Théorie de la roue - Wheel theory

Une roue est un type d' algèbre (au sens d' algèbre universelle ) où la division est toujours définie. En particulier, la division par zéro est significative. Les nombres réels peuvent être étendus à une roue, tout comme n'importe quel anneau commutatif .

Le terme roue est inspiré de l' image topologique de la ligne projective avec un point supplémentaire . ${\displaystyle \odot }$${\displaystyle \bot =0/0}$

Une roue peut être considérée comme l'équivalent d'un anneau commutatif (et d'un semi - anneau ) où l'addition et la multiplication ne sont pas un groupe mais respectivement un monoïde commutatif et un monoïde commutatif avec involution .

Définition

Une roue est une structure algébrique dans laquelle ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$

• ${\style d'affichage W}$ est un ensemble,
• ${\style d'affichage {}0}$et sont des éléments de cet ensemble,${\style d'affichage 1}$
• ${\style d'affichage +}$et sont des opérations binaires ,${\displaystyle \cdot }$
• ${\style d'affichage /}$est une opération unaire ,

et satisfaisant aux propriétés suivantes :

• ${\style d'affichage +}$et sont chacun commutatifs et associatifs , et ont et comme leurs identités respectives .${\displaystyle \cdot }$${\style d'affichage \,0}$${\style d'affichage 1}$
• ${\style d'affichage //x=x}$( est une involution )${\style d'affichage /}$
• ${\style d'affichage /(xy)=/x/y}$( est multiplicatif )${\style d'affichage /}$
• ${\style d'affichage xz+yz=(x+y)z+0z}$
• ${\style d'affichage (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\style d'affichage 0\cdot 0=0}$
• ${\style d'affichage (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\style d'affichage /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\style d'affichage 0/0+x=0/0}$

Algèbre des roues

Les roues remplacent la division habituelle en tant qu'opération binaire avec la multiplication, avec une opération unaire appliquée à un argument similaire (mais pas identique) à l' inverse multiplicatif , tel qui devient un raccourci pour , mais ni ni en général, et modifie les règles de l' algèbre tels cette ${\style d'affichage /x}$ ${\style d'affichage x^{-1}}$${\style d'affichage a/b}$${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\style d'affichage 0x\neq 0}$ dans le cas général
• ${\style d'affichage x/x\neq 1}$dans le cas général, as n'est pas la même chose que l' inverse multiplicatif de .${\style d'affichage /x}$${\style d'affichage x}$

D'autres identités qui peuvent être dérivées sont

• ${\style d'affichage 0x+0y=0xy}$
• ${\style d'affichage x/x=1+0x/x}$
• ${\style d'affichage xx=0x^{2}}$

où la négation est définie par et s'il existe un élément tel que (donc dans le cas général ). ${\style d'affichage -x}$${\style d'affichage -x=ax}$${\style d'affichage xy=x+(-y)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage 1+a=0}$${\style d'affichage xx\neq 0}$

Cependant, pour avec et , nous obtenons l'habituel ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage 0x=0}$${\style d'affichage 0/x=0}$

• ${\style d'affichage x/x=1}$
• ${\style d'affichage xx=0}$

Si la négation peut être définie comme ci-dessus, le sous - ensemble est un anneau commutatif et chaque anneau commutatif est un tel sous-ensemble d'une roue. Si est un élément inversible de l'anneau commutatif alors . Ainsi, chaque fois que cela a du sens, il est égal à , mais ce dernier est toujours défini, même lorsque . ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x^{-1}=/x}$${\style d'affichage x^{-1}}$${\style d'affichage /x}$${\style d'affichage x=0}$

Exemples

Roue des fractions

Soit un anneau commutatif, et soit un sous- monoïde multiplicatif de . Définir la relation de congruence sur via ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$${\style d'affichage A\fois A}$

${\style d'affichage (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$signifie qu'il existe tel que .${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$${\style d'affichage (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

Définir la roue des fractions de par rapport à comme le quotient (et désignant la classe d'équivalence contenant as ) avec les opérations ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$${\style d'affichage (x_{1},x_{2})}$${\style d'affichage [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (Identité additive)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (identité multiplicative)

${\style d'affichage /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (opération réciproque)

${\style d'affichage [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2} y_{2}]}$           (opération d'addition)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (opération de multiplication)

Ligne projective et sphère de Riemann

Le cas particulier de ce qui précède commençant par un champ produit une ligne projective étendue à une roue en jouxtant un élément , où . La ligne projective est elle-même une extension du champ d'origine par un élément , où pour tout élément du champ. Cependant, est toujours indéfini sur la ligne projective, mais est défini dans son extension à une roue. ${\displaystyle \bot }$${\displaystyle 0/0=\bot }$${\style d'affichage \infty }$${\displaystyle z/0=\infty }$${\style d'affichage z\neq 0}$${\style d'affichage 0/0}$

En partant des nombres réels , la « ligne » projective correspondante est géométriquement un cercle , puis le point supplémentaire donne la forme qui est à l'origine du terme « roue ». Ou en commençant par les nombres complexes à la place, la "ligne" projective correspondante est une sphère (la sphère de Riemann ), puis le point supplémentaire donne une version tridimensionnelle d'une roue. ${\style d'affichage 0/0}$

Citations

Les références

• Setzer, Anton (1997), Roues (PDF) (un brouillon)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science , Cambridge University Press , 14 (1) : 143-184, doi : 10.1017/S0960129503004110 , S2CID  11706592(également disponible en ligne ici ).
• A, BergstraJ ; V, TuckerJ (1er avril 2007). "Les nombres rationnels comme type de données abstrait" . Journal de l'ACM . 54 (2) : 7. doi : 10.1145/1219092.1219095 . S2CID  207162259 .
• Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "Division par zéro dans Common Meadows" . Logiciels, services et systèmes : essais consacrés à Martin Wirsing à l'occasion de sa retraite de la chaire de programmation et de génie logiciel . Notes de cours en informatique. Éditions internationales Springer. 8950 : 46-61. doi : 10.1007/978-3-319-15545-6_6 . ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID  34509835 .