaces topologiques qui forment un carré cartésien et un faisceau sur X . Dénote ici l' image directe supérieure de sous f , c'est-à-dire le foncteur dérivé du foncteur image directe (également connu sous le nom de pushforward) . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\style d'affichage f_{*}}$

Cette carte existe sans aucune hypothèse sur les cartes f et g . Elle est construite comme suit : puisque est adjoint à gauche à , il existe une application naturelle (appelée carte unitaire) ${\displaystyle g'^{*}}$${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

et donc

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

La séquence spectrale de Grothendieck donne alors la première carte et la dernière carte (ce sont des cartes de bord) en :

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g' ^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

En combinant cela avec les rendements ci-dessus

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

L'utilisation de l'adjointité de et donne finalement la carte souhaitée. ${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle g_{*}}$

L'exemple introductif précité en est un cas particulier, à savoir pour les schémas affines et, par conséquent, , et le faisceau quasi-cohérent associé au B -module M . ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}} :={\tilde {M}}}$

Il est conceptuellement pratique d'organiser les cartes de changement de base ci-dessus, qui n'impliquent qu'un seul foncteur d'image direct supérieur, en une seule qui encode tout à la fois. En fait, des arguments similaires à ceux ci-dessus donnent une carte dans la catégorie dérivée des faisceaux sur S' :${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

où désigne le foncteur dérivé (total) de . ${\displaystyle Rf_{*}}$${\style d'affichage f_{*}}$

Topologie générale

Changement de base approprié

Si X est un espace topologique de Hausdorff , S est un espace de Hausdorff localement compact et f est universellement fermé (c'est-à- dire une application fermée pour toute application continue ), alors l'application de changement de base ${\displaystyle X\times _{S}T\à T}$${\style d'affichage T\à S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}} }$

est un isomorphisme. En effet, on a : pour , ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r} (X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

et ainsi pour ${\style d'affichage s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}) =H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

Pour coder tous les foncteurs individuels dérivés supérieurs de en une seule entité, la déclaration ci-dessus peut être reformulée de manière équivalente en disant que la carte de changement de base ${\style d'affichage f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

est un quasi-isomorphisme .

Les hypothèses selon lesquelles les espaces impliqués sont Hausdorff ont été affaiblies par Schnürer & Soergel (2016) .

Lurie (2009) a étendu le théorème ci-dessus à la cohomologie des faisceaux non abéliens , c'est-à-dire aux faisceaux prenant des valeurs dans des ensembles simpliciaux (par opposition aux groupes abéliens).

Image directe avec support compact

Si la carte f n'est pas fermée, la carte de changement de base n'a pas besoin d'être un isomorphisme, comme le montre l'exemple suivant (les cartes sont les inclusions standard) :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f \\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

D'une part est toujours zéro, mais si est un système local sur correspondant à une représentation du groupe fondamental (qui est isomorphe à Z ), alors peut être calculé comme les invariants de l' action de monodromie de sur la tige (pour tout ) , qui n'a pas besoin de disparaître. ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$${\style d'affichage \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\style d'affichage x\neq 0}$

Pour obtenir un résultat de changement de base, le foncteur (ou son foncteur dérivé) doit être remplacé par l' image directe à support compact . Par exemple, si est l'inclusion d'un sous-ensemble ouvert, comme dans l'exemple ci-dessus, est l'extension par zéro, c'est-à-dire que ses tiges sont données par ${\style d'affichage f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X. \end{cas}}}$

En général, il existe une application , qui est un quasi-isomorphisme si f est propre, mais pas en général. Le théorème de changement de base propre mentionné ci-dessus a la généralisation suivante : il existe un quasi-isomorphisme ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

Changement de base pour les réas quasi-cohérents

Changement de base approprié

Les théorèmes de changement de base appropriés pour les faisceaux quasi-cohérents s'appliquent dans la situation suivante : est un morphisme propre entre schémas noethériens et est un faisceau cohérent qui est plat sur S (c'est-à-dire est plat sur ). Dans cette situation, les déclarations suivantes sont valables : ${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• "Théorème de semi-continuité":
  • Pour chacun , la fonction est semi-continue supérieure .${\style d'affichage p\geq 0}$${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • La fonction est localement constante, où désigne la caractéristique d'Euler .${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• " Théorème de Grauert " : si S est réduit et connexe, alors pour chacun les éléments suivants sont équivalents ${\style d'affichage p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$ est constant.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$ est localement gratuit et la carte naturelle

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s },{\mathcal {F}}_{s})}$

est un isomorphisme pour tout .${\displaystyle s\in S}$

De plus, si ces conditions sont vérifiées, alors la carte naturelle

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1} (X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

est un isomorphisme pour tout .${\displaystyle s\in S}$

• Si, pour certains p , pour tous , alors la carte naturelle${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1} (X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

est un isomorphisme pour tout .${\displaystyle s\in S}$

Comme la tige de la gerbe est étroitement liée à la cohomologie de la fibre du point sous f , cette déclaration est paraphrasée en disant que "la cohomologie commute avec l'extension de la base". ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

