Théorie des anneaux - Ring theory

Structures algébriques
groupe -comme Grouper Semi-groupe  / Monoïde Rack et quandle Quasigroupe et boucle groupe abélien Magma Groupe de mensonges Théorie des groupes
Anneau- comme Anneau Rng Semiring Près de l'anneau Anneau commutatif Domaine intégral Champ Anneau de division Théorie des anneaux
Lattice -comme Treillis Semi-treillis Treillis complémentaire Commande totale Heyting algèbre Algèbre de Boole Carte des treillis Théorie des réseaux
Module- like Module Groupe avec opérateurs Espace vectoriel Algèbre linéaire
comme l' algèbre Algèbre Associatif Non associatif Algèbre de composition algèbre de mensonge Noté Bialgèbre
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Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
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En algèbre , la théorie des anneaux est l'étude des anneaux — des structures algébriques dans lesquelles l'addition et la multiplication sont définies et ont des propriétés similaires à celles des opérations définies pour les nombres entiers . Des études théoriques Sonnez la structure des anneaux, leurs représentations , ou, dans différentes langues, des modules , des classes spéciales d'anneaux ( anneaux de groupe , anneaux de division , algèbres enveloppantes universelles ), ainsi qu'un éventail de propriétés qui se sont révélées d'intérêt à l'intérieur la théorie elle-même et pour ses applications, telles que les propriétés homologiques et les identités polynomiales .

Les anneaux commutatifs sont bien mieux compris que les non-commutatifs. La géométrie algébrique et la théorie algébrique des nombres , qui fournissent de nombreux exemples naturels d'anneaux commutatifs, ont été à l'origine d'une grande partie du développement de la théorie des anneaux commutatifs, qui est maintenant, sous le nom d' algèbre commutative , un domaine majeur des mathématiques modernes. Parce que ces trois domaines (géométrie algébrique, théorie algébrique des nombres et algèbre commutative) sont si intimement liés qu'il est généralement difficile et dénué de sens de décider à quel domaine appartient un résultat particulier. Par exemple, le Nullstellensatz de Hilbert est un théorème qui est fondamental pour la géométrie algébrique, et est énoncé et prouvé en termes d'algèbre commutative. De même, le dernier théorème de Fermat est énoncé en termes d' arithmétique élémentaire , qui fait partie de l'algèbre commutative, mais sa preuve implique des résultats profonds à la fois de la théorie algébrique des nombres et de la géométrie algébrique.

Les anneaux non commutatifs ont une saveur assez différente, car un comportement plus inhabituel peut survenir. Alors que la théorie s'est développée d'elle-même, une tendance assez récente a cherché à mettre en parallèle le développement commutatif en construisant la théorie de certaines classes d'anneaux non commutatifs de façon géométrique comme s'il s'agissait d'anneaux de fonctions sur (inexistant) les espaces'. Cette tendance a commencé dans les années 1980 avec le développement de la géométrie non commutative et avec la découverte des groupes quantiques . Cela a conduit à une meilleure compréhension des anneaux non commutatifs, en particulier des anneaux noethériens non commutatifs .

Pour les définitions d'un anneau et les concepts de base et leurs propriétés, voir Anneau (mathématiques) . Les définitions des termes utilisés tout au long de la théorie des anneaux peuvent être trouvées dans Glossaire de la théorie des anneaux .

Anneaux commutatifs

Un anneau est dit commutatif si sa multiplication est commutative . Les anneaux commutatifs ressemblent aux systèmes de nombres familiers, et diverses définitions des anneaux commutatifs sont conçues pour formaliser les propriétés des nombres entiers . Les anneaux commutatifs sont également importants en géométrie algébrique . Dans la théorie des anneaux commutatifs, les nombres sont souvent remplacés par des idéaux , et la définition de l' idéal premier essaie de capturer l'essence des nombres premiers . Les domaines intégraux , les anneaux commutatifs non triviaux où aucun élément non nul ne se multiplie pour donner zéro, généralisent une autre propriété des nombres entiers et servent de domaine approprié pour étudier la divisibilité. Les domaines idéaux principaux sont des domaines intégraux dans lesquels chaque idéal peut être généré par un seul élément, une autre propriété partagée par les entiers. Les domaines euclidiens sont des domaines intégraux dans lesquels l' algorithme euclidien peut être exécuté. Des exemples importants d'anneaux commutatifs peuvent être construits comme des anneaux de polynômes et leurs anneaux de facteurs. Résumé: domaine euclidienne ⊂ principale domaine idéal ⊂ domaine unique factorisation ⊂ domaine intégral ⊂ anneau commutatif .

