Spectre d'un anneau - Spectrum of a ring

En algèbre commutative , le spectre premier (ou simplement le spectre ) d'un anneau R est l'ensemble de tous les idéaux premiers de R , et est généralement noté par ; en géométrie algébrique c'est à la fois un espace topologique équipé du faisceau d'anneaux . ${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Topologie de Zariski

Pour tout idéal I de R , défini comme l'ensemble des idéaux premiers contenant I . Nous pouvons mettre une topologie en définissant la collection d'ensembles fermés à être ${\style d'affichage V_{I}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \{V_{I}\colon I{\text{ est un idéal de }}R\}.}$

Cette topologie est appelée topologie de Zariski .

Une base pour la topologie de Zariski peut être construite comme suit. Pour f ∈ R , définir D _f étant l'ensemble des idéaux premiers de R ne contenant pas de f . Alors chaque D _f est un sous-ensemble ouvert de , et est une base pour la topologie de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \{D_{f}:f\in R\}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$est un espace compact , mais presque jamais Hausdorff : en fait, les idéaux maximaux dans R sont précisément les points fermés de cette topologie. Par le même raisonnement, ce n'est pas, en général, un espace T ₁ . Cependant, est toujours un espace de Kolmogorov (satisfait l' axiome T ₀ ); c'est aussi un espace spectral . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Réas et schémas

Étant donné l'espace avec la topologie de Zariski, le faisceau de structure O _X est défini sur les sous-ensembles ouverts distingués D _f en fixant Γ( D _f , O _X ) = R _f , la localisation de R par les puissances de f . On peut montrer que cela définit une gerbe B et donc qu'elle définit une gerbe. De façon plus détaillée, les sous - ensembles ouverts distingués sont une base de la topologie de Zariski, donc pour un ensemble ouvert arbitraire U , écrit comme l'union de { D _fi } _{i ∈ I} , nous avons mis Γ ( U , O _X ) = lim _{i ∈ Je} R _fi . On peut vérifier que ce préfaisceau est un faisceau, ainsi qu'un espace annelé . Tout espace annelé isomorphe à l'une de ces formes est appelé schéma affine . Les schémas généraux sont obtenus par collage de schémas affines. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

De même, pour un module M sur l'anneau R , on peut définir un faisceau sur . Sur les sous-ensembles ouverts distingués définir Γ( D _f , ) = M _f , en utilisant la localisation d'un module . Comme ci-dessus, cette construction s'étend à un préfaisceau sur tous les sous-ensembles ouverts de et satisfait les axiomes de collage. Une gerbe de cette forme est appelée gerbe quasi - cohérente . ${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si P est un point dans , c'est-à-dire un idéal premier, alors la tige du faisceau de structure en P est égale à la localisation de R à l'idéal P , et c'est un anneau local . Par conséquent, est un espace localement annelé . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Si R est un domaine intégral, de corps de fractions K , alors on peut décrire l'anneau Γ( U , O _X ) plus concrètement comme suit. On dit qu'un élément f de K est régulier en un point P de X s'il peut être représenté comme une fraction f = a / b avec b non dans P . Notez que cela est en accord avec la notion de fonction régulière en géométrie algébrique. En utilisant cette définition, nous pouvons décrire Γ( U , O _X ) comme précisément l'ensemble des éléments de K qui sont réguliers en tout point P de U .

Perspective fonctionnelle

Il est utile d'utiliser le langage de la théorie des catégories et d'observer qu'il s'agit d'un foncteur . Chaque homomorphisme anneau induit une continue carte (depuis la préimage de tout idéal premier est un idéal premier ). De cette façon, peut être vu comme un foncteur contravariant de la catégorie des anneaux commutatifs à la catégorie des espaces topologiques. De plus, pour tout nombre premier l'homomorphisme descend aux homomorphismes ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

des anneaux locaux. Ainsi définit même un foncteur contravariant de la catégorie des anneaux commutatifs à la catégorie des espaces localement annelés . En fait, c'est le foncteur universel et peut donc être utilisé pour définir le foncteur jusqu'à l'isomorphisme naturel. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Le foncteur donne une équivalence contravariante entre la catégorie des anneaux commutatifs et la catégorie des schémas affines ; chacune de ces catégories est souvent considérée comme la catégorie opposée à l'autre. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