Ces énoncés sont prouvés en utilisant le fait suivant, où en plus des hypothèses ci-dessus : il existe un complexe fini de A -modules projectifs de type fini et un isomorphisme naturel de foncteurs ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle 0\à K^{0}\à K^{1}\à \cdots \à K^{n}\à 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\ puce }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

sur la catégorie des -algèbres. ${\style d'affichage A}$

Changement de base plate

La carte des changements de base

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal { F}})}$

est un isomorphisme pour un faisceau quasi-cohérent (sur ), à condition que l'application soit plate (avec un certain nombre de conditions techniques : f doit être un morphisme séparé de type fini , les schémas impliqués doivent être noethériens). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

Changement de base plate dans la catégorie dérivée

Une extension de grande envergure du changement de base plate est possible lorsque l'on considère la carte de changement de base

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

dans la catégorie dérivée des gerbes sur S', ​​de la même manière que mentionné ci-dessus. Voici le foncteur dérivé (total) du pullback de -modules (car il s'agit d'un produit tensoriel, n'est pas exact lorsque g n'est pas plat et n'est donc pas égal à son foncteur dérivé ). Cette application est un quasi-isomorphisme pourvu que les conditions suivantes soient satisfaites : ${\displaystyle Lg^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g ^{-1}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle g^{*}}$${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\style d'affichage S}$est quasi-compact et est quasi-compact et quasi-séparé,${\style d'affichage f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$est un objet dans , la catégorie dérivée bornée de -modules, et ses faisceaux de cohomologie sont quasi-cohérents (par exemple, pourrait être un complexe borné de faisceaux quasi-cohérents)${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\style d'affichage X}$et sont indépendants de Tor sur , ce qui signifie que si et satisfont , alors pour tous les entiers ,${\style d'affichage S'}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage s'\in S'}$${\style d'affichage f(x)=s=g(s')}$${\style d'affichage p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}} _{S',s'})=0}$.

• Une des conditions suivantes est satisfaite :
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$a fini plat amplitude par rapport à , ce qui signifie qu'il est quasi-isomorphe dans un complexe de telle sorte que est -flat pour tous en dehors d' un intervalle borné ; de façon équivalente, il existe un intervalle tel que pour tout complexe de , on a pour tout à l' extérieur ; ou alors${\style d'affichage f}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage [m,n]}$${\style d'affichage [m,n]}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage [m,n]}$
  • ${\style d'affichage g}$a une dimension Tor finie, ce qui signifie qu'elle a une amplitude plate finie par rapport à .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$${\style d'affichage g}$

Un avantage de cette formulation est que l'hypothèse de planéité a été affaiblie. Cependant, faire des calculs concrets de la cohomologie des membres gauche et droit nécessite maintenant la séquence spectrale de Grothendieck .

Changement de base dans la géométrie algébrique dérivée

La géométrie algébrique dérivée fournit un moyen d'abandonner l'hypothèse de planéité, à condition que le pullback soit remplacé par le pullback d'homotopie . Dans le cas le plus simple où X , S , et sont affines (avec la notation ci-dessus), le pullback d'homotopie est donné par le produit tensoriel dérivé${\style d'affichage X'}$${\style d'affichage S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

Ensuite, en supposant que les schémas (ou, plus généralement, les schémas dérivés) impliqués sont quasi-compacts et quasi-séparés, la transformation naturelle

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

est un quasi-isomorphisme pour tout faisceau quasi-cohérent, ou plus généralement un complexe de faisceaux quasi-cohérents. Le résultat de changement de base plat mentionné ci-dessus est en fait un cas particulier puisque pour g plat le pullback d'homotopie (qui est localement donné par un produit tensoriel dérivé) est en accord avec le pullback ordinaire (localement donné par le produit tensoriel dérivé), et puisque le le retrait le long des cartes plates g et g' est automatiquement dérivé (c'est-à-dire ). Les hypothèses auxiliaires liées à l'indépendance de Tor ou à l'amplitude de Tor dans le théorème de changement de base précédent deviennent également inutiles. ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

Dans la forme ci-dessus, le changement de base a été étendu par Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) à la situation où X , S , et S' sont des stacks (éventuellement dérivés) , à condition que l'application f soit une application parfaite (qui inclut le cas où f est une carte de schémas quasi-compacte, quasi-séparée, mais inclut également des piles plus générales, telles que la pile classifiante BG d'un groupe algébrique en caractéristique zéro).

Variantes et applications

Le changement de base approprié est également valable dans le contexte des variétés complexes . Le théorème sur les fonctions formelles est une variante du changement de base proprement dit, où le retrait est remplacé par une opération de complétion .

Le principe de bascule et le théorème du cube , qui sont des faits fondamentaux dans la théorie des variétés abéliennes , sont une conséquence du changement de base proprement dit.

