Théorème d'Arzelà–Ascoli - Arzelà–Ascoli theorem

Le Arzelà-Ascoli théorème est un résultat fondamental de l' analyse mathématique donnant des conditions nécessaires et suffisantes pour décider si chaque séquence d'une famille de véritables -Évaluées fonctions continues définies sur un fermé et borné intervalle a une façon uniforme convergente - séquence . La condition principale est l' équicontinuité de la famille de fonctions. Le théorème est à la base de nombreuses preuves en mathématiques, notamment celle du théorème d'existence de Peano dans la théorie des équations différentielles ordinaires , le théorème de Montel en analyse complexe et le théorème de Peter-Weyl en analyse harmonique et divers résultats concernant la compacité des opérateurs intégraux.

La notion d'équicontinuité a été introduite à la fin du XIXe siècle par les mathématiciens italiens Cesare Arzelà et Giulio Ascoli . Une forme faible du théorème a été prouvée par Ascoli (1883-1884) , qui a établi la condition suffisante pour la compacité, et par Arzelà (1895) , qui a établi la condition nécessaire et a donné la première présentation claire du résultat. Une autre généralisation du théorème a été prouvée par Fréchet (1906) , aux ensembles de fonctions continues à valeurs réelles de domaine un espace métrique compact ( Dunford & Schwartz 1958 , p. 382). Les formulations modernes du théorème permettent au domaine d'être Hausdorff compact et à la plage d'être un espace métrique arbitraire. Des formulations plus générales du théorème existent qui donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une famille de fonctions d'un espace de Hausdorff généré de manière compacte dans un espace uniforme soit compacte dans la topologie compacte-ouverte ; voir Kelley (1991 , page 234).

Déclaration et premières conséquences

Par définition, une séquence {  f _n  } _{n ∈ N} des fonctions continues sur un intervalle I = [ a , b ] est uniformément bornée s'il y a un nombre M de telle sorte que

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

pour toute fonction f _n appartenant à la suite, et tout x ∈ [ a , b ] . (Ici, M doit être indépendant de n et x .)   

La séquence est dite uniformément équicontinue si, pour tout ε > 0 , il existe un δ > 0 tel que

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

quand | x − y | < Δ  pour toutes les fonctions f _n de la séquence. (Ici, δ peut dépendre de ε , mais pas de x , y ou n .)   

Une version du théorème peut être énoncée comme suit :

Considérons une séquence de fonctions continues à valeurs réelles {  f _n  } _{n ∈ N} définis sur une position fermée et bornée intervalle [ a , b ] de la droite réelle . Si cette séquence est uniformément bornée et uniformément équicontinu , il existe une sous- suite {  f _{n k}  } _{k ∈ N} qui converge uniformément .

L'inverse est également vrai, en ce sens que si chaque sous-suite de {  f _n  } a elle-même une sous-suite uniformément convergente, alors {  f _n  } est uniformément bornée et équicontinue.

Exemples immédiats

Fonctions différenciables

Les hypothèses du théorème sont satisfaites par une séquence uniformément bornée {  f _n  } de fonctions dérivables avec des dérivées uniformément bornées. En effet, la borne uniforme des dérivées implique par le théorème de la valeur moyenne que pour tout x et y ,

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|,}$

où K est le supremum des dérivées des fonctions dans la séquence et est indépendant de n . Donc, étant donné ε > 0 , soit δ = ??/2 Kvérifier la définition de l'équicontinuité de la séquence. Cela prouve le corollaire suivant :

• Soit { f _n } une séquence uniformément bornée de fonctions dérivables à valeur réelle sur [ a , b ] telle que les dérivées { f _n ′} soient uniformément bornées. Alors il existe une sous-suite { f _{n k} } qui converge uniformément sur [ a , b ] .

Si, en plus, la séquence de dérivées secondes est également uniformément bornée, alors les dérivées convergent également uniformément (jusqu'à une sous-suite), et ainsi de suite. Une autre généralisation vaut pour les fonctions continûment différentiables . Supposons que les fonctions f _n soient continûment dérivables avec des dérivées f′ _n . Supposons que f _n soient uniformément équicontinues et uniformément bornées, et que la séquence {  f _n  } soit bornée ponctuellement (ou juste bornée en un seul point). Alors il y a une sous-suite de la {  f _n  } convergeant uniformément vers une fonction continûment différentiable.   

L'argument de la diagonalisation peut également être utilisé pour montrer qu'une famille de fonctions infiniment différentiables, dont les dérivées de chaque ordre sont uniformément bornées, a une sous-suite uniformément convergente, dont toutes les dérivées sont également uniformément convergentes. Ceci est particulièrement important dans la théorie des distributions.

Fonctions continues de Lipschitz et Hölder

L'argument donné ci-dessus prouve un peu plus, en particulier

• Si {  f _n  } est une suite uniformément bornée de fonctions à valeurs réelles sur [ a , b ] telle que chaque f est Lipschitz continu avec la même constante de Lipschitz K :

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|xy|}$

pour tout x , y [ a , b ] et tout f _n , alors il existe une sous - suite qui converge uniformément sur [ a , b ] .  

