Épimorphisme - Epimorphism

Dans la théorie des catégories , un épimorphisme (également appelé morphisme épique ou, familièrement, épi ) est un morphisme f : X → Y qui est annulant à droite au sens où, pour tous les objets Z et tous les morphismes g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

{\ displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ implique g_ {1} = g_ {2}.}

Les épimorphismes sont des analogues catégoriques de fonctions on ou surjectives (et dans la catégorie des ensembles le concept correspond exactement aux fonctions surjectives), mais ils peuvent ne pas coïncider exactement dans tous les contextes; par exemple, l'inclusion est un épimorphisme en anneau. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie dual C ^op ). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}$

De nombreux auteurs en algèbre abstraite et l' algèbre universelle définissent un épimorphisme comme un simple sur ou surjective homomorphisme . Tout épimorphisme dans ce sens algébrique est un épimorphisme au sens de la théorie des catégories, mais l'inverse n'est pas vrai dans toutes les catégories. Dans cet article, le terme «épimorphisme» sera utilisé dans le sens de la théorie des catégories donnée ci-dessus. Pour plus d'informations à ce sujet, voir § Terminologie ci-dessous.

Exemples

Tout morphisme dans une catégorie concrète dont la fonction sous-jacente est surjective est un épimorphisme. Dans de nombreuses catégories d'intérêt concrètes, l'inverse est également vrai. Par exemple, dans les catégories suivantes, les épimorphismes sont exactement ces morphismes qui sont surjectifs sur les ensembles sous-jacents:

Set : ensembles et fonctions. Pour prouver que tout épimorphisme f : X → Y dans Set est surjectif, on le compose à la fois avec la fonction caractéristique g ₁ : Y → {0,1} de l'image f ( X ) et l'application g ₂ : Y → {0 , 1} qui est la constante 1.
Rel : ensembles avec des relations binaires et des fonctions de préservation des relations. Ici, nous pouvons utiliser la même preuve que pour Set , en équipant {0,1} de la relation complète {0,1} × {0,1}.
Pos : ensembles partiellement ordonnés et fonctions monotones . Si f : ( X , ≤) → ( Y , ≤) n'est pas surjective, choisir y ₀ dans Y \ f ( X ) et soit g ₁ : Y → {0,1} la fonction caractéristique de { y | y ₀ ≤ y } et g ₂ : Y → {0,1} la fonction caractéristique de { y | y ₀ < y }. Ces cartes sont monotones si {0,1} est donné l'ordre standard 0 <1.
Grp : groupes et homomorphismes de groupe . Le résultat que chaque épimorphisme dans Grp est surjectif est dû à Otto Schreier (il a en fait prouvé plus, montrant que chaque sous - groupe est un égaliseur utilisant le produit libre avec un sous-groupe fusionné); une preuve élémentaire peut être trouvée dans (Linderholm 1970).
FinGrp : groupes finis et homomorphismes de groupe. Aussi dû à Schreier; la preuve donnée dans (Linderholm 1970) établit également ce cas.
Ab : groupes abéliens et homomorphismes de groupe.
K -Vect : espaces vectoriels sur un champ K et K -transformations linéaires .
Mod - R : modules droits sur un anneau R et homomorphismes des modules . Cela généralise les deux exemples précédents; pour prouver que tout épimorphisme f : X → Y dans Mod - R est surjectif, nous le composons à la fois avec l' application de quotient canonique g ₁ : Y → Y / f ( X ) et l'application zéro g ₂ : Y → Y / f ( X ).
En haut : espaces topologiques et fonctions continues . Pour prouver que tout épimorphisme dans Top est surjectif, nous procédons exactement comme dans Set , en donnant {0,1} la topologie indiscrète , ce qui garantit que toutes les cartes considérées sont continues.
HComp : espaces Hausdorff compacts et fonctions continues. Si f : X → Y n'est pas surjective, soit y ∈ Y - fX . Puisque fX est fermé, par le lemme d'Urysohn il y a une fonction continue g ₁ : Y → [0,1] telle que g ₁ est 0 sur fX et 1 sur y . Nous composons f avec à la fois g ₁ et la fonction zéro g ₂ : Y → [0,1].