Un changement de base est également valable pour les D-modules : si X , S , X' et S' sont des variétés lisses (mais f et g n'ont pas besoin d'être plats ou propres, etc.), il existe un quasi-isomorphisme

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

où et désignent les foncteurs image inverse et direct pour les D -modules. ${\displaystyle -^{\dagger }}$${\style d'affichage \int }$

Changement de base pour les réas étales

Pour les faisceaux de torsion étale , il existe deux résultats de changement de base appelés changement de base propre et lisse , respectivement : le changement de base est vérifié si est propre . Elle est également vraie si g est lisse , à condition que f soit quasi-compacte et à condition que la torsion de soit première à la caractéristique des champs résiduels de X . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:X\rightarrow S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Le fait suivant est étroitement lié au changement de base approprié (les deux théorèmes sont généralement prouvés simultanément) : soit X une variété sur un corps séparablement clos et un faisceau constructible sur . Alors sont finis dans chacun des cas suivants : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X_{\text{et}}}$${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• X est complet, ou
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$n'a pas de p -torsion, où p est la caractéristique de k .

Sous des hypothèses supplémentaires, Deninger (1988) a étendu le théorème de changement de base approprié aux faisceaux étales sans torsion.

Applications

En étroite analogie avec la situation topologique mentionnée ci-dessus, la carte de changement de base pour une immersion ouverte f ,

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

n'est généralement pas un isomorphisme. Au lieu de cela l' extension par zéro foncteur satisfait un isomorphisme ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

Ce fait et le changement de base approprié suggèrent de définir le foncteur image directe avec support compact pour une application f par

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

où est une compactification de f , c'est-à-dire une factorisation en une immersion ouverte suivie d'une application propre. Le théorème de changement de base approprié est nécessaire pour montrer que celui-ci est bien défini, c'est-à-dire indépendant (à isomorphisme près) du choix de la compactification. De plus, toujours par analogie avec le cas des faisceaux sur un espace topologique, une formule de changement de base pour vs est valable pour les applications non propres f . ${\displaystyle f=p\circ j}$${\displaystyle g_{*}}$${\displaystyle Rf_{!}}$

Pour la carte structurelle d'un système sur un champ k , les cohomologies individuels , désignés par appelés cohomologie avec support compact . C'est une variante importante de la cohomologie étale habituelle . ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

Des idées similaires sont également utilisées pour construire un analogue du foncteur dans la théorie de l'homotopie A ¹ . ${\displaystyle Rf_{!}}$

Voir également

• Le point de vue relatif de Grothendieck en géométrie algébrique
• Changement de base (homonymie)
• Changement de base levée des formes automorphes

Lectures complémentaires

• Esnault, H. ; Kerz, M. ; Wittenberg, O. (2016), "A restriction isomorphism for cycles of relative dimension zero", Cambridge Journal of Mathematics , 4 (2) : 163–196, arXiv : 1503.08187v2 , doi : 10.4310/CJM.2016.v4.n2 .a1 , S2CID  54896268

Remarques

Les références

• Artin, Michel ; Grothendieck, Alexandre ; Verdier, Jean-Louis (1972), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF) , Notes de cours en mathématiques (en français), 305 , Berlin; New York : Springer-Verlag , pp. vi+640, doi : 10.1007/BFb0070714 , ISBN 978-3-540-06118-2
• Ben-Zvi, David ; François, Jean ; Nadler, David (2010), "Transformations intégrales et centres de Drinfeld en géométrie algébrique dérivée", J. Amer. Math. Soc. , 23 (4) : 909-966, arXiv : 0805.0157 , doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7 , MR  2669705 , S2CID  2202294
• Berthelot, Pierre ; Grothendieck, Alexandre ; Illusie, Luc (1971), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Notes de cours en mathématiques 225 ) (en français), Berlin; New York : Springer-Verlag , xii+700, doi : 10.1007/BFb0066283 , ISBN 978-3-540-05647-8
• Deninger, Christopher (1988), "A proper base change theorem for non-torsion sheaves in étale cohomology", Journal of Pure and Applied Algebra , 50 (3): 231-235, doi : 10.1016/0022-4049(88)90102 -8
• Gabber, " ?? Théorèmes de finitude pour la cohomologie étale d'excellents schémas "
• Grauert, Hans (1960), "Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen" (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 5 : 5–64, doi : 10.1007/BF02684746 , S2CID  122593346 , Zbl  0100.08001
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• Schnürer, OM ; Soergel, W. (2016), « Changement de base approprié pour des cartes localement appropriées séparées », Rend. Sémin. Tapis. Univ. Padoue , 135 : 223–250, arXiv : 1404.7630v2 , doi : 10.4171/RSMUP/135-13 , S2CID  118024164
• Vakil, Ravi (2015), Fondements de la géométrie algébrique (PDF)

Liens externes

• Le document de Brian Conrad
• Problème de semi-continuité