Module généré fini - Finitely generated module

En mathématiques , un module de génération finie est un module qui possède un groupe électrogène fini . Un module de type fini sur un anneau R peut aussi être appelé un fini R -module , finie sur R , ou un module de type fini .

Concepts associés comprennent des modules finiment cogénérée , modules présentés finiment , modules liés finiment et modules cohérents qui sont tous définis ci - dessous. Sur un anneau noéthérien, les concepts de modules de génération finie, de présentation finie et cohérents coïncident.

Un module de génération finie sur un champ est simplement un espace vectoriel de dimension finie , et un module de génération finie sur les entiers est simplement un groupe abélien de génération finie .

Définition

Le R -module gauche M est fini s'il existe un ₁ , un ₂ , ..., un _n dans M tel que pour tout x dans M , il existe r ₁ , r ₂ , ..., r _n dans R avec x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

L' ensemble { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } est appelé ensemble générateur de M dans ce cas. Un besoin de groupe électrogène fini ne soit pas une base, car il ne doit pas être linéairement indépendants sur R . Ce qui est vrai, c'est que M est fini si et seulement s'il existe une application R- linéaire surjective :

${\ displaystyle R ^ {n} \ à M}$

pour un certain n ( M est un quotient d'un module libre de rang fini.)

Si un ensemble S génère un module qui est de génération finie, alors il existe un groupe électrogène fini qui est inclus dans S , car seuls un nombre fini d'éléments dans S sont nécessaires pour exprimer un groupe électrogène fini, et ces éléments finis forment un groupe électrogène . Cependant, il peut arriver que S ne contienne aucun groupe électrogène fini de cardinalité minimale . Par exemple {1} et l'ensemble des nombres premiers sont des ensembles générateurs de vue comme -module, mais un ensemble générateur formé à partir de nombres premiers a au moins deux éléments. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Dans le cas où le module M est un espace vectoriel sur un champ R , et le groupe électrogène est linéairement indépendant , n est bien défini et est appelé la dimension de M ( bien défini signifie que tout groupe électrogène linéairement indépendant a n éléments: c'est le théorème de dimension des espaces vectoriels ).

Tout module est l'union de l' ensemble dirigé de ses sous-modules finis.

Un module M est de type fini si et seulement si une chaîne croissante M _i de sous - modules avec union M stabilise: à savoir, il existe un i tel que M _i = M . Ce fait avec le lemme de Zorn implique que chaque module de génération finie non nul admet des sous-modules maximaux . Si une chaîne croissante de sous-modules se stabilise (c'est-à-dire qu'un sous-module est généré de manière finie), alors le module M est appelé un module Noetherian .

Exemples

• Si un module est généré par un élément, il est appelé module cyclique .
• Soit R un domaine intégral avec K son champ de fractions. Ensuite , tous les finiment engendré R -submodule I de K est un idéal fractionnaire : qui est, il y a un non nul r dans R tel que rI est contenu dans R . En effet, on peut prendre r être le produit des dénominateurs des générateurs de I . Si R est noéthérien, alors chaque idéal fractionnaire se présente de cette manière.
• Les modules de génération finie sur l'anneau d' entiers Z coïncident avec les groupes abéliens de génération finie . Ceux-ci sont complètement classés par le théorème de structure , en prenant Z comme domaine idéal principal.
• Les modules finis (disons à gauche) sur un anneau de division sont précisément des espaces vectoriels de dimension finie (sur l'anneau de division).

Quelques faits

Chaque image homomorphe d'un module de génération finie est générée de manière finie. En général, les sous - modules de modules finis n'ont pas besoin d'être générés finement. À titre d'exemple, considérons l'anneau R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] de tous les polynômes dans un nombre dénombrable de variables. R lui-même est un module R de génération finie (avec {1} comme groupe électrogène). Considérons le sous-module K constitué de tous ces polynômes à terme constant nul. Puisque chaque polynôme ne contient qu'un nombre fini de termes dont les coefficients sont non nuls, le R -module K n'est pas généré de manière finie.