Cependant, il existe également de nombreuses catégories concrètes d'intérêt où les épimorphismes ne parviennent pas à être surjectifs. Quelques exemples sont:

Dans la catégorie des monoïdes , Mon , l'application d' inclusion N → Z est un épimorphisme non surjectif. Pour voir cela, supposons que g ₁ et g ₂ sont deux cartes distinctes de Z à certains monoïde M . Alors pour un certain n dans Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), donc g ₁ ( -n ) ≠ g ₂ (- n ). Soit n, soit - n est dans N , donc les restrictions de g ₁ et g ₂ à N sont inégales.
Dans la catégorie des algèbres sur anneau commutatif R , prenons R [ N ] → R [ Z ], où R [ G ] est l' anneau de groupe du groupe G et le morphisme est induit par l'inclusion N → Z comme dans l'exemple précédent . Cela découle de l'observation que 1 génère l'algèbre R [ Z ] (notez que l'unité dans R [ Z ] est donnée par 0 de Z ), et l'inverse de l'élément représenté par n dans Z est juste l'élément représenté par - n . Ainsi , tout homomorphisme de R [ Z ] est déterminée de façon unique par sa valeur sur l'élément représenté par une des Z .
Dans la catégorie des anneaux , Ring , l'application d'inclusion Z → Q est un épimorphisme non surjectif; pour voir cela, notez que tout homomorphisme en anneau sur Q est entièrement déterminé par son action sur Z , similaire à l'exemple précédent. Un argument similaire montre que l'homomorphisme en anneau naturel de tout anneau commutatif R vers l'une de ses localisations est un épimorphisme.
Dans la catégorie des anneaux commutatifs , un homomorphisme fini d'anneaux f : R → S est un épimorphisme si et seulement si pour tous les idéaux premiers P de R , l'idéal Q généré par f ( P ) est soit S soit premier, et si Q n'est pas S , l'application induite Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) est un isomorphisme ( EGA IV 17.2.6).
Dans la catégorie des espaces de Hausdorff, Haus , les épimorphismes sont précisément les fonctions continues avec des images denses . Par exemple, la carte d'inclusion Q → R , est un épimorphisme non surjectif.

Ce qui précède diffère du cas des monomorphismes où il est plus fréquemment vrai que les monomorphismes sont précisément ceux dont les fonctions sous-jacentes sont injectives .

Quant aux exemples d'épimorphismes dans les catégories non concrètes:

Si un monoïde ou un anneau est considéré comme une catégorie avec un seul objet (composition de morphismes donnée par multiplication), alors les épimorphismes sont précisément les éléments annulables à droite.
Si un graphe orienté est considéré comme une catégorie (les objets sont les sommets, les morphismes sont les chemins, la composition des morphismes est la concaténation des chemins), alors tout morphisme est un épimorphisme.

Propriétés

Tout isomorphisme est un épimorphisme; en effet seul un inverse droit est nécessaire: s'il existe un morphisme j : Y → X tel que fj = id _Y , alors f : X → Y est facilement perçu comme un épimorphisme. Une carte avec un tel inverse à droite est appelée un epi divisé . Dans un topos , une carte qui est à la fois un morphisme monique et un épimorphisme est un isomorphisme.

La composition de deux épimorphismes est à nouveau un épimorphisme. Si la composition fg de deux morphismes est un épimorphisme, alors f doit être un épimorphisme.

Comme le montrent certains des exemples ci-dessus, la propriété d'être un épimorphisme n'est pas déterminée par le morphisme seul, mais aussi par la catégorie de contexte. Si D est une sous - catégorie de C , puis tous les morphisme en D qui est un épimorphisme lorsqu'elle est considérée comme un morphisme dans C est également un épimorphisme dans D . Cependant, l'inverse ne doit pas tenir; la plus petite catégorie peut (et aura souvent) plus d'épimorphismes.

Comme pour la plupart des concepts dans la théorie des catégories, épimorphismes sont conservées sous des équivalences de catégories : compte tenu de l'équivalence F : C → D , un morphisme f est un épimorphisme dans la catégorie C si et seulement si F ( f ) est un épimorphisme dans D . Une dualité entre deux catégories transforme les épimorphismes en monomorphismes, et vice versa.

La définition de l'épimorphisme peut être reformulée pour affirmer que f : X → Y est un épimorphisme si et seulement si les applications induites

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}

sont injective pour tous les choix de Z . Cela équivaut à son tour à la transformation naturelle induite

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matrix}}}

étant un monomorphisme dans la catégorie foncteur Set ^C .

Chaque coéqualiseur est un épimorphisme, une conséquence de l'exigence d'unicité dans la définition des coéqualiseurs. Il s'ensuit en particulier que chaque cokernel est un épimorphisme. L'inverse, à savoir que chaque épimorphisme est un coéqualiseur, n'est pas vrai dans toutes les catégories.

Dans de nombreuses catégories, il est possible d'écrire chaque morphisme comme la composition d'un épimorphisme suivi d'un monomorphisme. Par exemple, étant donné un homomorphisme de groupe f : G → H , on peut définir le groupe K = im ( f ) puis écrire f comme la composition de l'homomorphisme surjectif G → K défini comme f , suivi de l'homomorphisme injectif K → H qui envoie chaque élément à lui-même. Une telle factorisation d'un morphisme arbitraire en un épimorphisme suivi d'un monomorphisme peut être réalisée dans toutes les catégories abéliennes et aussi dans toutes les catégories concrètes mentionnées ci-dessus dans les § Exemples (mais pas dans toutes les catégories concrètes).