Géométrie algébrique

La géométrie algébrique est à bien des égards l'image miroir de l'algèbre commutative. Cette correspondance a commencé avec le Nullstellensatz de Hilbert qui établit une correspondance biunivoque entre les points d'une variété algébrique et les idéaux maximaux de son anneau de coordonnées . Cette correspondance a été élargie et systématisée pour traduire (et prouver) la plupart des propriétés géométriques des variétés algébriques en propriétés algébriques des anneaux commutatifs associés. Alexander Grothendieck a complété cela en introduisant des schémas , une généralisation des variétés algébriques, qui peuvent être construites à partir de n'importe quel anneau commutatif. Plus précisément, le spectre d'un anneau commutatif est l'espace de ses idéaux premiers muni de la topologie de Zariski , et augmenté d'un faisceau d'anneaux. Ces objets sont les "schémas affines" (généralisation des variétés affines ), et un schéma général est alors obtenu en "collant ensemble" (par des méthodes purement algébriques) plusieurs de ces schémas affines, par analogie à la manière de construire une variété en collant ensemble les cartes d'un atlas .

Anneaux non commutatifs

Les anneaux non commutatifs ressemblent à bien des égards aux anneaux de matrices . Suivant le modèle de la géométrie algébrique , des tentatives ont été faites récemment pour définir une géométrie non commutative basée sur des anneaux non commutatifs. Les anneaux non commutatifs et les algèbres associatives (anneaux qui sont aussi des espaces vectoriels ) sont souvent étudiés via leurs catégories de modules. Un module sur un anneau est un groupe abélien sur lequel l'anneau agit comme un anneau d' endomorphismes , très semblable à la façon dont les champs (domaines entiers dans lesquels chaque élément non nul est inversible) agissent sur les espaces vectoriels. Des exemples d'anneaux non commutatifs sont donnés par des anneaux de matrices carrées ou plus généralement par des anneaux d'endomorphismes de groupes ou modules abéliens, et par des anneaux monoïdes .

Théorie des représentations

La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui s'appuie fortement sur les anneaux non commutatifs. Il étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d' espaces vectoriels , et étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. En substance, une représentation rend un objet algébrique abstrait plus concret en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations algébriques en termes d' addition matricielle et de multiplication matricielle , ce qui est non commutatif. Les objets algébriques se prêtant à une telle description comprennent les groupes , les algèbres associatives et les algèbres de Lie . La plus importante d'entre elles (et historiquement la première) est la théorie de la représentation des groupes , dans laquelle les éléments d'un groupe sont représentés par des matrices inversibles de telle sorte que l'opération de groupe est la multiplication matricielle.

Quelques théorèmes pertinents

Général

• Théorèmes d'isomorphisme pour les anneaux
• Lemme de Nakayama

Théorèmes de structure

• Le théorème d'Artin-Wedderburn détermine la structure des anneaux semi - simples
• Le théorème de densité de Jacobson détermine la structure des anneaux primitifs
• Le théorème de Goldie détermine la structure des anneaux de Goldie semi - premiers
• Le théorème de Zariski-Samuel détermine la structure d'un anneau idéal principal commutatif
• Le théorème de Hopkins-Levitzki donne les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un anneau noethérien soit un anneau artinien
• La théorie de Morita consiste en des théorèmes déterminant quand deux anneaux ont des catégories de modules "équivalentes"
• Le théorème de Cartan-Brauer-Hua donne un aperçu de la structure des anneaux de division
• Le petit théorème de Wedderburn états qui finis domaines sont des domaines

Autre

• Le théorème de Skolem-Noether caractérise les automorphismes des anneaux simples

Structures et invariants des anneaux

Dimension d'un anneau commutatif

Dans cette section, R désigne un anneau commutatif. La dimension de Krull de R est le supremum des longueurs n de toutes les chaînes d'idéaux premiers . Il s'avère que l'anneau polynomial sur un corps k a une dimension n . Le théorème fondamental de la théorie des dimensions stipule que les nombres suivants coïncident pour un anneau local noethérien : ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$${\displaystyle k[t_{1},\cdots ,t_{n}]}$${\style d'affichage (R,{\mathfrak {m}})}$

• La dimension de Krull de R .
• Le nombre minimum des générateurs des idéaux primaires.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• La dimension de l'anneau gradué (équivalent, 1 plus le degré de son polynôme de Hilbert ).${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m} }^{k+1}}}$