Motivation de la géométrie algébrique

Dans la continuité de l'exemple, on étudie en géométrie algébrique des ensembles algébriques , c'est-à-dire des sous-ensembles de K ⁿ (où K est un corps algébriquement clos ) définis comme les zéros communs d'un ensemble de polynômes à n variables. Si A est un tel ensemble algébrique, on considère l'anneau commutatif R de toutes les fonctions polynomiales A → K . Les idéaux maximaux de R correspondent aux points de A (car K est algébriquement clos), et les idéaux premiers de R correspondent aux sous - variétés de A (un ensemble algébrique est dit irréductible ou une variété s'il ne peut s'écrire comme l'union de deux sous-ensembles algébriques propres).

Le spectre de R se compose donc des points de A ainsi que des éléments de toutes les sous-variétés de A . Les points de A sont fermés dans le spectre, tandis que les éléments correspondant aux sous-variétés ont une fermeture constituée de tous leurs points et sous-variétés. Si l'on ne considère que les points de A , c'est-à-dire les idéaux maximaux dans R , alors la topologie de Zariski définie ci-dessus coïncide avec la topologie de Zariski définie sur les ensembles algébriques (qui a précisément les sous-ensembles algébriques comme ensembles fermés). Plus précisément, les idéaux maximaux dans R , c'est-à-dire , avec la topologie de Zariski, sont homéomorphes à A également avec la topologie de Zariski. ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$

On peut ainsi voir l'espace topologique comme un « enrichissement » de l'espace topologique A (avec la topologie de Zariski) : pour chaque sous-variété de A , un point supplémentaire non fermé a été introduit, et ce point « garde la trace » de la sous-variété correspondante . On considère ce point comme le point générique de la sous-variété. De plus, le faisceau sur et le faisceau de fonctions polynomiales sur A sont essentiellement identiques. En étudiant des spectres d'anneaux polynomiaux au lieu d'ensembles algébriques avec la topologie de Zariski, on peut généraliser les concepts de géométrie algébrique aux champs non algébriquement clos et au-delà, pour finalement arriver au langage des schémas . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

Exemples

• Le schéma affine est l'objet final dans la catégorie des schémas affines puisque c'est l'objet initial dans la catégorie des anneaux commutatifs.${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Le schéma affine est l'analogue de la théorie des schémas de . Du point de vue foncteur de points, un point peut être identifié avec le morphisme d'évaluation . Ce constat fondamental permet de donner du sens à d'autres schémas affines.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\ mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ressemble topologiquement à l'intersection transversale de deux plans complexes en un point, bien que cela soit généralement décrit comme un puisque les seuls morphismes bien définis sont les morphismes d'évaluation associés aux points .${\style d'affichage +}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• Le spectre premier d'un anneau booléen (par exemple, un anneau de puissance ) est un espace compact (Hausdorff) .
• (M. Hochster) Un espace topologique est homéomorphe au spectre premier d'un anneau commutatif (ie, un espace spectral ) si et seulement s'il est quasi-compact, quasi-séparé et sobre .

Exemples non affines

Voici quelques exemples de schémas qui ne sont pas des schémas affines. Ils sont construits à partir du collage de schémas affines ensemble.

• L' espace projectif sur un champ . Cela peut être facilement généralisé à n'importe quel anneau de base, voir la construction Proj (en fait, nous pouvons définir l'espace projectif pour n'importe quel schéma de base). L' espace projectif pour n'est pas affine car la section globale de est .${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$${\style d'affichage k}$
• Plan affine moins l'origine. A l'intérieur, on distingue des sous-schémas affines ouverts . Leur union est le plan affine à l'origine retirée. Les sections globales de sont des paires de polynômes sur qui se limitent au même polynôme sur , qui peut être montré comme étant la section globale de . n'est pas affine comme dans .${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} \,k[x,y]}$${\style d'affichage D_{x},D_{y}}$${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage D_{x},D_{y}}$${\style d'affichage D_{xy}}$${\style d'affichage k[x,y]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$${\style d'affichage U}$

Topologies non-Zariski sur un spectre premier

Certains auteurs (notamment M. Hochster) envisagent des topologies sur des spectres premiers autres que la topologie de Zariski.

