Coproduit - Coproduct

En théorie des catégories , le coproduit , ou somme catégorique , est une construction qui inclut à titre d'exemples l' union disjointe d' ensembles et d'espaces topologiques , le produit libre de groupes , et la somme directe de modules et d' espaces vectoriels . Le coproduit d'une famille d'objets est essentiellement l'objet « le moins spécifique » auquel chaque objet de la famille admet un morphisme . C'est la notion double de la théorie des catégories au produit catégorique , ce qui signifie que la définition est la même que le produit mais avec toutes les flèches inversées. Malgré ce changement apparemment anodin dans le nom et la notation, les coproduits peuvent être et sont généralement radicalement différents des produits.

Définition

Soit une catégorie et soit et soit objets de Un objet s'appelle le coproduit de et s'écrit ou ou parfois simplement s'il existe des morphismes et satisfaisant la propriété universelle suivante : pour tout objet et tout morphisme et il existe un morphisme unique tel que et That est, le diagramme suivant commute : ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X_{1}}$${\style d'affichage X_{2}}$${\style d'affichage C.}$${\style d'affichage X_{1}}$${\style d'affichage X_{2},}$${\displaystyle X_{1}\coprod X_{2},}$${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$${\style d'affichage X_{1}+X_{2},}$${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\coprod X_{2}}$${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\coprod X_{2}}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$${\displaystyle f:X_{1}\coprod X_{2}\to Y}$${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

La flèche unique faisant commuter ce diagramme peut être notée ou Les morphismes et sont appelés injections canoniques , bien qu'il ne soit pas nécessaire qu'il s'agisse d' injections ou même de monic . ${\style d'affichage f}$${\displaystyle f_{1}\coprod f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\style d'affichage f_{1}+f_{2},}$${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$${\displaystyle i_{1}}$${\style d'affichage i_{2}}$

La définition d'un coproduit peut être étendue à une famille arbitraire d'objets indexés par un ensemble Le coproduit de la famille est un objet avec une collection de morphismes tels que, pour tout objet et toute collection de morphismes, il existe un morphisme unique tel que C'est-à-dire que le diagramme suivant commute pour chacun : ${\displaystyle J.}$${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$${\style d'affichage Y}$${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$${\style d'affichage j\dans J}$

Le coproduit de la famille est souvent désigné ou${\style d'affichage X}$${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Parfois, le morphisme peut être indiqué pour indiquer sa dépendance vis-à-vis de l'individu s. ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$${\style d'affichage f_{j}}$

Exemples

Le coproduit dans la catégorie des ensembles est simplement l' union disjointe avec les applications i _j étant les applications d' inclusion . Contrairement aux produits directs , les coproduits des autres catégories ne sont évidemment pas tous basés sur la notion d'ensembles, car les unions ne se comportent pas bien vis-à-vis des opérations de préservation (par exemple, l'union de deux groupes n'a pas besoin d'être un groupe), et donc les coproduits dans des les catégories peuvent être très différentes les unes des autres. Par exemple, le coproduit dans la catégorie des groupes , appelé le produit libre , est assez compliqué. D'autre part, dans la catégorie des groupes abéliens (et également pour les espaces vectoriels ), le coproduit, appelé somme directe , est constitué des éléments du produit direct qui n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls. (Il coïncide donc exactement avec le produit direct dans le cas d'un nombre fini de facteurs.)

Étant donné un anneau commutatif R , le coproduit dans la catégorie des R -algèbres commutatives est le produit tensoriel . Dans la catégorie des R -algèbres (non commutatives) , le coproduit est un quotient de l'algèbre tensorielle (voir produit libre des algèbres associatives ).

Dans le cas des espaces topologiques, les coproduits sont des unions disjointes avec leurs topologies d'union disjointes . C'est-à-dire que c'est une union disjointe des ensembles sous-jacents, et les ensembles ouverts sont des ensembles ouverts dans chacun des espaces , dans un sens assez évident. Dans la catégorie des espaces pointés , fondamentale en théorie de l'homotopie , le coproduit est la somme du coin (qui revient à joindre une collection d'espaces ayant des points de base en un point de base commun).

Malgré toute cette dissemblance, il y a toujours, au cœur de l'ensemble, une union disjointe : la somme directe des groupes abéliens est le groupe engendré par l'union "presque" disjointe (union disjointe de tous les éléments non nuls, avec un zéro), de même pour les espaces vectoriels : l'espace couvert par l'union "presque" disjointe ; le produit libre pour les groupes est généré par l'ensemble de toutes les lettres d'une union "presque disjointe" similaire où deux éléments d'ensembles différents ne sont pas autorisés à commuter.

Le coproduit d'une catégorie de poset est l'opération de jointure.

Discussion

La construction de coproduit donnée ci-dessus est en fait un cas particulier de colimite dans la théorie des catégories. Le coproduit dans une catégorie peut être défini comme la colimite de tout foncteur d'une catégorie discrète dans . Toutes les familles n'auront pas un coproduit en général, mais si c'est le cas, alors le coproduit est unique au sens fort : si et sont deux coproduits de la famille , alors (par la définition des coproduits) il existe un isomorphisme unique tel que pour chacun . ${\style d'affichage C}$ ${\style d'affichage J}$${\style d'affichage C}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$${\style d'affichage j\dans J}$

Comme pour toute propriété universelle , le coproduit peut être compris comme un morphisme universel. Soit le foncteur diagonal qui affecte à chaque objet le couple ordonné et à chaque morphisme le couple . Alors le coproduit dans est donné par un morphisme universel au foncteur de l'objet dans . ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage \gauche(X,X\droite)}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\style d'affichage \gauche(f,f\droit)}$${\style d'affichage X+Y}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage \Delta }$${\style d'affichage \gauche(X,Y\droite)}$${\style d'affichage C\fois C}$

Le coproduit indexé par l' ensemble vide (c'est-à-dire un coproduit vide ) est le même qu'un objet initial dans . ${\style d'affichage C}$

Si est un ensemble tel que tous les coproduits des familles indexées avec existent, alors il est possible de choisir les produits de façon compatible pour que le coproduit se transforme en foncteur . Le coproduit de la famille est alors souvent désigné par ${\style d'affichage J}$${\style d'affichage J}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

et les cartes sont connues sous le nom d'injections naturelles . ${\style d'affichage i_{j}}$

En notant l'ensemble de tous les morphismes de à in (c'est-à-dire un hom-set dans ), nous avons un isomorphisme naturel${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _ {C}(X_{j},Y)}$

donnée par la bijection qui mappe chaque tuple de morphismes

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(un produit dans Set , la catégorie des ensembles , qui est le produit cartésien , donc c'est un tuple de morphismes) au morphisme

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

Que cette application soit une surjection découle de la commutativité du diagramme : tout morphisme est le coproduit du tuple ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

Qu'il s'agisse d'une injection découle de la construction universelle qui stipule l'unicité de telles cartes. La naturalité de l'isomorphisme est aussi une conséquence du diagramme. Ainsi, le hom-foncteur contravariant transforme les coproduits en produits. En d'autres termes, le hom-foncteur, vu comme un foncteur de la catégorie opposée à Set, est continu ; il préserve les limites (un coproduit en est un produit en ). ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$${\style d'affichage C}$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Si est un ensemble fini , disons , alors le coproduit des objets est souvent noté par . Supposons que tous les coproduits finis existent dans C , les foncteurs de coproduit ont été choisis comme ci-dessus, et 0 désigne l' objet initial de C correspondant au coproduit vide. On a alors des isomorphismes naturels${\style d'affichage J}$${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Ces propriétés sont formellement similaires à celles d'un monoïde commutatif ; une catégorie avec des coproduits finis est un exemple de catégorie monoïdale symétrique .

Si la catégorie a un objet zéro , alors nous avons un morphisme (depuis est terminale ) et donc un morphisme . Puisque est aussi initial, on a un isomorphisme canonique comme au paragraphe précédent. On a donc des morphismes et , par lesquels on déduit un morphisme canonique . Ceci peut être étendu par induction à un morphisme canonique de tout coproduit fini au produit correspondant. Ce morphisme n'a pas besoin en général d'être un isomorphisme ; dans Grp c'est un épimorphisme propre alors que dans Set _* (la catégorie des ensembles pointés ) c'est un monomorphisme propre . Dans toute catégorie préadditive , ce morphisme est un isomorphisme et l'objet correspondant est connu sous le nom de biproduit . Une catégorie avec tous les biproduits finis est connue sous le nom de catégorie semi - additive . ${\style d'affichage Z}$${\displaystyle X\rightarrow Z}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

Si toutes les familles d'objets indexées par ont des coproduits dans , alors le coproduit comprend un foncteur . Notons que, comme le produit, ce foncteur est covariant . ${\style d'affichage J}$${\style d'affichage C}$${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

Voir également

• Produit
• Limites et colimites
• Coégaliseur
• Limite directe

Les références

• Mac Lane, Saunders (1998). Catégories pour le mathématicien travaillant . Textes d'études supérieures en mathématiques . 5 (2e éd.). New York, NY : Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Liens externes

• Page Web interactive qui génère des exemples de coproduits dans la catégorie des ensembles finis. Écrit par Jocelyn Paine .