En général, un module est dit noéthérien si chaque sous-module est généré de manière finie. Un module fini sur un anneau Noetherian est un module Noetherian (et en effet cette propriété caractérise les anneaux Noetherian): Un module sur un anneau Noetherian est généré finement si et seulement si c'est un module Noetherian. Cela ressemble, mais n'est pas exactement au théorème de base de Hilbert , qui déclare que l'anneau polynomial R [ X ] sur un anneau noetherian R est noetherian. Les deux faits impliquent qu'une algèbre commutative de génération finie sur un anneau noetherian est à nouveau un anneau noetherian.

Plus généralement, une algèbre (par exemple, un anneau) qui est un module de génération finie est une algèbre de génération finie . Inversement, si une algèbre de génération finie est intégrale (sur l'anneau de coefficients), alors il s'agit d'un module de génération finie. (Voir l' élément intégral pour plus.)

Soit 0 → M ′ → M → M ′ ′ → 0 une suite exacte de modules. Alors M est fini si M ' , M' ' sont finis. Il y a quelques conversions partielles à cela. Si M est de génération finie et M '' est de présentation finie (ce qui est plus fort que de génération finie; voir ci-dessous), alors M ' est de génération finie. Aussi, M est Noetherian (resp. Artinien) si et seulement si M ′ , M ′ ′ sont Noetherian (resp. Artinian).

Soit B un anneau et A son sous-nom tel que B soit un A -module droit fidèlement plat . Alors un A -module F gauche est de génération finie (resp. De présentation finie) si et seulement si le B -module B ⊗ _A F est de génération finie (resp. De présentation finie).

Modules finis sur un anneau commutatif

Pour les modules de génération finie sur un anneau commutatif R , le lemme de Nakayama est fondamental. Parfois, le lemme permet de prouver des phénomènes d'espaces vectoriels de dimension finie pour des modules de génération finie. Par exemple, si f  : M → M est un surjective R -endomorphism d'un module de type fini M , alors f est également injective , et est donc un automorphismes de M . Cela dit simplement que M est un module de Hopfian . De même, un module artinien M est coHopfien : tout endomorphisme injectif f est aussi un endomorphisme surjectif.

Tout module R est une limite inductive des sous-modules R de génération finie. Ceci est utile pour affaiblir une hypothèse au cas fini (par exemple, la caractérisation de la planéité avec le foncteur Tor .)

Un exemple de lien entre la génération finie et les éléments intégraux peut être trouvé dans les algèbres commutatives. Dire qu'une algèbre commutative A est un anneau de génération finie sur R signifie qu'il existe un ensemble d'éléments G = { x ₁ , ..., x _n } de A tel que le plus petit sous-ensemble de A contenant G et R est A lui-même. Comme le produit annulaire peut être utilisé pour combiner des éléments, plus que de simples combinaisons R- linéaires d'éléments de G sont générées. Par exemple, un anneau polynomial R [ x ] est fini par {1, x } comme un anneau, mais pas comme un module . Si A est une algèbre commutative (avec unité) sur R , alors les deux instructions suivantes sont équivalentes:

• A est un module R de génération finie.
• A est à la fois un anneau fini sur R et un prolongement solidaire de R .

Rang générique

Soit M soit un module de type fini sur un anneau intègre A avec le corps des fractions K . Ensuite , la dimension est appelée le rang générique de M sur A . Ce numéro est le même que le nombre de maximal A vecteurs -linearly indépendants dans M ou le rang de manière équivalente un sous - module libre maximale de M . (cf. rang d'un groupe abélien .) Depuis , est un module de torsion . Quand A est noéthérien, par liberté générique , il y a un élément f (dépendant de M ) tel que c'est un -module libre . Ensuite , le rang de ce module gratuit est le rang générique de M . ${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {K} (M \ otimes _ {A} K)}$${\ displaystyle (M / F) _ {(0)} = M _ {(0)} / F _ {(0)} = 0}$${\ displaystyle M / F}$${\ displaystyle M [f ^ {- 1}]}$${\ displaystyle A [f ^ {- 1}]}$