Premièrement, il y a la notion de topologie constructible : étant donné un anneau A , les sous-ensembles de de la forme satisfont les axiomes pour les ensembles fermés dans un espace topologique. Cette topologie est appelée topologie constructible. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

Dans ( Hochster 1969 ) , Hochster considère ce qu'il appelle la topologie des patchs sur un spectre premier. Par définition, la topologie patch est la plus petite topologie dans laquelle les ensembles des formes et sont fermés. erreur harv : pas de cible : CITEREFHochster1969 ( aide )${\style d'affichage V(I)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

Spécification globale ou relative

Il existe une version relative du foncteur appelée global , ou relative . Si est un schéma, alors relatif est noté ou . Si est clair d'après le contexte, alors la spécification relative peut être désignée par ou . Pour un schéma et un faisceau quasi-cohérent de -algèbres , il existe un schéma et un morphisme tels que pour tout ouvert affine , il existe un isomorphisme , et tel que pour les ouverts affines , l'inclusion est induite par l'application de restriction . Autrement dit, comme les homomorphismes d'anneaux induisent des cartes de spectres opposées, les cartes de restriction d'un faisceau d'algèbres induisent les cartes d'inclusion des spectres qui constituent la Spec du faisceau. ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \operatorname {Spec} }$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$${\displaystyle \mathbf {Spec} }$${\style d'affichage S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$${\displaystyle U\subseteq S}$${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

Global Spec a une propriété universelle similaire à la propriété universelle de Spec ordinaire. Plus précisément, tout comme Spec et le foncteur de section globale sont des adjoints à droite contravariants entre la catégorie des anneaux commutatifs et des schémas, Spec global et le foncteur image directe pour la carte de structure sont des adjoints à droite contravariants entre la catégorie des -algèbres commutatives et des schémas sur . Dans les formules, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$${\style d'affichage S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O }}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

où est un morphisme de schémas. ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

Exemple de spécification relative

La spécification relative est l'outil correct pour paramétrer la famille de droites via l'origine de over Considérez le faisceau d'algèbres et laissez être un faisceau d'idéaux de Ensuite, la spécification relative paramétre la famille souhaitée. En fait, la fibre au - dessus est la ligne passant par l'origine contenant le point En supposant que la fibre puisse être calculée en examinant la composition des diagrammes de retrait ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{ 1}}$${\style d'affichage [\alpha :\beta ]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\style d'affichage (\alpha ,\beta ).}$${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }} x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y ]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\à &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({ \frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname { Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a} &\à &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrice}}}$

où la composition des flèches du bas

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

donne la ligne contenant le point et l'origine. Cet exemple peut être généralisé pour paramétrer la famille de lignes par l'origine de over en laissant et${\style d'affichage (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}& \cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

Perspective de la théorie des représentations

Du point de vue de la théorie des représentations , un idéal premier I correspond à un module R / I , et le spectre d'un anneau correspond à des représentations cycliques irréductibles de R, tandis que des sous-variétés plus générales correspondent à des représentations éventuellement réductibles qui n'ont pas besoin d'être cycliques. Rappelons que abstraitement, la théorie de la représentation d'un groupe est l'étude des modules sur son algèbre de groupe .

