Processus stochastiques et problèmes de valeurs aux limites - Stochastic processes and boundary value problems

En mathématiques , certains problèmes de valeurs aux limites peuvent être résolus en utilisant les méthodes de l'analyse stochastique . L'exemple le plus célèbre est peut-être la solution de 1944 par Shizuo Kakutani du problème de Dirichlet pour l' opérateur de Laplace utilisant le mouvement brownien . Cependant, il s'avère que pour une grande classe d' équations différentielles partielles semi-elliptiques du second ordre , le problème de valeur aux limites de Dirichlet associé peut être résolu en utilisant un processus Itō qui résout une équation différentielle stochastique associée .

Introduction: la solution de Kakutani au problème classique de Dirichlet

Soit un domaine (un ensemble ouvert et connecté ) dans . Soit l' opérateur de Laplace , soit une fonction bornée sur la frontière , et considérons le problème: ${\ displaystyle D}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ partial D}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = 0, & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {y \ to x} u (y)} = g (x), & x \ dans \ partial D \ end {cases}}}$

On peut montrer que si une solution existe, alors est la valeur attendue de au premier point de sortie (aléatoire) de pour un mouvement brownien canonique commençant à . Voir théorème 3 dans Kakutani 1944, p. 710. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x}$

Le problème de Dirichlet – Poisson

Soit un domaine in et soit un opérateur différentiel semi-elliptique de la forme: ${\ displaystyle D}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle L}$${\ textstyle C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} (x) {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} + \ sum _ {i, j = 1 } ^ {n} a_ {ij} (x) {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}}}$

où les coefficients et sont des fonctions continues et toutes les valeurs propres de la matrice sont non négatives. Laissez et . Considérez le problème de Poisson : ${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ alpha (x) = a_ {ij} (x)}$${\ textstyle f \ en C (D; \ mathbb {R})}$${\ textstyle g \ en C (\ partial D; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} -Lu (x) = f (x), & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {y \ to x} u (y)} = g (x), & x \ in \ partial D \ end {cases}} \ quad {\ mbox {(P1)}}}$

L'idée de la méthode stochastique pour résoudre ce problème est la suivante. En premier lieu , on trouve un de diffusion Itō dont le générateur infinitésimal coïncide avec le compact soutenus fonctions . Par exemple, peut être considéré comme la solution de l'équation différentielle stochastique: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}) \, \ mathrm {d} B_ {t}}$

où est le mouvement brownien à n dimensions, a des composantes comme ci-dessus, et le champ de matrice est choisi de telle sorte que: ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma (x) \ sigma (x) ^ {\ top} = a (x), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n} }$

Pour un point , désignons la loi de la donnée initiale donnée , et désignons l'espérance par rapport à . Soit la première heure de sortie de from . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {0} = x}$${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {x}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x}}$${\ displaystyle \ tau _ {D}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$

Dans cette notation, la solution candidate pour (P1) est:

${\ displaystyle u (x) = \ mathbb {E} ^ {x} \ left [g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)} \ cdot \ chi _ {\ {\ tau _ {D} <+ \ infty \}} \ right] + \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} f (X_ {t}) \ , \ mathrm {d} t \ right]}$

à condition qu'il s'agisse d' une fonction limitée et que: ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} {\ big |} f (X_ {t}) {\ big |} \, \ mathrm {d} t \ right] <+ \ infty}$

Il s'avère qu'une condition supplémentaire est requise:

${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x} {\ big (} \ tau _ {D} <\ infty {\ big)} = 1, \ quad \ forall x \ in D}$

Pour tous , le processus à partir de presque sûrement des feuilles dans le temps fini. Sous cette hypothèse, la solution candidate ci-dessus se réduit à: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle u (x) = \ mathbb {E} ^ {x} \ left [g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)} \ right] + \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} f (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t \ right]}$

et résout (P1) en ce sens que si désigne l'opérateur caractéristique pour (qui est en accord avec les fonctions sur ), alors: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} - {\ mathcal {A}} u (x) = f (x), & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {t \ uparrow \ tau _ {D}} u (X_ {t})} = g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)}, & \ mathbb {P} ^ {x} {\ mbox {-as,}} \ ; \ forall x \ in D \ end {cases}} \ quad {\ mbox {(P2)}}}$

De plus, si satisfait (P2) et qu'il existe une constante telle que, pour tous : ${\ textstyle v \ in C ^ {2} (D; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x \ en D}$

${\ displaystyle | v (x) | \ leq C \ left (1+ \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} {\ big |} g (X_ {s}) {\ big |} \, \ mathrm {d} s \ right] \ right)}$

alors . ${\ displaystyle v = u}$

Les références

• Kakutani, Shizuo (1944). "Mouvement brownien bidimensionnel et fonctions harmoniques" . Proc. Lutin. Acad. Tokyo . 20 (10): 706–714. doi : 10.3792 / pia / 1195572706 .
• Kakutani, Shizuo (1944). "Sur les mouvements browniens dans n -space" . Proc. Lutin. Acad. Tokyo . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792 / pia / 1195572742 .
• Øksendal, Bernt K. (2003). Equations différentielles stochastiques: une introduction avec des applications (sixième éd.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (Voir la section 9)