Supposons maintenant que le domaine intégral A soit généré sous forme d'algèbre sur un corps k par un nombre fini d'éléments homogènes de degrés . Supposons que M est classé aussi bien et laissez - être la série Poincaré de M . D'après le théorème de Hilbert – Serre , il existe un polynôme F tel que . Ensuite , est le rang générique de M . ${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle P_ {M} (t) = \ somme \ nom_opérateur {dim} _ {k} (M_ {n}) t ^ {n}}$${\ displaystyle P_ {M} (t) = F (t) \ prod (1-t ^ {d_ {i}}) ^ {- 1}}$${\ displaystyle F (1)}$

Un module de génération finie sur un domaine idéal principal est sans torsion si et seulement s'il est libre. Ceci est une conséquence du théorème de structure pour les modules de génération finie sur un domaine idéal principal , dont la forme de base dit qu'un module de génération finie sur un PID est une somme directe d'un module de torsion et d'un module libre. Mais on peut aussi le montrer directement comme suit: soit M un module de génération finie sans torsion sur un PID A et F un sous-module libre maximal. Soit f dans A tel que . Alors c'est gratuit puisqu'il s'agit d'un sous-module d'un module libre et A est un PID. Mais c'est maintenant un isomorphisme puisque M est sans torsion. ${\ displaystyle fM \ subset F}$${\ displaystyle fM}$${\ displaystyle f: M \ à fM}$

Par le même argument que ci-dessus, un module de génération finie sur un domaine Dedekind A (ou plus généralement un anneau semi-héréditaire ) est sans torsion si et seulement s'il est projectif ; par conséquent, un module de génération finie sur A est une somme directe d'un module de torsion et d'un module projectif. Un module projectif de génération finie sur un domaine intégral noéthérien a un rang constant et donc le rang générique d'un module de génération finie sur A est le rang de sa partie projective.

Définitions équivalentes et modules finement cogénérés

Les conditions suivantes sont équivalentes à la génération finie de M (fg):

• Pour toute famille de sous-modules { N _i | i ∈ I} dans M , si , alors pour un fini sous - ensemble F de I .${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} N_ {i} = M \,}$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in F} N_ {i} = M \,}$
• Pour toute chaîne de sous-modules { N _i | i ∈ I} dans M , si , alors N _i = M pour certains i dans I .${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} N_ {i} = M \,}$
• Si est un épimorphisme , la restriction est un épimorphisme pour un sous - ensemble fini F de I .${\ displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ in I} R \ to M \,}$${\ displaystyle \ phi: \ bigoplus _ {i \ in F} R \ to M \,}$

A partir de ces conditions, il est facile de voir que la génération finie est une propriété préservée par l' équivalence Morita . Les conditions sont également commodes pour définir une double notion de module M finement cogénéré . Les conditions suivantes sont équivalentes à la cogénération finie d'un module (f.cog.):

• Pour toute famille de sous-modules { N _i | i ∈ I} dans M , si , alors pour un sous - ensemble fini F de I .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in F} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• Pour toute chaîne de sous-modules { N _i | i ∈ I} dans M , si , alors N _i = {0} pour certains i dans I .${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} N_ {i} = \ {0 \} \,}$
• Si est un monomorphisme , où chacun est un R module, est un monomorphisme pour un sous - ensemble fini F de I .${\ displaystyle \ phi: M \ to \ prod _ {i \ in I} N_ {i} \,}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle \ phi: M \ to \ prod _ {i \ in F} N_ {i} \,}$

Les modules fg et f.cog. les modules ont des relations intéressantes avec les modules noéthériens et artiniens, et le radical Jacobson J ( M ) et socle soc ( M ) d'un module. Les faits suivants illustrent la dualité entre les deux conditions. Pour un module M :

• M est noéthérien si et seulement si chaque sous-module N de M est fg
• M est artinien si et seulement si chaque module quotient M / N est f.cog.
• M est fg si et seulement si J ( M ) est un sous - module superflu de M , et M / J ( M ) est fg
• M est f.cog. si et seulement si soc ( M ) est un sous - module essentiel de M , et soc ( M ) est fg
• Si M est un module semi - simple (tel que soc ( N ) pour tout module N ), c'est fg si et seulement si f.cog.
• Si M est fg et non nul, alors M a un sous-module maximal et tout module quotient M / N est fg
• Si M est f.cog. et différent de zéro, alors M a un sous-module minimal, et tout sous-module N de M est f.cog.
• Si N et M / N sont fg, alors M l' est aussi . Il en va de même si «fg» est remplacé par «f.cog».