La connexion à la théorie de la représentation est plus claire si l' on considère l' anneau de polynômes ou sans une base, que celle - ci formulation précise, un anneau de polynômes est l'algèbre de groupe par rapport à un espace vectoriel , et l' écriture en termes d' correspond au choix d' une base pour la espace vectoriel. Alors un I idéal , ou de manière équivalente un module, est une représentation cyclique de R (signification cyclique générée par 1 élément en tant que R -module ; cela généralise les représentations à 1 dimension). ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\style d'affichage R=K[V].}$${\style d'affichage x_{i}}$${\displaystyle R/I,}$

Dans le cas où le champ est algébriquement clos (disons, les nombres complexes), chaque idéal maximal correspond à un point dans l' espace n , par le nullstellensatz (l'idéal maximal généré par correspond au point ). Ces représentations de sont ensuite paramétrées par l'espace dual le covecteur étant donné en envoyant chacune au correspondant . Ainsi une représentation de ( K -cartes linéaires ) est donnée par un ensemble de n nombres, ou de manière équivalente un covecteur${\style d'affichage (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$${\style d'affichage (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\style d'affichage K[V]}$${\displaystyle V^{*},}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage a_{i}}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{n}\to K}$${\displaystyle K^{n}\à K.}$

Ainsi, les points dans l' espace n , considérés comme la spec max de correspondent précisément à des représentations à 1 dimension de R, tandis que les ensembles finis de points correspondent à des représentations de dimension finie (qui sont réductibles, correspondant géométriquement à être une union, et algébriquement à ne pas être un idéal premier). Les idéaux non maximaux correspondent alors à des représentations en dimension infinie . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

Perspective d'analyse fonctionnelle

Le terme "spectre" vient de l'utilisation en théorie des opérateurs . Étant donné un opérateur linéaire T sur un espace vectoriel de dimension finie V , on peut considérer l'espace vectoriel avec opérateur comme un module sur l'anneau polynomial à une variable R = K [ T ], comme dans le théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal . Alors le spectre de K [ T ] (en tant qu'anneau) est égal au spectre de T (en tant qu'opérateur).

De plus, la structure géométrique du spectre de l'anneau (de manière équivalente, la structure algébrique du module) capture le comportement du spectre de l'opérateur, tel que la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique. Par exemple, pour la matrice identité 2 × 2 a un module correspondant :

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

la matrice zéro 2×2 a un module

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

montrant la multiplicité géométrique 2 pour la valeur propre zéro, tandis qu'une matrice nilpotente non triviale 2 × 2 a un module

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

montrant la multiplicité algébrique 2 mais la multiplicité géométrique 1.

Plus en détail:

• les valeurs propres (à multiplicité géométrique) de l'opérateur correspondent aux points (réduits) de la variété, à multiplicité ;
• la décomposition primaire du module correspond aux points non réduits de la variété ;
• un opérateur diagonalisable (semi-simple) correspond à une variété réduite ;
• un module cyclique (un générateur) correspond à l'opérateur ayant un vecteur cyclique (un vecteur dont l'orbite sous T s'étend sur l'espace) ;
• le dernier facteur invariant du module est égal au polynôme minimal de l'opérateur, et le produit des facteurs invariants est égal au polynôme caractéristique .

Généralisations

Le spectre peut être généralisé des anneaux aux C*-algèbres en théorie des opérateurs , donnant la notion de spectre d'une C*-algèbre . En particulier, pour un espace séparé , l' algèbre des scalaires (les fonctions continues délimitée à l'espace, étant analogue aux fonctions normales) est un commutative C * -algèbre, avec l'être de l' espace récupéré sous forme d' un espace topologique à partir de l'algèbre de scalaires, en effet fonctionnellement ; c'est le contenu du théorème de Banach-Stone . En effet, toute C*-algèbre commutative peut être réalisée comme l'algèbre des scalaires d'un espace de Hausdorff de cette manière, donnant la même correspondance qu'entre un anneau et son spectre. En généralisant à non rendements -commutative C * -algèbres topologie non commutative . ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

Voir également

• Schéma (mathématiques)
• Schéma projectif
• Spectre d'une matrice
• Théorème de Serre sur l'affinité
• Spectre d'étale
• Spectre Ziegler
• Spectre primitif

Citations

Les références

Liens externes

• Kevin R. Coombes : Le spectre d'un anneau
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL , spécification relative
• Miles Reid. "Algèbre commutative de premier cycle" (PDF) . p. 22. Archivé de l'original (PDF) le 14 avril 2016.