La fonction limite est également Lipschitz continue avec la même valeur K pour la constante de Lipschitz. Un léger raffinement est

• Un ensemble F de fonctions f sur [ a , b ] qui est uniformément borné et satisfait une condition de Hölder d' ordre α , 0 < α ≤ 1 , avec une constante fixe M ,  

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|xy|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

est relativement compact dans C([ a , b ]) . En particulier, la boule unité de l' espace de Hölder C ^{0, α} ([ a , b ]) est compacte dans C([ a , b ]) .

Ceci vaut plus généralement pour les fonctions scalaires sur un espace métrique compact X satisfaisant une condition de Hölder par rapport à la métrique sur X .

Généralisations

Espaces euclidiens

Le théorème d'Arzelà-Ascoli tient, plus généralement, si les fonctions f _n prennent des valeurs dans l' espace euclidien d -dimensionnel R ^d , et la preuve est très simple : il suffit d'appliquer la version R -valuée du théorème d'Arzelà-Ascoli d fois pour extraire une sous-séquence qui converge uniformément dans la première coordonnée, puis une sous-séquence qui converge uniformément dans les deux premières coordonnées, et ainsi de suite. Les exemples ci-dessus se généralisent facilement au cas des fonctions avec des valeurs dans l'espace euclidien.   

Espaces métriques compacts et espaces Hausdorff compacts

Les définitions de bornage et d'équicontinuité peuvent être généralisées au cadre d' espaces métriques compacts arbitraires et, plus généralement encore, d' espaces de Hausdorff compacts . Soit X un espace de Hausdorff compact, et soit C ( X ) l'espace des fonctions continues à valeurs réelles sur X . Un sous - ensemble F ⊂ C ( X ) est dite équicontinue si pour tout x  ∈ X et tout ε > 0 , x a un voisinage U _x de telle sorte que

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

Un ensemble F ⊂ C ( X , R ) est dit être ponctuellement bornée si pour tout x  ∈ X ,

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

Une version du théorème tient aussi dans l'espace C ( X ) des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace de Hausdorff compact X ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.6.7) :

Soit X un espace de Hausdorff compact. Alors un sous-ensemble F de C ( X ) est relativement compact dans la topologie induite par la norme uniforme si et seulement si elle est équicontinue et bornée ponctuellement.

Le théorème d'Arzelà–Ascoli est donc un résultat fondamental dans l'étude de l'algèbre des fonctions continues sur un espace de Hausdorff compact .

Diverses généralisations du résultat cité ci-dessus sont possibles. Par exemple, les fonctions peuvent prendre des valeurs dans un espace métrique ou un espace vectoriel topologique (Hausdorff) avec seulement des changements minimes à l'énoncé (voir, par exemple, Kelley & Namioka (1982 , §8), Kelley (1991 , chapitre 7)) :

Soit X un espace de Hausdorff compact et Y un espace métrique. Ensuite F ⊂ C ( X , Y ) est compact dans la topologie compacte ouverte si et seulement si elle est équicontinue , pointwise relativement compact et fermé.

Ici ponctuelle des moyens relativement compacts que , pour chaque x  ∈  X , l'ensemble F _x = {  f  ( x ):   f   ∈ F } est relativement compact dans Y .

La preuve donnée peut être généralisée d'une manière qui ne repose pas sur la séparabilité du domaine. Sur un espace de Hausdorff compact X , par exemple, l'équicontinuité est utilisée pour extraire, pour chaque ε = 1/ n , un revêtement ouvert fini de X tel que l' oscillation de toute fonction de la famille est inférieure à ε sur chaque ouvert dans la couverture. Le rôle des rationnels peut alors être joué par un ensemble de points tirés de chaque ensemble ouvert dans chacune des nombreuses couvertures dénombrables ainsi obtenues, et la partie principale de la démonstration se déroule exactement comme ci-dessus.

Fonctions non continues

Les solutions des schémas numériques pour les équations paraboliques sont généralement constantes par morceaux, et donc non continues, dans le temps. Comme leurs sauts tendent néanmoins à devenir petits à mesure que le pas de temps tend vers , il est possible d'établir des propriétés de convergence uniformes en temps en utilisant une généralisation aux fonctions non continues du théorème classique d'Arzelà–Ascoli (voir par exemple Droniou & Eymard (2016 , Annexe)). ${\style d'affichage 0}$

Désignons par l'espace des fonctions de à doté de la métrique uniforme ${\style d'affichage S(X,Y)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

Ensuite nous avons le suivant:

Soit un espace métrique compact et un espace métrique complet. Soit une suite telle qu'il existe une fonction et une suite satisfaisant ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\style d'affichage S(X,Y)}$${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n} =0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n} (t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

Supposons également que, pour tout , soit relativement compact dans . Alors est relativement compact dans , et toute limite de dans cet espace est dans .${\style d'affichage t\dans X}$${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\style d'affichage S(X,Y)}$${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\style d'affichage C(X,Y)}$

Nécessité

Alors que la plupart des formulations du théorème d'Arzelà-Ascoli affirment des conditions suffisantes pour qu'une famille de fonctions soit (relativement) compacte dans certaines topologies, ces conditions sont généralement également nécessaires. Par exemple, si un ensemble F est compact dans C ( X ), l'espace de Banach des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace de Hausdorff compact par rapport à sa norme uniforme, alors il est borné dans la norme uniforme sur C ( X ) et en particulier est bornée par points. Soit N ( ε , U ) l'ensemble de toutes les fonctions F dont oscillation sur une partie ouverte U ⊂ X est inférieur à ε :

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

Pour un fixe x ∈ X et ε , les ensembles N ( ε , U ) forment un recouvrement ouvert de F comme U varie dans tous les quartiers ouverts de x . Le choix d'une sous-couverture finie donne alors l'équicontinuité.

