Homomorphisme de l'algèbre - Algebra homomorphism
En mathématiques , un homomorphisme d'algèbre est un homomorphisme entre deux algèbres associatives . Plus précisément, si A et B sont des algèbres sur un corps (ou anneau commutatif ) K , c'est une fonction telle que pour tout k dans K et x , y dans A ,
Les deux premières conditions disent que F est une application K - linéaire (ou un homomorphisme de K -module si K est un anneau commutatif), et la dernière condition dit que F est un homomorphisme d'anneau (non-unital) .
Si F admet un inverse homomorphism, ou de manière équivalente si elle est bijective , F est dit être un isomorphisme entre A et B .
Homomorphismes d'algèbre unitale
Si A et B sont deux algèbres unifères, alors un homomorphisme d'algèbre est dit unital que si elle correspond à l'unité de A à l'unité de B . Souvent, les mots «homomorphisme d'algèbre» sont en fait utilisés pour signifier «homomorphisme d'algèbre unitale», auquel cas les homomorphismes d'algèbre non unitale sont exclus.
Un homomorphisme d'algèbre unitale est un homomorphisme en anneau (unital) .
Exemples
- Chaque anneau est une algèbre puisqu'il existe toujours un homomorphisme unique . Voir Algèbre associative # Exemples pour l'explication.
- Tout homomorphisme d'anneaux commutatifs donne la structure d'une algèbre R commutative . Inversement, si S est une algèbre R commutative, l'application est un homomorphisme d'anneaux commutatifs. Il est simple de déduire que la sur- catégorie des anneaux commutatifs sur R est la même que la catégorie des -algèbres commutatives .
- Si A est une sous - algèbre de B , alors pour tout inversible b dans B, la fonction qui prend tout a dans A à b −1 a b est un homomorphisme algébrique (dans le cas où cela s'appelle un automorphisme interne de B ). Si A est également simple et B est une algèbre simple centrale , alors tout homomorphisme de A à B est donné de cette manière par un b dans B ; c'est le théorème de Skolem – Noether .
