Formalisme ADM - ADM formalism

Partie d'une série d'articles sur
Relativité générale
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
introduction Histoire Formulation mathématique Des tests
Concepts fondamentaux Principe de relativité Théorie de la relativité Covariance générale Simultanéité Relativité de la simultanéité Mouvement relatif Événement Cadre de réference Cadre de référence inertiel Masse Masse inertielle Cadre de repos Cadre au centre de l'élan Courbure Géodésique Geon Principe d'équivalence Masse en relativité générale Équivalence masse-énergie Invariant Masse invariante Symétries spatio-temporelles Relativité restreinte Relativité doublement restreinte de Sitter relativité restreinte invariante Relativité d'échelle Vitesse de la lumière Dérivée du temps Moment approprié Bonne longueur Contraction de la longueur Action à distance Principe de localité Géométrie riemannienne Condition énergétique
Phénomènes Gravitoélectromagnétisme Problème de Kepler La gravité Champ gravitationnel Gravité bien Lentilles gravitationnelles Ondes gravitationnelles Décalage gravitationnel vers le rouge Redshift Décalage vers le bleu Dilatation du temps Dilatation du temps gravitationnel Temporisation Shapiro Potentiel gravitationnel Compression gravitationnelle Effondrement gravitationnel Glissement d'image Effet géodésique Horizon apparent Horizon des événements Singularité gravitationnelle Singularité nue Trou noir Trou blanc Espace-temps Flèche du temps Cône lumineux Ligne du monde Espace tridimensionnel Espace quadridimensionnel Espace Temps Collecteur Collecteur lisse Collecteur riemannien Espace de configuration Territoire de l'État Espace de phase Espace Hilbert Espace euclidien Espace topologique Défaut topologique Diagrammes spatio-temporels Espace-temps de Minkowski Scalaire de Lorentz Courbe de temps fermée (CTC) Trou de ver Trou de ver Ellis
Équations Formalismes Équations Gravité linéarisée Équations de champ d'Einstein Friedmann Géodésiques Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariant de courbure (relativité générale) Transformation de Lorentz Variété lorentzienne Variété globalement hyperbolique Conditions de causalité Structure causale Formalismes ADM BSSN Newman – Penrose Post-newtonien Théorie avancée Théorie de Brans-Dicke Hypothèse de censure cosmique Théorie de Kaluza-Klein Gravité quantique Supergravité
Solutions Disque relativiste Schwarzschild ( intérieur ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-wave poussière de van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solution sous vide
Théorèmes Théorème de Birkhoff Théorème de division de Geroch Théorème de Goldberg – Sachs Théorème de Lovelock Théorème sans cheveux Théorèmes de singularité de Penrose – Hawking Théorème d'énergie positive
Scientifiques Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Marcheur Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Colportage Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Homme nouveau Yau Thorne autres
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Richard Arnowitt , Stanley Deser et Charles Misner à la conférence ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation tenue en novembre 2009 pour honorer le 50e anniversaire de leur article.

Le formalisme ADM (du nom de ses auteurs Richard Arnowitt , Stanley Deser et Charles W. Misner ) est une formulation hamiltonienne de la relativité générale qui joue un rôle important dans la gravité quantique canonique et la relativité numérique . Il a été publié pour la première fois en 1959.

La revue complète du formalisme que les auteurs ont publiée en 1962 a été réimprimée dans la revue General Relativity and Gravitation , tandis que les articles originaux se trouvent dans les archives de Physical Review .

Aperçu

Le formalisme suppose que l' espace - temps est feuilleté en une famille de surfaces de type spatial , étiquetées par leur coordonnée temporelle , et avec des coordonnées sur chaque tranche données par . Les variables dynamiques de cette théorie sont considérées comme le tenseur métrique de tranches spatiales tridimensionnelles et de leurs impulsions conjuguées . En utilisant ces variables, il est possible de définir un hamiltonien , et ainsi d'écrire les équations de mouvement pour la relativité générale sous la forme d' équations de Hamilton . ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

En plus des douze variables et , il y a quatre multiplicateurs de Lagrange : la fonction de défaillance , et les composantes du changement champ vectoriel , . Celles-ci décrivent comment chacune des «feuilles» de la foliation de l'espace-temps est soudée ensemble. Les équations de mouvement pour ces variables peuvent être librement spécifiées; cette liberté correspond à la liberté de spécifier comment disposer le système de coordonnées dans l'espace et dans le temps. ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$