Un anneau commutatif R est dit caténaire si pour chaque paire d'idéaux premiers , il existe une chaîne finie d'idéaux premiers qui est maximale en ce sens qu'il est impossible d'insérer un idéal premier supplémentaire entre deux idéaux de la chaîne, et tout ces chaînes maximales entre et ont la même longueur. Pratiquement tous les anneaux noethériens qui apparaissent dans les applications sont des caténaires. Ratliff a prouvé qu'un domaine intégral local noethérien R est caténaire si et seulement si pour tout idéal premier , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}}$

où est la hauteur de . ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Si R est un domaine intégral qui est une k -algèbre de type fini , alors sa dimension est le degré de transcendance de son champ de fractions sur k . Si S est une extension intégrale d'un anneau commutatif R , alors S et R ont la même dimension.

Des concepts étroitement liés sont ceux de profondeur et de dimension globale . En général, si R est un anneau local noethérien, alors la profondeur de R est inférieure ou égale à la dimension de R . Lorsque l'égalité est vérifiée, R est appelé un anneau de Cohen-Macaulay . Un anneau local régulier est un exemple d'anneau Cohen-Macaulay. C'est un théorème de Serre que R est un anneau local régulier si et seulement s'il a une dimension globale finie et dans ce cas la dimension globale est la dimension de Krull de R . La signification de ceci est qu'une dimension globale est une notion homologique .

Équivalence Morita

Deux anneaux R , S sont dits équivalents de Morita si la catégorie des modules à gauche sur R est équivalente à la catégorie des modules à gauche sur S . En fait, deux anneaux commutatifs qui sont équivalents à Morita doivent être isomorphes, donc la notion n'ajoute rien de nouveau à la catégorie des anneaux commutatifs. Cependant, les anneaux commutatifs peuvent être Morita équivalents aux anneaux non commutatifs, donc l'équivalence Morita est plus grossière que l'isomorphisme. L'équivalence de Morita est particulièrement importante en topologie algébrique et en analyse fonctionnelle.

Module projectif de génération finie sur un anneau et un groupe de Picard

Soit R un anneau commutatif et l'ensemble des classes d'isomorphismes de modules projectifs de type fini sur R ; Soit aussi des sous-ensembles constitués de ceux de rang constant n . (Le rang d'un module M est la fonction continue .) est généralement noté Pic( R ). C'est un groupe abélien appelé groupe de Picard de R . Si R est un domaine entier avec le corps des fractions F de R , alors il existe une suite exacte de groupes : ${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \mathbf {P} _{1}(R)}$

${\displaystyle 1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R) \à 1}$

où est l'ensemble des idéaux fractionnaires de R . Si R est un domaine régulier (c'est-à-dire régulier à tout idéal premier), alors Pic(R) est précisément le groupe de classe diviseur de R . ${\displaystyle \operatorname {Cart} (R)}$

Par exemple, si R est un domaine idéal principal, alors Pic( R ) disparaît. En théorie algébrique des nombres, R sera considéré comme l' anneau des nombres entiers , qui est Dedekind et donc régulier. Il s'ensuit que Pic( R ) est un groupe fini ( finité du nombre de classe ) qui mesure l'écart de l'anneau d'entiers par rapport à un PID.

On peut aussi envisager la réalisation de groupe de ; il en résulte un anneau commutatif K ₀ (R). Notons que K ₀ (R) = K ₀ (S) si deux anneaux commutatifs R , S sont équivalents de Morita. ${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$

Structure des anneaux non commutatifs

La structure d'un anneau non commutatif est plus compliquée que celle d'un anneau commutatif. Par exemple, il existe des anneaux simples , ne contenant pas d'idéaux propres non triviaux (bilatérales), qui contiennent des idéaux gauche ou droit propres non triviaux. Divers invariants existent pour les anneaux commutatifs, alors que les invariants des anneaux non commutatifs sont difficiles à trouver. Par exemple, le nilradical d'un anneau , l'ensemble de tous les éléments nilpotents, n'a pas besoin d'être un idéal à moins que l'anneau ne soit commutatif. Plus précisément, l'ensemble de tous les éléments nilpotents dans l'anneau de toutes les matrices n x n sur un anneau de division ne forme jamais un idéal, quel que soit l'anneau de division choisi. Il existe cependant des analogues du nilradical défini pour les anneaux non commutatifs, qui coïncident avec le nilradical lorsque la commutativité est supposée.

