Converse (logique) - Converse (logic)

En logique et en mathématiques , l' inverse d'un énoncé catégorique ou implicatif est le résultat de l'inversion de ses deux énoncés constitutifs. Pour l' implication P → Q , l'inverse est Q → P . Pour la proposition catégorique Tous les S sont P , l'inverse est Tous P sont S . Quoi qu'il en soit, la vérité de l'inverse est généralement indépendante de celle de la déclaration originale.

Conversation implicative

Diagramme de Venn de (la zone blanche montre où la déclaration est fausse)

{\ displaystyle A \ leftarrow B}

Soit S un énoncé de la forme P implique Q ( P → Q ). Alors l' inverse de S est l'énoncé Q implique P ( Q → P ). En général, la vérité de S ne dit rien sur la vérité de son contraire, à moins que l' antécédent P et le Q conséquent ne soient logiquement équivalents.

Par exemple, considérez la véritable déclaration «Si je suis un humain, alors je suis mortel». Le contraire de cette déclaration est "Si je suis mortel, alors je suis un humain", ce qui n'est pas nécessairement vrai .

D'un autre côté, l'inverse d'une déclaration avec des termes mutuellement inclusifs reste vrai, étant donné la vérité de la proposition originale. Cela équivaut à dire que l'inverse d'une définition est vrai. Ainsi, la déclaration "Si je suis un triangle, alors je suis un polygone à trois côtés" équivaut logiquement à "Si je suis un polygone à trois côtés, alors je suis un triangle", car la définition de "triangle" est " polygone à trois côtés ".

Une table de vérité indique clairement que S et l'inverse de S ne sont pas logiquement équivalents, à moins que les deux termes ne s'impliquent mutuellement:

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$ (converser)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

Passer d'une déclaration à son contraire est l'erreur d' affirmer le conséquent . Cependant, si l'énoncé S et sa réciproque sont équivalents (c'est-à-dire que P est vrai si et seulement si Q est également vrai), alors l'affirmation du conséquent sera valide.

L'implication inverse est logiquement équivalente à la disjonction de et ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ neg Q}$

${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle \ lor}$	${\ displaystyle \ neg Q}$
	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ lor}$

En langage naturel, cela pourrait être rendu "pas Q sans P ".

Converse d'un théorème

En mathématiques, l'inverse d'un théorème de la forme P → Q sera Q → P . L'inverse peut être vrai ou non, et même s'il est vrai, la preuve peut être difficile. Par exemple, le théorème des quatre sommets a été prouvé en 1912, mais son contraire n'a été prouvé qu'en 1997.

En pratique, lors de la détermination de l'inverse d'un théorème mathématique, les aspects de l'antécédent peuvent être considérés comme établissant le contexte. Autrement dit, l'inverse de "Étant donné P, si Q alors R " sera "Étant donné P, si R alors Q " . Par exemple, le théorème de Pythagore peut être énoncé comme suit:

Compte tenu d' un triangle avec des côtés de longueur , et , si l'angle opposé au côté de longueur est un angle droit, puis . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

L'inverse, qui apparaît également dans les éléments d'Euclide (Livre I, Proposition 48), peut être énoncé comme suit:

Compte tenu d' un triangle avec des côtés de longueur , et , si , alors l'angle opposé au côté de longueur est un angle droit. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ ${\ displaystyle c}$

Conversation d'une relation

Si est une relation binaire avec alors la relation inverse est également appelée transposée . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ subseteq A \ times B,}$ ${\ displaystyle R ^ {T} = \ {(b, a) :( a, b) \ in R \}}$

Notation

L'inverse de l'implication P → Q peut s'écrire Q → P , mais peut aussi être noté , ou "B pq " (en notation Bocheński ). ${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$ ${\ displaystyle P \ subset Q}$

Conversation catégorique

Dans la logique traditionnelle, le processus de passage de «Tous les S sont P» à son inverse «Tous les P sont S» est appelé conversion . Dans les mots d' Asa Mahan :

"La proposition originale s'appelle l'exposita; lorsqu'elle est convertie, elle est dénommée l'inverse. La conversion est valide quand, et seulement quand, rien n'est affirmé dans l'inverse qui ne soit affirmé ou impliqué dans l'exposita."

L '"exposita" est plus communément appelé "convertend". Dans sa forme simple, la conversion n'est valable que pour les propositions E et I :

Type	Convertir	Conversation simple	Converse par accidens (valable si P existe)
UNE	Tous les S sont P	pas valide	Certains P est S
E	Non S est P	Aucun P n'est S	Certains P n'est pas S
je	Certains S est P	Certains P est S	-
O	Certains S ne sont pas P	pas valide	-

La validité de la conversion simple uniquement pour les propositions E et I peut être exprimée par la restriction selon laquelle "Aucun terme ne doit être distribué dans l'inverse qui n'est pas distribué dans le convertend." Pour les propositions E , le sujet et le prédicat sont distribués , tandis que pour les propositions I , ni l'un ni l'autre ne l'est.

Pour les propositions A , le sujet est distribué alors que le prédicat ne l'est pas, et donc l'inférence d'une instruction A à son inverse n'est pas valide. Par exemple, pour la proposition A "Tous les chats sont des mammifères", l'inverse "Tous les mammifères sont des chats" est évidemment faux. Cependant, l'affirmation la plus faible «Certains mammifères sont des chats» est vraie. Les logiciens définissent la conversion par accidens comme étant le processus de production de cette déclaration plus faible. L'inférence d'une déclaration à sa réciproque par accidens est généralement valable. Cependant, comme pour les syllogismes , ce passage de l'universel au particulier pose des problèmes avec les catégories vides: "Toutes les licornes sont des mammifères" est souvent considéré comme vrai, tandis que l'inverse par accidens "Certains mammifères sont des licornes" est clairement faux.

Dans le calcul des prédicats du premier ordre , Tous les S sont P peuvent être représentés par . Il est donc clair que l'inverse catégorique est étroitement liée à l'inverse implicationnel, et que S et P ne peut pas être échangé dans tous les S sont P . ${\ displaystyle \ forall xS (x) \ to P (x)}$

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Aristote . Organon .
Copi, Irving . Introduction à la logique . MacMillan, 1953.
Copi, Irving. Logique symbolique . MacMillan, 1979, cinquième édition.
Stebbing, Susan . Une introduction moderne à la logique . Cromwell Company, 1931.

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