Autres exemples

• Pour toute fonction g qui est p - intégrable sur [0, 1] , avec 1 < p ≤ ∞ , associer la fonction G définie sur [0, 1] par

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Soit F l'ensemble des fonctions G correspondant aux fonctions g dans la boule unité de l'espace L ^p ([0, 1]) . Si q est le conjugué de Hölder de p , défini par1/p + 1/q= 1 , alors l'inégalité de Hölder implique que toutes les fonctions de F satisfont une condition de Hölder avec α =1/qet constante M = 1 .

Il s'ensuit que F est compact dans C ([0, 1]) . Cela signifie que la correspondance g → G définit un opérateur linéaire compact T entre les espaces de Banach L ^p ([0, 1]) et C ([0, 1]) . En composant avec l'injection de C ([0, 1]) dans L ^p ([0, 1]) , on voit que T agit de manière compacte de L ^p ([0, 1]) vers lui-même. Le cas p = 2 peut être vu comme un exemple simple du fait que l'injection de l' espace de Sobolev dans L ² (Ω) , pour Ω un ouvert borné dans R ^d , est compacte. ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

• Lorsque T est un opérateur linéaire compact à partir d' un espace de Banach X à un espace de Banach Y , sa transposée T ^* est compacte du (continu) à double Y ^* à X ^* . Ceci peut être vérifié par le théorème d'Arzelà–Ascoli.

En effet, l'image T ( B ) de la boule unitaire fermée B de X est contenue dans un sous-ensemble compact K de Y . La boule unité B ^* de Y ^* définit, en limitant de Y à K , un ensemble F de (linéaire) des fonctions continues sur K qui est délimitée équicontinues. Par Arzelà–Ascoli, pour chaque séquence { y^*
_n}, En B ^* , il y a une sous qui converge uniformément sur K , et cela implique que l'image de cette séquence est de Cauchy dans X ^* .${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$

• Lorsque f est holomorphe dans un disque ouvert D ₁ = B ( z ₀ , r ) , avec un module délimité par M , alors (par exemple par la formule de Cauchy ) sa dérivée f  ' a un module délimité par   2 millions/rdans le plus petit disque D ₂ = B ( z ₀ ,r/2). Si une famille de fonctions holomorphes sur D ₁ est bornée par M sur D ₁ , il s'ensuit que la famille F de restrictions à D ₂ est équicontinue sur D ₂ . Par conséquent, une séquence convergeant uniformément sur D ₂ peut être extraite. C'est un premier pas dans la direction du théorème de Montel .
• Soit doté de la métrique uniforme Supposons qu'il s'agisse d' une suite de solutions d'une certaine équation aux dérivées partielles (EDP), où l'EDP assure les estimations a priori suivantes : est équicontinu pour tout , est équitable pour tout , et, pour tout et tout , est assez petit quand est assez petit. Ensuite, par le théorème de Fréchet-Kolmogorov , on peut conclure que est relativement compact dans . Par conséquent, nous pouvons, par (une généralisation du) théorème d'Arzelà-Ascoli, conclure qu'il est relativement compact dans${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$${\style d'affichage |t-t'|}$${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

Voir également

• Théorème de sélection de Helly
• Théorème de Fréchet-Kolmogorov

Les références

• Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Bologne Cl. Sci. Fis. Tapis. , 5 (5) : 55-74.
• Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna : 142-159.
• Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limite di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Tapis. Nat. , 18 (3) : 521-586.
• Bourbaki, Nicolas (1998), Topologie générale. Chapitres 5-10 , Éléments de mathématiques, Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, MR  1726872.
• Dieudonné, Jean (1988), Fondements de l'analyse moderne , Presse académique, ISBN 978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme ; Eymard, Robert (2016), "Convergence uniforme en temps des méthodes numériques pour les équations paraboliques dégénérées non linéaires", Numer. Math. , 132 (4) : 721-766.
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1958), Opérateurs linéaires, volume 1 , Wiley-Interscience.
• Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel" (PDF) , Rend. Circ. Tapis. Palerme , 22 : 1–74, doi : 10.1007/BF03018603 , hdl : 10338.dmlcz/100655.
• Théorème d'Arzelà-Ascoli à l'Encyclopédie des mathématiques
• Kelley, JL (1991), Topologie générale , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
• Kelley, JL; Namioka, I. (1982), Espaces topologiques linéaires , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
• Rudin, Walter (1976), Principes d'analyse mathématique , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8

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