Le concept du radical Jacobson d'un anneau; qui est, l'intersection de tous les droit / gauche annihilateurs de simples modules droite / gauche sur un anneau, est un exemple. Le fait que le radical de Jacobson puisse être considéré comme l'intersection de tous les idéaux maximaux droite/gauche dans l'anneau, montre comment la structure interne de l'anneau est reflétée par ses modules. C'est aussi un fait que l'intersection de tous les idéaux maximaux de droite dans un anneau est la même que l'intersection de tous les idéaux maximaux de gauche dans l'anneau, dans le contexte de tous les anneaux ; qu'elles soient commutatives ou non commutatives.

Les anneaux non commutatifs constituent un domaine de recherche actif en raison de leur ubiquité en mathématiques. Par exemple, l'anneau de matrices n par n sur un champ n'est pas commutatif malgré son apparition naturelle en géométrie , en physique et dans de nombreuses parties des mathématiques. Plus généralement, les anneaux d'endomorphisme des groupes abéliens sont rarement commutatifs, l'exemple le plus simple étant l'anneau d'endomorphisme du groupe des quatre de Klein .

L'un des anneaux non commutatifs les plus connus est l'anneau de division des quaternions .

Applications

L'anneau d'entiers d'un champ numérique

L'anneau de coordonnées d'une variété algébrique

Si X est une variété algébrique affine , l'ensemble de toutes les fonctions régulières sur X forme un anneau appelé anneau de coordonnées de X . Pour une variété projective , il existe un anneau analogue appelé anneau de coordonnées homogène . Ces anneaux sont essentiellement les mêmes choses que les variétés : ils correspondent essentiellement d'une manière unique. Cela peut être vu via les Nullstellensatz de Hilbert ou les constructions de la théorie des schémas (c'est-à-dire Spec et Proj).

Anneau d'invariants

Une question fondamentale (et peut-être la plus fondamentale) de la théorie invariante classique est de trouver et d'étudier des polynômes dans l'anneau polynomial qui sont invariants sous l'action d'un groupe fini (ou plus généralement réducteur) G sur V . L'exemple principal est l' anneau des polynômes symétriques : les polynômes symétriques sont des polynômes invariants par permutation de variable. Le théorème fondamental des polynômes symétriques stipule que cet anneau est l' endroit où se trouvent les polynômes symétriques élémentaires. ${\style d'affichage k[V]}$${\displaystyle R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

Histoire

La théorie des anneaux commutatifs est issue de la théorie algébrique des nombres, de la géométrie algébrique et de la théorie des invariants . Au cœur du développement de ces sujets se trouvaient les anneaux d'entiers dans les champs de nombres algébriques et les champs de fonctions algébriques, et les anneaux de polynômes dans deux variables ou plus. La théorie des anneaux non commutatifs a commencé avec des tentatives d'étendre les nombres complexes à divers systèmes de nombres hypercomplexes . La genèse des théories des anneaux commutatifs et non commutatifs remonte au début du XIXe siècle, alors que leur maturité n'a été atteinte que dans la troisième décennie du XXe siècle.

Plus précisément, William Rowan Hamilton a mis en avant les quaternions et les biquaternions ; James Cockle a présenté des tessarines et des coquaternions ; et William Kingdon Clifford était un passionné des biquaternions divisés , qu'il appelait moteurs algébriques . Ces algèbres non commutatives et les algèbres de Lie non associatives ont été étudiées au sein de l'algèbre universelle avant que le sujet ne soit divisé en types de structures mathématiques particuliers . Un signe de réorganisation était l'utilisation de sommes directes pour décrire la structure algébrique.

Les divers nombres hypercomplexes ont été identifiés avec des anneaux matriciels par Joseph Wedderburn (1908) et Emil Artin (1928). Les théorèmes de structure de Wedderburn ont été formulés pour des algèbres de dimension finie sur un corps tandis qu'Artin les a généralisés aux anneaux artiniens .

En 1920, Emmy Noether , en collaboration avec W. Schmeidler, a publié un article sur la théorie des idéaux dans lequel ils définissaient les idéaux de gauche et de droite dans un anneau . L'année suivante, elle a publié un article historique intitulé Idealtheorie in Ringbereichen , analysant les conditions de la chaîne ascendante en ce qui concerne les idéaux (mathématiques). Le célèbre algébriste Irving Kaplansky a qualifié ce travail de « révolutionnaire » ; la publication a donné naissance au terme « anneau noetherian », et plusieurs autres objets mathématiques étant appelés noetherian .

Remarques

Les références

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