Groupe de boucles - Loop group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotient Produit (semi) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de guirlande Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie de groupe
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Théorème de Cauchy Théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow Théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe Quaternion Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle Linéaire général GL ( n ) SL linéaire spécial ( n ) Orthogonal O ( n ) Euclidienne E ( n ) SO orthogonal spécial ( n ) Unitaire U ( n ) Unitaire spécial SU ( n ) Symplectique Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie dimensionnel infini O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

Groupes de mensonge
Groupes classiques
Groupes de Lie simples Classique Un n B n C n D n Exceptionnel G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Autres groupes de Lie Cercle Lorentz Poincaré Groupe conforme Difféomorphisme Boucle Euclidienne
Algèbres de Lie
Algèbre de Lie semi-simple
Théorie de la représentation
Groupes de Lie en physique
Scientifiques Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm tuant Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossaire Tableau des groupes de Lie
v t e

En mathématiques , un groupe de bouclage est un groupe de boucles d'un groupe topologique G avec multiplication défini par points .

Définition

Dans sa forme la plus générale un groupe de bouclage est un groupe d'applications continues à partir d' un collecteur M à un groupe topologique G .

Plus précisément, soit M = S ¹ , le cercle dans le plan complexe , et que LG désigne l' espace des applications continues S ¹ → G , soit

${\ displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ to G | \ gamma \ in C (S ^ {1}, G) \},}$

équipé de la topologie compacte ouverte . Un élément de LG est appelée une boucle dans G . La multiplication ponctuelle de telles boucles donne à LG la structure d'un groupe topologique. Paramétrer S ¹ avec θ ,

${\ displaystyle \ gamma: \ theta \ in S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ theta) \ in G,}$

et définir la multiplication dans LG par

${\ displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ theta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ theta) \ gamma _ {2} (\ theta).}$

Associativité résulte de l' associativité dans G . L'inverse est donné par

${\ displaystyle \ gamma ^ {- 1}: \ gamma ^ {- 1} (\ theta) \ equiv \ gamma (\ theta) ^ {- 1},}$

et l'identité par

${\ displaystyle e: \ theta \ mapsto e \ in G.}$

L'espace LG est appelé le groupe boucle libre sur G . Un groupe de boucles est n'importe quel sous - groupe du groupe de boucles libres LG .

Exemples

Un exemple important de groupe en boucle est le groupe

${\ displaystyle \ Omega G \,}$

des boucles sur la base G . Il est défini comme le noyau de la carte d'évaluation

${\ displaystyle e_ {1}: LG \ vers G, \ gamma \ mapsto \ gamma (1)}$ ,

et donc est un sous-groupe normal fermé de LG . (Ici, e ₁ est la carte qui envoie une boucle à sa valeur à .) Notez que nous pouvons incorporer G dans LG en tant que sous-groupe de boucles constantes. Par conséquent, nous arrivons à une séquence exacte fractionnée${\ displaystyle 1 \ in S ^ {1}}$

${\ displaystyle 1 \ à \ Omega G \ à LG \ à G \ à 1}$ .

L'espace LG se divise en produit semi-direct ,

${\ displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}$ .

On peut aussi penser Ω G comme l' espace de boucle sur G . De ce point de vue, Ω G est un espace H par rapport à la concaténation de boucles. À première vue, cela semble fournir à Ω G deux cartes de produits très différentes. Cependant, on peut montrer que la concaténation et la multiplication ponctuelle sont homotopes . Ainsi, en termes de théorie d'homotopie de Ω G , ces cartes sont interchangeables.

Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformées de Bäcklund dans les équations de solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck .

Remarques

Les références

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1997). A. van Groesen; EM de Jager; APE Ten Kroode (éd.). Algèbres de Lie de dimension finie et infinie et leur application en physique . Etudes en physique mathématique. 7 . Hollande du Nord. ISBN   978-0-444-82836-1 - via ScienceDirect .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986), Groupes de boucles , Monographies mathématiques d'Oxford. Oxford Science Publications, New York: Oxford University Press , ISBN   978-0-19-853535-5 , MR   0900587 CS1 maint: paramètre découragé ( lien )

Voir également

• Espace de boucle
• Algèbre de boucle
• Quasigroup