Notation

La plupart des références adoptent une notation dans laquelle les tenseurs à quatre dimensions sont écrits en notation d'index abstraite, et les indices grecs sont des indices d'espace-temps prenant des valeurs (0, 1, 2, 3) et les indices latins sont des indices spatiaux prenant des valeurs (1, 2, 3). Dans la dérivation ici, un exposant (4) est ajouté au début aux quantités qui ont généralement une version tridimensionnelle et quadridimensionnelle, comme le tenseur métrique pour les tranches tridimensionnelles et le tenseur métrique pour l'espace-temps quadridimensionnel complet. . ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}$

Le texte utilise ici la notation Einstein dans laquelle la sommation sur des indices répétés est supposée.

Deux types de dérivées sont utilisées: Les dérivées partielles sont désignées soit par l'opérateur, soit par des indices précédés d'une virgule. Les dérivées covariantes sont désignées soit par l'opérateur, soit par des indices précédés d'un point-virgule. ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$${\ displaystyle \ nabla _ {i}}$

La valeur absolue du déterminant de la matrice des coefficients du tenseur métrique est représentée par (sans indice). D'autres symboles tensoriels écrits sans indices représentent la trace du tenseur correspondant tel que . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}$

Dérivation

Formulation lagrangienne

Le point de départ de la formulation ADM est le lagrangien

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}},}$

qui est un produit de la racine carrée du déterminant du tenseur métrique à quatre dimensions pour l'espace-temps complet et son scalaire de Ricci . C'est le lagrangien de l' action Einstein-Hilbert .

Le résultat souhaité de la dérivation est de définir une incorporation de tranches spatiales tridimensionnelles dans l'espace-temps à quatre dimensions. La métrique des tranches tridimensionnelles

${\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}$

seront les coordonnées généralisées pour une formulation hamiltonienne. Les moments conjugués peuvent alors être calculés comme

${\ displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} \ left ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} { ^ {(4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} \ right) g ^ {ip} g ^ {jq},}$

en utilisant des techniques et des définitions standard. Les symboles sont des symboles de Christoffel associés à la métrique de l'espace-temps à quatre dimensions complet. La déchéance ${\ displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}$

${\ displaystyle N = \ gauche (- {^ {(4)} g ^ {00}} \ droite) ^ {- 1/2}}$

et le vecteur de décalage

${\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}$

sont les éléments restants du tenseur à quatre métriques.

Après avoir identifié les quantités pour la formulation, l'étape suivante consiste à réécrire le lagrangien en termes de ces variables. La nouvelle expression du lagrangien

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} \ left (\ pi ^ {ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}} \ right)}$

est commodément écrit en termes de deux nouvelles quantités

${\ displaystyle H = - {\ sqrt {g}} \ left [^ {(3)} R + g ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ {ij} \ right) \ right]}$

et

${\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi ^ {ij} {} _ {; j},}$

qui sont respectivement appelées contrainte hamiltonienne et contrainte d'impulsion. La déchéance et le décalage apparaissent dans le lagrangien comme des multiplicateurs de Lagrange .

Equations de mouvement

Bien que les variables dans le lagrangien représentent le tenseur métrique sur des espaces tridimensionnels incorporés dans l' espace - temps à quatre dimensions , il est possible et souhaitable d'utiliser les procédures habituelles de la mécanique lagrangienne pour dériver des «équations de mouvement» qui décrivent l'évolution temporelle des deux la métrique et son élan conjugué . Le résultat ${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^ {ij}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi _ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi g_ {ij} \ droite) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}$

et

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = & - N {\ sqrt {g}} \ left (R ^ {ij} - {\ tfrac {1} {2} } Rg ^ {ij} \ right) + {\ frac {N} {2 {\ sqrt {g}}}} g ^ {ij} \ left (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi ^ {2} \ right) - {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi ^ {in} {\ pi _ {n}} ^ {j} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij} \ right) \\ & + {\ sqrt {g}} \ left (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j } Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N \ right) + \ nabla _ {n} \ left (\ pi ^ {ij} N ^ {n} \ right) - {N ^ {i}} _ {; n} \ pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} \ pi ^ {ni} \ end {aligné}}}$

est un ensemble non linéaire d' équations aux dérivées partielles .

