Moyenne sphérique - Spherical mean

La moyenne sphérique d'une fonction (représentée en rouge) est la moyenne des valeurs (en haut, en bleu) sur une "sphère" de rayon donné autour d'un point donné (en bas, en bleu). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u (y)}$${\ displaystyle y}$

En mathématiques , la moyenne sphérique d'une fonction autour d'un point est la moyenne de toutes les valeurs de cette fonction sur une sphère de rayon donné centrée en ce point.

Définition

Considérons un ensemble ouvert U dans l' espace euclidien R ⁿ et une fonction continue u définie sur U avec des valeurs réelles ou complexes . Soit x un point en U et r  > 0 de telle sorte que la fermeture boule B ( x ,  r ) de centre x et de rayon r est contenu dans U . La moyenne sphérique sur la sphère de rayon r centrée en x est définie comme

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {n-1} (r)}} \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! u (y) \, \ mathrm {d } S (y)}$

où ∂ B ( x ,  r ) est la ( n  - 1) -phère formant la frontière de B ( x ,  r ), d S désigne l'intégration par rapport à la mesure sphérique et ω _{n −1} ( r ) est la "surface "de cette ( n  - 1) sphère.

De manière équivalente, la moyenne sphérique est donnée par

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {n-1}}} \ int \ limits _ {\ | y \ | = 1} \! u (x + ry) \, \ mathrm {d} S (y)}$

où ω _{n −1} est l'aire de la ( n  - 1) sphère de rayon 1.

La moyenne sphérique est souvent notée

${\ Displaystyle \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \, u (y) \, \ mathrm {d} S (y).}$

La moyenne sphérique est également définie pour les variétés riemanniennes de manière naturelle.

Propriétés et usages

• De la continuité de celui - ci découle que la fonction ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle r \ to \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \, u (y) \, \ mathrm {d} S (y)}$

est continue, et que sa limite telle quelle ${\ displaystyle r \ à 0}$${\ Displaystyle u (x).}$

• Des moyennes sphériques peuvent être utilisées pour résoudre le problème de Cauchy pour l' équation d'onde en dimension d'espace impaire. Le résultat, connu sous le nom de formule de Kirchoff, est dérivé en utilisant des moyens sphériques pour réduire l'équation d'onde dans (pour impair ) à l'équation d'onde dans , puis en utilisant la formule de d'Alembert . L'expression elle-même est présentée dans l'article sur l'équation des vagues . ${\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} u = c ^ {2} \, \ Delta u}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Si est un ensemble ouvert dans et est une fonction C ² définie sur , alors est harmonique si et seulement si pour tout en et tout tel que la boule fermée est contenue dans on a ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle B (x, r)}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle u (x) = \ int \ limits _ {\ partial B (x, r)} \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \, u (y) \, \ mathrm {d} S (y).}$

Ce résultat peut être utilisé pour prouver le principe maximum des fonctions harmoniques.

Références

• Evans, Lawrence C. (1998). Equations différentielles partielles . Société mathématique américaine. ISBN   978-0-8218-0772-9 .

• Sabelfeld, KK; Shalimova, IA (1997). Moyens sphériques pour les PDE . VSP. ISBN   978-90-6764-211-8 .
• Sunada, Toshikazu (1981). "Moyens sphériques et chaînes géodésiques dans une variété riemannienne". Trans. Un m. Math. Soc . 267 : 483–501.

Liens externes

• Moyenne sphérique chez PlanetMath .