Les modules finement cogénérés doivent avoir une dimension uniforme finie . Ceci est facilement visible en appliquant la caractérisation à l'aide du socle essentiel de génération finie. De manière quelque peu asymétrique, les modules de génération finie n'ont pas nécessairement une dimension uniforme finie. Par exemple, un produit direct infini d'anneaux non nuls est un module (cyclique!) De génération finie sur lui-même, mais il contient clairement une somme directe infinie de sous-modules non nuls. Les modules finis n'ont pas nécessairement non plus nécessairement de dimension co-uniforme finie : tout anneau R avec l'unité telle que R / J ( R ) n'est pas un anneau semi-simple est un contre-exemple.

Modules à présentation finie, liés finis et cohérents

Une autre formulation est la suivante: un module M de génération finie est celui pour lequel il existe un épimorphisme

f: R ^k → M .

Supposons maintenant qu'il y ait un épimorphisme,

φ: F → M .

pour un module M et un module F libre .

• Si le noyau de φ est de génération finie, alors M est appelé un module fini . Puisque M est isomorphe à F / ker (φ), cela exprime fondamentalement que M est obtenu en prenant un module libre et en introduisant un nombre fini de relations dans F (les générateurs de ker (φ)).
• Si le noyau de φ est de génération finie et que F a un rang fini (ie F = R ^k ), alors M est dit être un module de présentation finie . Ici, M est spécifié en utilisant un nombre fini de générateurs (les images des k générateurs de F = R ^k ) et de relations finement nombreuses (les générateurs de ker (φ)). Voir aussi: présentation gratuite . Les modules à présentation finie peuvent être caractérisés par une propriété abstraite dans la catégorie des modules R : ce sont précisément les objets compacts de cette catégorie.
• Un module cohérent M est un module de génération finie dont les sous-modules de génération finie sont présentés de manière finie.

Sur n'importe quel anneau R , les modules cohérents sont présentés de manière finie, et les modules de présentation finie sont à la fois générés et liés finement. Pour un anneau noéthérien R , généré fini, présenté finement et cohérent sont des conditions équivalentes sur un module.

Un certain croisement se produit pour les modules projectifs ou plats. Un module projectif de génération finie est présenté de manière finie, et un module plat de type fini est projectif.

Il est vrai aussi que les conditions suivantes sont équivalentes pour un anneau R :

1. R est un anneau cohérent droit .
2. Le module R _R est un module cohérent.
3. Chaque module R droit à présentation finie est cohérent.

Bien que la cohérence semble être une condition plus lourde que celle générée ou présentée finement, elle est plus agréable qu'eux puisque la catégorie des modules cohérents est une catégorie abélienne , alors qu'en général, ni les modules de génération finie ni de présentation finie ne forment une catégorie abélienne.

Voir également

• Élément intégral
• Lemme Artin – Rees
• Module généré en nombre
• Algèbre finie

Références

Manuels

• Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introduction à l'algèbre commutative , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., Pp. Ix + 128, MR  0242802
• Bourbaki, Nicolas , Algèbre commutative. Chapitres 1 à 7 . Traduit du français. Réimpression de la traduction anglaise de 1989. Éléments de mathématiques (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv + 625 p. ISBN  3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings , Boston, Massachusetts: Allyn and Bacon Inc., pp. X + 180, MR  0254021
• Lam, TY (1999), Conférences sur les modules et les anneaux , Textes diplômés en mathématiques n ° 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (3e éd.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
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• Springer, Tonny A. (1977), Théorie invariante , Notes de cours en mathématiques, 585 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0095644 , ISBN 978-3-540-08242-2.