Prendre des variations par rapport à la déchéance et au décalage fournit des équations de contrainte

${\ displaystyle H = 0}$

et

${\ displaystyle P ^ {i} = 0,}$

et le décalage et le décalage eux-mêmes peuvent être librement spécifiés, reflétant le fait que les systèmes de coordonnées peuvent être librement spécifiés dans l'espace et dans le temps.

Applications

Application à la gravité quantique

En utilisant la formulation ADM, il est possible de tenter de construire une théorie quantique de la gravité de la même manière que l'on construit l' équation de Schrödinger correspondant à un hamiltonien donné en mécanique quantique . Autrement dit, remplacer les moments canoniques et les fonctions métriques spatiales par des opérateurs différentiels fonctionnels linéaires ${\ Displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$

${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}$

${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}.}$

Plus précisément, le remplacement des variables classiques par des opérateurs est limité par des relations de commutation . Les chapeaux représentent des opérateurs en théorie quantique. Cela conduit à l' équation de Wheeler – DeWitt .

Application aux solutions numériques des équations d'Einstein

Il existe relativement peu de solutions exactes connues aux équations de champ d'Einstein . Afin de trouver d'autres solutions, il existe un domaine d'étude actif connu sous le nom de relativité numérique dans lequel les supercalculateurs sont utilisés pour trouver des solutions approximatives aux équations. Afin de construire de telles solutions numériquement, la plupart des chercheurs commencent par une formulation des équations d'Einstein étroitement liées à la formulation ADM. Les approches les plus courantes commencent par un problème de valeur initiale basé sur le formalisme ADM.

Dans les formulations hamiltoniennes, le point de base est le remplacement d'un ensemble d'équations du second ordre par un autre ensemble d'équations du premier ordre. Nous pouvons obtenir ce deuxième ensemble d'équations par formulation hamiltonienne de manière simple. Bien sûr, cela est très utile pour la physique numérique, car la réduction de l'ordre des équations différentielles est souvent pratique si nous voulons préparer des équations pour un ordinateur.

Énergie et masse ADM

L'énergie ADM est une manière spéciale de définir l' énergie en relativité générale , qui n'est applicable qu'à certaines géométries spéciales de l' espace - temps qui approchent asymptotiquement un tenseur métrique bien défini à l'infini - par exemple un espace-temps qui s'approche asymptotiquement de l'espace de Minkowski . L'énergie ADM dans ces cas est définie en fonction de la déviation du tenseur métrique par rapport à sa forme asymptotique prescrite. En d'autres termes, l'énergie ADM est calculée comme la force du champ gravitationnel à l'infini.

Si la forme asymptotique requise est indépendante du temps (comme l'espace de Minkowski lui-même), alors elle respecte la symétrie de traduction temporelle . Le théorème de Noether implique alors que l'énergie ADM est conservée. Selon la relativité générale, la loi de conservation de l'énergie totale ne tient pas dans les contextes plus généraux, dépendants du temps - par exemple, elle est complètement violée en cosmologie physique . L'inflation cosmique en particulier est capable de produire de l'énergie (et de la masse) à partir de «rien» parce que la densité d' énergie du vide est à peu près constante, mais le volume de l'Univers croît de façon exponentielle .

Application à la gravité modifiée

En utilisant la décomposition ADM et en introduisant des champs auxiliaires supplémentaires, en 2009 Deruelle et al. ont trouvé une méthode pour trouver le terme de frontière de Gibbons – Hawking – York pour les théories de gravité modifiées «dont le lagrangien est une fonction arbitraire du tenseur de Riemann».

Controverse

En 2008, Kiriushcheva et Kuzmin ont publié une réfutation formelle de 4 sagesses conventionnelles entourant le formalisme ADM, notamment que ce n'est que dans le formalisme hamiltonien de Dirac, pas dans le formalisme ADM, que l'invariance de difféomorphisme appropriée peut être récupérée via les transformations canoniques. La différence de structure canonique des formalismes hamiltoniens de Dirac et ADM est une controverse en cours qui n'a pas encore été conclue dans la littérature de physique.

Voir également

• Coordonnées canoniques
• Équation de Hamilton – Jacobi – Einstein
• Métrique Peres

Remarques

Les références

• Kiefer, Claus (2007). Gravité quantique . Oxford, New York: Presse d'université d'Oxford . ISBN   978-0-19-921252-1 .