Concepts associés

Entre autres concepts utiles sont epimorphisme réguliers , extremal epimorphisme , epimorphisme immédiate , epimorphisme forte et epimorphisme scission .

Un épimorphisme est dit régulier s'il s'agit d'un coéqualiseur d'une paire de morphismes parallèles.
Un épimorphisme est dit extrême si dans chaque représentation , où est un monomorphisme , le morphisme est automatiquement un isomorphisme . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Un épimorphisme est dit immédiat si dans chaque représentation , où est un monomorphisme et est un épimorphisme, le morphisme est automatiquement un isomorphisme . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Un épimorphisme est dit fort si pour tout monomorphisme et tout morphisme et tel qu'il existe un morphisme tel que et . ${\ displaystyle \ varepsilon: A \ à B}$ ${\ displaystyle \ mu: C \ à D}$ ${\ displaystyle \ alpha: A \ à C}$ ${\ displaystyle \ beta: B \ to D}$ ${\ displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alpha}$ ${\ displaystyle \ delta: B \ à C}$ ${\ displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
Un épimorphisme est dit divisé s'il existe un morphisme tel que (dans ce cas, on appelle un inverse à droite pour ). ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Il y a aussi la notion d' épimorphisme homologique dans la théorie des anneaux. Un morphisme f : A → B d'anneaux est un épimorphisme homologique s'il s'agit d'un épimorphisme et il induit un foncteur plein et fidèle sur les catégories dérivées : D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Un morphisme qui est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme est appelé un bimorphisme . Tout isomorphisme est un bimorphisme mais l'inverse n'est pas vrai en général. Par exemple, l'application de l' intervalle semi-ouvert [0,1) au cercle unitaire S ¹ (considéré comme un sous - espace du plan complexe ) qui envoie x à exp (2πi x ) (voir la formule d'Euler ) est continue et bijectif mais pas un homéomorphisme puisque l'application inverse n'est pas continue à 1, donc c'est une instance d'un bimorphisme qui n'est pas un isomorphisme dans la catégorie Top . Un autre exemple est l'intégration Q → R dans la catégorie Haus ; comme indiqué ci-dessus, il s'agit d'un bimorphisme, mais ce n'est pas bijectif et donc pas un isomorphisme. De même, dans la catégorie des anneaux , l'application Z → Q est un bimorphisme mais pas un isomorphisme.

Les épimorphismes permettent de définir des objets quotients abstraits dans des catégories générales: deux épimorphismes f ₁ : X → Y ₁ et f ₂ : X → Y ₂ sont dits équivalents s'il existe un isomorphisme j : Y ₁ → Y ₂ avec j f ₁ = f ₂ . Ceci est une relation d'équivalence , et les classes d'équivalence sont définis comme étant les objets de quotient de X .

Terminologie

Les termes compagnons épimorphisme et monomorphisme ont été introduits pour la première fois par Bourbaki . Bourbaki utilise l' épimorphisme comme raccourci pour une fonction surjective . Les premiers théoriciens des catégories pensaient que les épimorphismes étaient l'analogue correct des surjections dans une catégorie arbitraire, tout comme les monomorphismes sont presque un analogue exact des injections. Malheureusement, cela est incorrect; Les épimorphismes forts ou réguliers se comportent beaucoup plus étroitement aux surjections que les épimorphismes ordinaires. Saunders Mac Lane a tenté de créer une distinction entre les épimorphismes , qui étaient des cartes dans une catégorie concrète dont les cartes d'ensemble sous-jacentes étaient surjectives, et les morphismes épiques , qui sont des épimorphismes au sens moderne. Cependant, cette distinction n'a jamais fait son chemin.

C'est une erreur courante de croire que les épimorphismes sont soit identiques aux surjections, soit qu'ils constituent un meilleur concept. Malheureusement, c'est rarement le cas; les épimorphismes peuvent être très mystérieux et avoir un comportement inattendu. Il est par exemple très difficile de classer tous les épimorphismes des anneaux. En général, les épimorphismes sont leur propre concept unique, lié aux surjections mais fondamentalement différent.

Voir également

Remarques

Les références

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Catégories abstraites et concrètes (PDF) . John Wiley et fils. ISBN 0-471-60922-6 .
Bergman, George (2015). Une invitation à l'algèbre générale et aux constructions universelles . Springer. ISBN 978-3-319-11478-1 .
Borceux, Francis (1994). Manuel d'algèbre catégorique. Volume 1: Théorie de base des catégories . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0521061193 .
Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fondements de la théorie des catégories . Nauka. ISBN 5-02-014427-4 .
"Epimorphism" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Ensembles pour les mathématiques . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-80444-2 .
Linderholm, Carl (1970). "Un Epimorphisme de Groupe est Surjectif" . American Mathematical Monthly . 77 : 176-177. doi : 10.1080 / 00029890.1970.11992448 .

Liens externes

épimorphisme dans nLab
Épimorphisme fort dans nLab

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