Catégorie des groupes abéliens - Category of abelian groups

En mathématiques , la catégorie Ab a les groupes abéliens comme objets et les homomorphismes de groupe comme morphismes . C'est le prototype d'une catégorie abélienne : en effet, toute petite catégorie abélienne peut être intégrée dans Ab .

Propriétés

L' objet zéro de Ab est le groupe trivial {0} qui se compose uniquement de son élément neutre .

Les monomorphismes dans Ab sont les homomorphismes de groupes injectifs , les épimorphismes sont les homomorphismes de groupes surjectifs et les isomorphismes sont les homomorphismes de groupes bijectifs .

Ab est une sous - catégorie complète de Grp , la catégorie de tous les groupes . La principale différence entre Ab et Grp est que la somme de deux homomorphismes f et g entre les groupes abéliens est à nouveau un homomorphisme de groupe:

( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )
       = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )

La troisième égalité exige que le groupe soit abélien. Cet ajout de morphisme transforme Ab en une catégorie pré - additive , et parce que la somme directe de groupes abéliens au nombre fini donne un bi - produit , nous avons en effet une catégorie additive .

En Ab , la notion de noyau au sens de la théorie des catégories coïncide avec le noyau au sens algébrique , c'est-à-dire le noyau catégorique du morphisme f  : A → B est le sous-groupe K de A défini par K = { x ∈ A  : f ( x ) = 0}, ainsi que le morphisme d'inclusion i  : K → A . La même chose est vraie pour les cokernels ; le conoyau de f est le groupe quotient C = B / f ( A ) en même temps que la projection naturelle p  : B → C . (Notez une autre différence cruciale entre Ab et Grp : dans Grp, il peut arriver que f ( A ) ne soit pas un sous-groupe normal de B , et que, par conséquent, le groupe quotient B / f ( A ) ne puisse pas être formé.) Avec ces descriptions concrètes des noyaux et des noyaux, il est assez facile de vérifier que Ab est bien une catégorie abélienne .

Le produit dans Ab est donné par le produit des groupes , formé en prenant le produit cartésien des ensembles sous-jacents et en effectuant l'opération de groupe par composants. Puisque Ab a des noyaux, on peut alors montrer que Ab est une catégorie complète . Le coproduit dans Ab est donné par la somme directe; puisque Ab a des cokernels, il s'ensuit qu'Ab est également cocomplet .

Nous avons un foncteur oublieux Ab → Set qui assigne à chaque groupe abélien l' ensemble sous-jacent , et à chaque homomorphisme de groupe la fonction sous-jacente . Ce foncteur est fidèle , et donc Ab est une catégorie concrète . Le foncteur oublieux a un adjoint gauche (qui associe à un ensemble donné le groupe abélien libre avec cet ensemble comme base) mais n'a pas d'adjoint droit.

Prendre des limites directes dans Ab est un foncteur exact . Puisque le groupe d'entiers Z sert de générateur , la catégorie Ab est donc une catégorie de Grothendieck ; c'est en effet l'exemple prototypique d'une catégorie Grothendieck.

Un objet dans Ab est injectif si et seulement si c'est un groupe divisible ; il est projectif si et seulement si c'est un groupe abélien libre . La catégorie comprend un générateur projectif ( Z ) et un cogénérateur injectif ( Q / Z ).

Étant donné deux groupes abéliens A et B , leur produit tensoriel A ⊗ B est défini; c'est encore un groupe abélien. Avec cette notion de produit, Ab est une catégorie monoïdale symétrique fermée .

Ab n'est pas un topos puisque, par exemple, il a un objet nul.

Voir également

Références

  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (troisième édition révisée), New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556
  • Mac Lane, Saunders (1998). Catégories pour le mathématicien de travail . Textes d'études supérieures en mathématiques . 5 (2e éd.). New York, État de New York: Springer-Verlag . ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, éd. (2004). Fondations catégoriques. Sujets spéciaux dans l'ordre, la topologie, l'algèbre et la théorie des faisceaux . Encyclopédie des mathématiques et de ses applications. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .