Élément conjugué (théorie des champs) - Conjugate element (field theory)

En mathématiques , en particulier la théorie des champs , les éléments conjugués d'un élément algébrique  α , sur une extension de corps L / K , sont les racines du polynôme minimal p _{K , α} ( x ) de α sur K . Les éléments conjugués sont également appelés conjugués de Galois ou simplement conjugués . Normalement, α lui-même est inclus dans l'ensemble des conjugués de  α .

Exemple

Les racines cubiques du numéro un sont:

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {1}} = {\ begin {cases} 1 \\ [3pt] - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i \\ [5pt] - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i \ end {cases}}}$

Les deux dernières racines sont des éléments conjugués dans Q [ i √ 3 ] à polynôme minimal

${\ displaystyle \ left (x + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {3} {4}} = x ^ {2} + x + 1.}$

Propriétés

Si K est donnée à l' intérieur d' un champ algébriquement fermé C , puis les conjugués peuvent être prises à l' intérieur C . Si aucun C n'est spécifié, on peut prendre les conjugués dans un champ L relativement petit . Le plus petit choix possible pour L est de prendre un champ de division sur K de p _{K , α} , contenant  α . Si L est une extension normale de K contenant  α , alors, par définition, il contient déjà un tel champ de division.

Étant donné alors une extension normale L de K , avec le groupe d'automorphisme Aut ( L / K ) = G , et contenant α , tout élément g ( α ) pour g dans G sera un conjugué de α , puisque l' automorphisme g envoie les racines de p aux racines de p . A l'inverse tout conjugué β de α est de cette forme: en d'autres termes, G agit transitivement sur les conjugués. Ceci s'ensuit que K ( α ) est K -isomorphe à K ( β ) par irréductibilité du polynôme minimal, et tout isomorphisme des champs F et F ' qui mappe le polynôme p à p ' peut être étendu à un isomorphisme des champs de division de p sur F et p ' sur F ' , respectivement.

En résumé, les éléments conjugués de α se retrouvent, dans toute extension normale L de K contenant K ( α ), comme l'ensemble des éléments g ( α ) pour g dans Aut ( L / K ). Le nombre de répétitions dans cette liste de chaque élément est le degré séparable [ L : K ( α )] _sep .

Un théorème de Kronecker indique que si α est un entier algébrique non nul tel que α et tous ses conjugués dans les nombres complexes ont une valeur absolue au plus 1, alors α est une racine de l'unité . Il existe des formes quantitatives de cela, énonçant plus précisément des bornes (en fonction du degré) sur la plus grande valeur absolue d'un conjugué qui impliquent qu'un entier algébrique est une racine de l'unité.

Les références

• David S.Dummit, Richard M. Foote, Algèbre abstraite , 3e éd., Wiley, 2004.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Éléments conjugués" . MathWorld .